Disperzní opatření: rozptyl a směrodatná odchylka

Ve studii o Statistický, máme nějaké strategie, abychom zkontrolovali, zda jsou hodnoty prezentované v datové sadě rozptýleny nebo ne a jak daleko od sebe mohou být. Nástroje použité k tomu, aby to bylo možné, jsou klasifikovány jako disperzní opatření a zavolal rozptyl a směrodatná odchylka. Podívejme se, co každý z nich představuje:

Varianta:

• Vzhledem k souboru dat je rozptyl mírou rozptylu, která ukazuje, jak daleko je každá hodnota v této sadě od centrální (průměrné) hodnoty.

• Čím menší je rozptyl, tím blíže jsou hodnoty střední hodnotě; ale čím je větší, tím dále jsou hodnoty od průměru.

• Zvažte to X₁, X₂, …, X_Neoni jsou Ne prvky a vzorek je to X a aritmetický průměr těchto prvků. Výpočet rozptyl vzorku Je to dáno:

  Var. vzorek = (X₁ – X) ² + (x₂ – X) ² + (x₃ – X)² +... + (x_Ne – X)²
  ​n - 1

• Pokud naopak chceme vypočítat rozptyl populace, vezmeme v úvahu všechny prvky populace, nejen vzorek. V tomto případě má výpočet malý rozdíl. Hodinky:

  Var. populace = (X₁ – X) ² + (x₂ – X) ² + (x₃ – X)² +... + (x_Ne – X)²
  Ne

Standardní odchylka:

• Směrodatná odchylka je schopna identifikovat „chybu“ v souboru dat, pokud bychom chtěli nahradit jednu ze shromážděných hodnot aritmetickým průměrem.

• Směrodatná odchylka se objeví vedle aritmetického průměru a informuje, jak „spolehlivá“ je tato hodnota. Prezentuje se takto:

  aritmetický průměr (X) ± směrodatná odchylka (sd)

• Výpočet směrodatné odchylky se provádí z kladné druhé odmocniny rozptylu. Proto:

  dp = √var

Nyní použijeme výpočet rozptylu a směrodatné odchylky v příkladu:

Na jedné škole se rada rozhodla podívat se na počet studentů, kteří mají všechny ročníky nadprůměrně ve všech předmětech. Aby to lépe analyzovala, rozhodla se režisérka Ana sestavit tabulku s počtem „modrých“ známek do vzorku čtyř tříd za rok. Viz níže tabulka organizovaná ředitelem:

Před výpočtem odchylky je nutné zkontrolovat aritmetický průměr(X) počet nadprůměrných studentů v každé třídě:

6. rok → X = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7. rok → X = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8. rok → X = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9. rok → X = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Pro výpočet rozptylu počtu studentů nad průměrem v každé třídě použijeme a vzorek, proto používáme vzorec rozptyl vzorku:

Var. vzorek = (X₁ – X) ² + (x₂ – X) ² + (x₃ – X)² +... + (x_Ne – X)²
n - 1

Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)

6. rok → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

7. rok → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

8. rok → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

9. rok → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Jakmile je známa odchylka každé třídy, vypočítejme nyní směrodatnou odchylku:

6. rok dp = √var dp = √ 4,33 ​dp ≈ 2,08

7. rok dp = √var dp = √ 8,00 ​dp ≈ 2,83

8. rok dp = √var dp = √ 6,91 ​dp ≈ 2,63

9. rok dp = √var dp = √ 13,66 ​dp ≈ 3,70

K dokončení své analýzy může ředitelka uvést následující hodnoty, které označují průměrný počet studentů nad průměrem na zkoumanou třídu:

6. rok: 7,50 ± 2,08 studentů nad průměrem za semestr;
7. rok: 8,00 ± 2,83 studentů nad průměr za dva měsíce;
8. rok: 8,75 ± 2,63 studentů nad průměr za dva měsíce;
9. rok: 8,50 ± 3,70 studentů nad průměr za dva měsíce;

Další mírou rozptylu je variační koeficient. Dívej se tady jak to vypočítat!

Autor: Amanda Gonçalves
Vystudoval matematiku