الخصائص التي تنطوي على أعداد مركبة

تم إنشاء جميع الأرقام الموجودة وفقًا لاحتياجات الإنسان في وقت الخلق ، كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية ، والتي تم إنشاؤها لحساب ومراقبة "المخزونات" ، والأرقام غير المنطقية ، والتي تم إنشاؤها لحل المشكلات المتعلقة بـ الجذور. كانت المشكلات التي تنطوي على الجذور بالتحديد هي التي بدأت المعرفة حول ارقام مركبة.

المعادلة التربيعية س2 + 4x + 5 = 0 ليس له جذور حقيقية. هذا يعني أنه ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية ، من المستحيل إيجاد قيم لـ x تساوي الحد الأول من هذه المعادلة مع الحد الثاني. نلاحظ هذه الظاهرة منذ بداية صيغة باسكارا:

Δ = 42 – 4·1·5

Δ = 16 – 20

Δ = – 4

بمجرد العثور على قيمة سالبة لـ Δ ، يصبح من المستحيل متابعة صيغة Bhaskara ، حيث يتطلب ذلك حساب √Δ (جذر دلتا). الآن ، نحن نعلم أنه لا يمكن حساب √– 4 لأنه لا يوجد رقم حقيقي ينتج عنه - عند ضربه في نفسه - 4.

تم إنشاء أرقام معقدة لتلبية هذه الاحتياجات. منذ إنشائها ، يمكن تطوير √– 4 على النحو التالي:

√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)

يُفهم A √ (- 1) على أنه نوع جديد من الأرقام. تُعرف مجموعة كل هذه الأرقام بمجموعة الأرقام المركبة ، ويتم تعريف كل ممثل لهذه المجموعة الجديدة على النحو التالي: لنفترض أن A عددًا مركبًا ، إذن ،

أ = ال + بأنا أين الو ب هي أرقام حقيقية وأنا = √ (- 1)

في هذا التعريف ، ال إنه شائع مثل جزء حقيقي من أ و ب إنه شائع مثل جزء وهمي من A.

خواص الأعداد المركبة

تمثل الأعداد الحقيقية ، في مجملها وهندسيًا ، خطًا. الأعداد المركبة ، بدورها ، تمثل مستوى كامل. تُعرف الطائرة الديكارتية المستخدمة لتمثيل الأعداد المركبة باسم طائرة أرجاند-غاوس.

يمكن تمثيل كل رقم مركب على مستوى Argand-Gauss كنقطة إحداثيات (أ ، ب). المسافة من النقطة التي تمثل رقمًا مركبًا إلى النقطة (0،0) تسمى مقياس العدد المركب.، والذي يتم تعريفه:

لنفترض أن A = a + bi عدد مركب ، معامله هو | A | = أ2 + ب2

تحتوي الأعداد المركبة أيضًا على عنصر معكوس يسمى مترافق. يتم تعريفه على أنه:

لنفترض أن A = a + bi يكون عددًا مركبًا ،

Ā = أ - bi هو مرافق هذا الرقم.

خاصية 1: حاصل ضرب عدد مركب ومرافقته يساوي مجموع مربعات الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من العدد المركب. رياضيا:

أĀ = أ2 + ب2

مثال: ما هو حاصل ضرب A = 2 + 5i بمرافقته؟

فقط قم بالحساب: أ2 + ب2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. إذا اخترنا كتابة مرافق A ، وبعد ذلك ، نفذنا عملية الضرب AĀ ، فسيكون لدينا:

AĀ = (2 + 5i) (2-5i)

أĀ = 4-10 ط + 10 ط + 25

أĀ = 4 + 25

أĀ = 29

أي باستخدام الخاصية المقترحة ، من الممكن تجنب الحساب الطويل وكذلك الأخطاء أثناء هذه الحسابات.

الخاصية 2: إذا كان العدد المركب A يساوي مرافقه ، فإن A هو رقم حقيقي.

