ضبط العمليات: ما هي وكيفية حلها

الدافع لدراسة عمليات بين المجموعات يأتي من السهولة التي يقدمونها لحل المشكلات العددية اليومية. سنستخدم بعض الأدوات الرسومية ، مثل مخطط فين-Euler ، لتحديد العمليات الرئيسية بين عمليتين أو أكثر مجموعاتوهي: اتحاد المجموعات ، تقاطع المجموعات ، اختلاف المجموعات والمجموعة التكميلية.

اتحاد المجموعات

سيكون الاتحاد بين مجموعتين أو أكثر مجموعة جديدة تتكون من عناصر تنتمي إلى واحدة على الأقل من المجموعات المعنية. يتم تقديم مجموعة الاتحاد رسميًا من خلال:

لنفترض أن A و B مجموعتين ، يتكون الاتحاد بينهما من عناصر تنتمي إلى المجموعة A أو المجموعة B.

بعبارات أخرى، فقط انضم إلى العناصر من A مع تلك الخاصة بـ B.

مثال:

أ) ضع في اعتبارك المجموعات أ = {0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10} وب = {1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11}:

أ U ب = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11}

ب) أ = {س | x عدد زوجي طبيعي} و B {y | y عدد فردي طبيعي}

ينتج عن اتحاد جميع التسويات الطبيعية وجميع الاحتمالات الطبيعية مجموعة كاملة من الأعداد الطبيعية ، لذلك يتعين علينا:

تقاطع المجموعات

سيكون التقاطع بين مجموعتين أو أكثر أيضًا مجموعة جديدة مكونة من العناصر التي تنتمي ، في نفس الوقت ، إلى جميع المجموعات المعنية. رسميًا لدينا:

لنفترض أن A و B مجموعتين ، يتشكل التقاطع بينهما بواسطة عناصر تنتمي إلى المجموعة A والمجموعة B. وبالتالي ، يجب علينا فقط النظر في العناصر الموجودة في كلتا المجموعتين.

مثال

أ) ضع في اعتبارك المجموعات A = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6} ، B = {0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10} و C = {0 ، –1 ، –2 ، –3 }

أ ∩ ب = {2، 4، 6}

أ ∩ ج = {}

ب ∩ ج = {0}

يتم استدعاء المجموعة التي لا تحتوي على عناصر مجموعة فارغة ويمكن تمثيله بطريقتين.

اقرأ أيضا: تحديد التعريف

اختلاف المجموعات

يُعطى الفرق بين مجموعتين ، A و B ، من خلال العناصر التي تنتمي إلى A و لا تنتمي إلى B.

في مخطط Venn-Euler ، يكون الفرق بين المجموعتين A و B هو:

مثال

ضع في اعتبارك المجموعات A = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7} ، B = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 7} و C = {}. دعنا نحدد الاختلافات التالية.

أ - ب = {5}

أ - ج = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7}

ج - أ = {}

لاحظ أنه في المجموعة A - B ، نأخذ المجموعة A في البداية و "نخرج" العناصر من المجموعة B. في المجموعة A - C ، نأخذ A و "نخرج" الفراغ ، أي لا توجد عناصر. أخيرًا ، في C - A ، نأخذ المجموعة الفارغة و "نخرج" العناصر من A ، والتي ، بدورها ، لم تعد موجودة.

اقرأ أيضا: ملاحظات مهمة حول المجموعات

المجموعات التكميلية

ضع في اعتبارك المجموعتين A و B ، حيث يتم تضمين المجموعة A في المجموعة B ، أي أن كل عنصر من A هو أيضًا عنصر من عناصر B. يسمى الفرق بين المجموعتين ، ب - أ ، تكملة أ بالنسبة إلى ب. بعبارات أخرى، يتكون المكمل من كل عنصر لا ينتمي إلى المجموعة أ بالنسبة للمجموعة ب ، التي يتم احتواؤها.

مثال

ضع في اعتبارك المجموعات أ = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5} وب = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10}.

تكملة A بالنسبة إلى B هي:

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - ضع في الاعتبار المجموعات A = {a، b، c، d، e، f} و B = {d، e، f، g، h، i}. أوجد (أ - ب) يو (ب - أ).

حل

في البداية سنحدد المجموعات A - B و B - A ثم سنقوم بالاتحاد بينهما.

أ - ب = {أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و} - {د ، هـ ، و ، ز ، ح ، أنا}

أ - ب = {أ ، ب ، ج}

ب - أ = {د ، هـ ، و ، ز ، ح ، أنا} - {أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و}

ب - أ = {ز ، ح ، أنا}

لذلك ، (أ - ب) ش (ب - أ) هي:

{a، b، c} U {g، h، i}

{أ ، ب ، ج ، ز ، ح ، ط}

السؤال 2 - (Vunesp) افترض أن A U B = {a، b، c، d، e، f، g، h}، A ∩ B = {d، e} and A - B = {a، b، c} ثم:

أ) ب = {و ، ز ، ح}

ب) ب = {د ، هـ ، و ، ز ، ح}

ج) ب = {}

د) ب = {د ، هـ}

هـ) ب = {أ ، ب ، ج ، د ، هـ}

حل

البديل ب.

ترتيب العناصر في مخطط Venn-Euler ، وفقًا للبيان ، لدينا:

لذلك ، المجموعة ب = {د ، هـ ، و ، ز ، ح}.

بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm