Ó Pascalův trojúhelník je to docela starý matematický nástroj. V průběhu historie získala několik jmen, ale dnes jsou nejvíce přijímaná aritmetický trojúhelník a Pascalův trojúhelník. Druhé jméno je poctou matematikovi, který několikrát přispěl ke studiu tohoto trojúhelníku. znamená, že trojúhelník vynalezl on, ale on byl tím, kdo to hlouběji studoval nářadí.
Z vlastností Pascalova trojúhelníku je možné jej logicky sestrojit. Také vyniká vaše vztah s kombinace studoval v kombinatorické analýze. Termíny Pascalova trojúhelníku také odpovídají binomickým koeficientům, a proto je velmi užitečné pro výpočet libovolného Newtonova binomia.
Přečtěte si také: Briot-Ruffiniho zařízení - metoda dělení polynomů
Konstrukce Pascalova trojúhelníku
Pascalův trojúhelník je vyroben z výsledku kombinací, nicméně existuje praktická metoda, která usnadňuje způsob, jak ji vybudovat. První řádek a první sloupec se počítají jako nula řádku a nula sloupce. Můžeme použít tolik řádků, kolik je potřeba v této konstrukci proto může mít trojúhelník nekonečné čáry. Odůvodnění zpracování řádků je vždy stejné. Dívej se:
Víme, že trojúhelníkové výrazy jsou kombinace, studoval v kombinatorická analýza. Pro nahrazení Pascalova trojúhelníku číselnými hodnotami víme, že kombinace čísla s nulou a čísla se sebou samými se vždy rovná 1. Proto je první a poslední hodnota vždy 1.
Abychom našli ostatní, začneme řádkem 2, protože řádek 0 a řádek 1 jsou již kompletní. Na řádku 2, abychom našli kombinaci 2 až 1, na řádku nahoře, tj. Na řádku 1, přidáme nad ním výraz ve stejném sloupci a nad ním výraz v předchozím sloupci, jak je znázorněno na obrázku :
Po sestavení linky 2 je možné postavit linku 3 provedením stejného postupu.
Pokračováním v tomto postupu najdeme všechny termíny - v tomto případě až do řádku 5 - ale je možné sestavit tolik řádků, kolik je potřeba.
Vlastnosti Pascalova trojúhelníku
Tam jsou nějací vlastnosti Pascalova trojúhelníku, kvůli pravidelnosti jeho konstrukce. Tyto vlastnosti jsou užitečné pro práci s kombinacemi, samotnou konstrukci trojúhelníkových čar a součet čar, sloupců a úhlopříček.
1. vlastnost
První vlastnost byla ta, kterou jsme použili k vytvoření trojúhelníku. Takže najděte výraz v Pascalově trojúhelníku, stačí přidat výraz, který je v řádku nad ním, a stejný sloupec s výrazem, který je ve sloupci a řádku před ním. Tuto vlastnost lze reprezentovat takto:
Tato vlastnost je známá jako Stifelův vztah a je důležité usnadnit konstrukci trojúhelníku a najít hodnoty každé z čar.
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
2. vlastnost
Součet všech výrazů v řádku se vypočítá podle:
sNe=2Ne, o tom, co Ne je číslo řádku.
Příklady:
S touto vlastností je možné to vědět součet všech výrazů na řádku aniž by bylo nutné konstruovat Pascalov trojúhelník. Například součet řádku 10 lze vypočítat jako 210 = 1024. Ačkoli nejsou známy všechny termíny, je již možné znát souhrnnou hodnotu celého řádku.
3. vlastnost
Součet termínů, které posloupnost od začátku daného sloupce P do určité linie Ne je stejný jako výraz na řádku n +1 zadní a sloupec p +1 později, jak je znázorněno níže:
4. vlastnost
Součet úhlopříčky, která začíná ve sloupci 0 a jde k výrazu ve sloupci p a řádku n, se rovná pojmu ve stejném sloupci (p), ale v řádku níže (n + 1), jak je znázorněno na obrázku :
5. vlastnost
V liniích Pascalova trojúhelníku je symetrie. První a druhý člen jsou stejné, druhý a předposlední člen jsou stejné atd.
Příklad:
Řádek 6: 1615 20 156 1.
Všimněte si, že výrazy jsou rovny dvěma až dvěma, s výjimkou centrálního výrazu.
Podívejte se také: Polynomiální dělení: jak to vyřešit?
Newtonův dvojčlen
Definujeme Newtonův binomický a síla jednoho polynomiální který má dva termíny. Výpočet binomia souvisí s Pascalovým trojúhelníkem, který se stává mechanismem pro výpočet toho, co nazýváme binomické koeficienty. Pro výpočet dvojčlenu použijeme následující vzorec:
Všimněte si, že exponent hodnota The klesá, dokud se v posledním semestru nerovná The0. Víme, že každé číslo zvednuté na 0 se rovná 1, tedy výraz The se neobjevuje v posledním semestru. Všimněte si také, že exponent B začíná s B0, již brzy B neobjevuje se v prvním semestru a zvyšuje se až do dosažení BNe, v posledním semestru.
Kromě toho číslo, které doprovází každý z výrazů, nazýváme koeficientem - v tomto případě známým jako binomický koeficient. Chcete-li lépe porozumět tomu, jak vyřešit tento typ binomického čísla, přejděte na náš text: Newtonův dvojčlen.
binomický koeficient
Binomický koeficient není nic jiného než kombinace, kterou lze vypočítat pomocí vzorce:
Pro usnadnění výpočtu Newtonova binomia je však nezbytné použít Pascalův trojúhelník, protože nám dává výsledek kombinace rychlejší.
Příklad:
Chcete-li zjistit výsledek binomického koeficientu, najdeme hodnoty řádku 5 Pascalova trojúhelníku, které jsou {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5x4+ 1 rok5
Jednoduše řečeno:
(x + y)5= x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5x4+ y5
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Hodnota níže uvedeného výrazu je?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Řešení
Alternativa A.
Při přeskupování kladných a záporných hodnot musíme:
Všimněte si, že ve skutečnosti počítáme odčítání mezi řádkem 4 a řádkem 3 Pascalova trojúhelníku. Podle majetku víme, že:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Otázka 2 - Jaká je hodnota níže uvedeného výrazu?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Řešení
Alternativa B.
Všimněte si, že přidáváme výrazy ze sloupce 1 Pascalova trojúhelníku do řádku 7 a poté do třetího vlastnost, hodnota této částky se rovná pojmu, který zabírá řádek 7 + 1 a sloupec 1 + 1, tj. řádek 8, sloupec 2. Protože chceme pouze jednu hodnotu, není konstrukce celého Pascalova trojúhelníku pohodlná.
Raul Rodrigues de Oliveira
Učitel matematiky