دع أ = أ + ثنائي. إذا كانت A = Ā ، إذن:

أ + ثنائية = أ - ثنائي

ثنائية = - ثنائية

ب = - ب

لذلك ، ب = 0

لذلك ، من الضروري أن يكون كل رقم مركب يساوي مرافقه رقمًا حقيقيًا أيضًا.

الخاصية 3: اتحاد مجموع عددين مركبين يساوي مجموع اتحادات هذه الأعداد.، هذا هو:

_____ _ _ 
أ + ب = أ + ب

مثال: ما هو اتحاد مجموع 7 + 9i و 2 + 4i؟

____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7-9i + 2-4i = 9-13i

يمكنك الجمع أولاً ثم حساب مرافق النتيجة أو إجراء الاتحادات أولاً ثم إضافة النتائج لاحقًا.

الخاصية 4: اتحاد حاصل الضرب بين عددين مركبين يساوي حاصل ضرب اقترانهما ، بمعنى آخر:

__ _ _
AB = A · B

مثال: ما هو حاصل ضرب اتحادات A = 7i + 10 و B = 4 + 3i؟

(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40-30i - 28i - 21 = 19-58i

اعتمادًا على الحاجة إلى التمرين ، من الممكن الضرب أولاً وحساب الاتحاد بعد ذلك أو عرض الاتحادات قبل إجراء الضرب.

الخاصية 5: حاصل ضرب العدد المركب A ومرافقه يساوي مربع مقياس A ، بمعنى آخر:

أĀ = | أ |2

مثال: أ = 2 + 6 ط ، ثم أĀ = | أ |2 = (√a2 + ب2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. لاحظ أنه ليس من الضروري إيجاد المرافق وإجراء عملية الضرب من خلال خاصية التوزيع الخاصة بالضرب على الإضافة (المعروفة باسم رأس الدش الصغير).

الخاصية 6: مقياس العدد المركب يساوي مقياس مرافقه. بعبارات أخرى:

| أ | = | Ā |

مثال: أوجد مقياس مرافق العدد المركب أ = 3 + 4 ط.

لاحظ أنه ليس من الضروري العثور على المرافق ، لأن الوحدات هي نفسها.

| أ | = √ (أ2 + ب2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5

إذا تم حساب | Ā | ، فسيكون التغيير الوحيد هو ب سالب تربيع ، والذي يكون له نتيجة موجبة. وبالتالي ، فإن النتيجة ستظل جذر 25.

خاصية 7: إذا كان A و B عددان مركبان ، فإن حاصل ضرب مقياس A و B يساوي مقياس حاصل ضرب A و B.، بمعنى آخر:

| AB | = | أ || ب |

مثال: لنفترض أن أ = 6 + 8 ط و ب = 4 + 3 ط ، ما مقدار | أب |؟

لاحظ أنه ليس من الضروري ضرب الأعداد المركبة قبل حساب المعامل. من الممكن حساب معامل كل عدد مركب على حدة ثم ضرب النتائج.

| أ | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10

| ب | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5

| AB | = | أ || ب | = 10 · 5 = 50


بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm

GetNinjas والاقتصاد القديم: احصل عليه!

بكل المؤشرات ، تمكن المؤسس والرئيس التنفيذي لشركة GetNinjas ، Eduardo L'Hotellier ، من القيام بما...

read more

طلب أبي ابنته البالغة من العمر 8 سنوات إعادة هدايا عيد الميلاد

في منتدى - يسمى Mumsnet - تم إنشاؤه للمناقشات والمحادثات حول مهارات الأبوة والأمومة ، تسأل الأم م...

read more

الأزمة والاستثمارات: افهم!

عادة ما يلجأ الاقتصاديون إلى نموذج أصلي مثالي للعاصفة لتصور لحظات معينة. حيث ، بسبب الظروف غير ال...

read more
instagram viewer