الزاوية بين متجهين

ثلاثة أبعاد هي كائنات رياضية مسؤولة عن وصف مسار النقاط. في كثير من الأحيان ، تمثل هذه النقاط أشياء ملموسة متحركة ، والتي تدرسها الفيزياء بالتفصيل. عند النظر في القوى المشاركة في تحريك (في الواقع أو المحتمل) كائن ما ، تستخدم الفيزياء المتجهات لتمثيلها. تعتبر الزاوية التي تشكلها هذه المتجهات جزءًا مهمًا من الحسابات ، كتغير بسيط في الزاوية قد يتطلب الأمر مزيدًا من القوة ليتم تطبيقها على كائن حتى يبدأ أو يبقى فيه حركة.

يتم تمثيل المتجهات هندسيًا بواسطة الأسهم ، وهي عبارة عن خطوط مستقيمة موجهة. وهكذا ، يشير أحد طرفي المقطع إلى الموضع النهائي للنقطة المنقولة ، والطرف الآخر غير محدد ، مما يشير إلى أن الحركة بدأت هناك. تُستخدم نقطة موقع نقطة النهاية بشكل عام لتحديد المتجه الذي يبدأ من أصل نظام الإحداثيات. بالنظر إلى المستوى الديكارتي كنظام إحداثيات ، يتم تمثيل المتجه v ، بدءًا من النقطة (0،0) وينتهي عند النقطة (أ ، ب) ، فقط على شكل المتجه v = (أ ، ب). إذا بدأ المتجه من نقطة أخرى ، فقط حركه إلى المكان المناسب.

المتجه في الطائرة الديكارتية

نظرًا لأن هذه خطوط مستقيمة موجهة ، فمن الممكن حساب طولها ، وهو ما يسمى

معيار النواقل. يتم حساب معيار المتجه بنفس طريقة حساب المسافة بين نقطتين وهو ما يعادل حساب معامل العدد الحقيقي. بهذه الطريقة ، يتم الإشارة إلى معيار المتجه v = (a ، b) بواسطة | v | ويمكن حسابها على النحو التالي:

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)

بالنظر إلى متجهين v = (أ ، ب) و ش = (أ '، ب') ، فإن المنتج المحلي فيما بينها يرمز إليه ويعطى بالتعبير التالي:

= أ · أ "+ ب · ب"

يتم تعريف حاصل الضرب النقطي بين متجهين أيضًا من خلال الزاوية بينهما. هذا التعريف يجعل من الممكن حساب الزاوية بين متجهين.

الزاوية بين متجهين

وبالتالي ، بأخذ نفس المتجهين v و u ، يتم إعطاء جيب تمام الزاوية θ بينهما بالتعبير التالي:

cosθ =
| v | · | u |

باستخدام هذه البيانات والتعريفات ، وبطريقة ما ، الصيغ ، من الممكن رسم إستراتيجية لحساب الزاوية بين متجهين.

بالنظر إلى المتجهين v = (2،2) و u = (0.2) ، فسنحسب الزاوية بينهما. للقيام بذلك ، قم أولاً بحساب معيار كل متجه والمنتج بين هذه المعايير:

| v | = √ (2² + 2²)
| v | = √ (4 + 4)
| v | = √8

| ش | = √ (0² + 2²)
| ش | = √ (0 + 4)
| ش | = √4

| v | · | u | = √8 · √4
| v | · | u | = 4√2

بعد ذلك ، احسب الناتج الداخلي بين v و u:

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

أخيرًا ، استخدم صيغة الزاوية بين المتجهات لحساب cosθ و a جدول قيم جيب التمام لإيجاد قيمة θ.

cosθ =
| v | · | u |

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات

هل ترغب في الإشارة إلى هذا النص في مدرسة أو عمل أكاديمي؟ نظرة:

سيلفا ، لويس باولو موريرا. "الزاوية بين متجهين" ؛ مدرسة البرازيل. متوفر في: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. تم الوصول إليه في 27 يونيو 2021.