تم إنشاء جميع الأرقام الموجودة وفقًا لاحتياجات الإنسان في وقت الخلق ، كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية ، والتي تم إنشاؤها لحساب ومراقبة "المخزونات" ، والأرقام غير المنطقية ، والتي تم إنشاؤها لحل المشكلات المتعلقة بـ الجذور. كانت المشكلات التي تنطوي على الجذور بالتحديد هي التي بدأت المعرفة حول ارقام مركبة.
المعادلة التربيعية س2 + 4x + 5 = 0 ليس له جذور حقيقية. هذا يعني أنه ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية ، من المستحيل إيجاد قيم لـ x تساوي الحد الأول من هذه المعادلة مع الحد الثاني. نلاحظ هذه الظاهرة منذ بداية صيغة باسكارا:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
بمجرد العثور على قيمة سالبة لـ Δ ، يصبح من المستحيل متابعة صيغة Bhaskara ، حيث يتطلب ذلك حساب √Δ (جذر دلتا). الآن ، نحن نعلم أنه لا يمكن حساب √– 4 لأنه لا يوجد رقم حقيقي ينتج عنه - عند ضربه في نفسه - 4.
تم إنشاء أرقام معقدة لتلبية هذه الاحتياجات. منذ إنشائها ، يمكن تطوير √– 4 على النحو التالي:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
يُفهم A √ (- 1) على أنه نوع جديد من الأرقام. تُعرف مجموعة كل هذه الأرقام بمجموعة الأرقام المركبة ، ويتم تعريف كل ممثل لهذه المجموعة الجديدة على النحو التالي: لنفترض أن A عددًا مركبًا ، إذن ،
أ = ال + بأنا أين الو ب هي أرقام حقيقية وأنا = √ (- 1)
في هذا التعريف ، ال إنه شائع مثل جزء حقيقي من أ و ب إنه شائع مثل جزء وهمي من A.
خواص الأعداد المركبة
تمثل الأعداد الحقيقية ، في مجملها وهندسيًا ، خطًا. الأعداد المركبة ، بدورها ، تمثل مستوى كامل. تُعرف الطائرة الديكارتية المستخدمة لتمثيل الأعداد المركبة باسم طائرة أرجاند-غاوس.
يمكن تمثيل كل رقم مركب على مستوى Argand-Gauss كنقطة إحداثيات (أ ، ب). المسافة من النقطة التي تمثل رقمًا مركبًا إلى النقطة (0،0) تسمى مقياس العدد المركب.، والذي يتم تعريفه:
لنفترض أن A = a + bi عدد مركب ، معامله هو | A | = أ2 + ب2
تحتوي الأعداد المركبة أيضًا على عنصر معكوس يسمى مترافق. يتم تعريفه على أنه:
لنفترض أن A = a + bi يكون عددًا مركبًا ،
Ā = أ - bi هو مرافق هذا الرقم.
خاصية 1: حاصل ضرب عدد مركب ومرافقته يساوي مجموع مربعات الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من العدد المركب. رياضيا:
أĀ = أ2 + ب2
مثال: ما هو حاصل ضرب A = 2 + 5i بمرافقته؟
فقط قم بالحساب: أ2 + ب2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. إذا اخترنا كتابة مرافق A ، وبعد ذلك ، نفذنا عملية الضرب AĀ ، فسيكون لدينا:
AĀ = (2 + 5i) (2-5i)
أĀ = 4-10 ط + 10 ط + 25
أĀ = 4 + 25
أĀ = 29
أي باستخدام الخاصية المقترحة ، من الممكن تجنب الحساب الطويل وكذلك الأخطاء أثناء هذه الحسابات.
الخاصية 2: إذا كان العدد المركب A يساوي مرافقه ، فإن A هو رقم حقيقي.
دع أ = أ + ثنائي. إذا كانت A = Ā ، إذن:
أ + ثنائية = أ - ثنائي
ثنائية = - ثنائية
ب = - ب
لذلك ، ب = 0
لذلك ، من الضروري أن يكون كل رقم مركب يساوي مرافقه رقمًا حقيقيًا أيضًا.
الخاصية 3: اتحاد مجموع عددين مركبين يساوي مجموع اتحادات هذه الأعداد.، هذا هو:
_____ _ _
أ + ب = أ + ب
مثال: ما هو اتحاد مجموع 7 + 9i و 2 + 4i؟
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7-9i + 2-4i = 9-13i
يمكنك الجمع أولاً ثم حساب مرافق النتيجة أو إجراء الاتحادات أولاً ثم إضافة النتائج لاحقًا.
الخاصية 4: اتحاد حاصل الضرب بين عددين مركبين يساوي حاصل ضرب اقترانهما ، بمعنى آخر:
__ _ _
AB = A · B
مثال: ما هو حاصل ضرب اتحادات A = 7i + 10 و B = 4 + 3i؟
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40-30i - 28i - 21 = 19-58i
اعتمادًا على الحاجة إلى التمرين ، من الممكن الضرب أولاً وحساب الاتحاد بعد ذلك أو عرض الاتحادات قبل إجراء الضرب.
الخاصية 5: حاصل ضرب العدد المركب A ومرافقه يساوي مربع مقياس A ، بمعنى آخر:
أĀ = | أ |2
مثال: أ = 2 + 6 ط ، ثم أĀ = | أ |2 = (√a2 + ب2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. لاحظ أنه ليس من الضروري إيجاد المرافق وإجراء عملية الضرب من خلال خاصية التوزيع الخاصة بالضرب على الإضافة (المعروفة باسم رأس الدش الصغير).
الخاصية 6: مقياس العدد المركب يساوي مقياس مرافقه. بعبارات أخرى:
| أ | = | Ā |
مثال: أوجد مقياس مرافق العدد المركب أ = 3 + 4 ط.
لاحظ أنه ليس من الضروري العثور على المرافق ، لأن الوحدات هي نفسها.
| أ | = √ (أ2 + ب2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
إذا تم حساب | Ā | ، فسيكون التغيير الوحيد هو ب سالب تربيع ، والذي يكون له نتيجة موجبة. وبالتالي ، فإن النتيجة ستظل جذر 25.
خاصية 7: إذا كان A و B عددان مركبان ، فإن حاصل ضرب مقياس A و B يساوي مقياس حاصل ضرب A و B.، بمعنى آخر:
| AB | = | أ || ب |
مثال: لنفترض أن أ = 6 + 8 ط و ب = 4 + 3 ط ، ما مقدار | أب |؟
لاحظ أنه ليس من الضروري ضرب الأعداد المركبة قبل حساب المعامل. من الممكن حساب معامل كل عدد مركب على حدة ثم ضرب النتائج.
| أ | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| ب | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | أ || ب | = 10 · 5 = 50
بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
