مثلث المستطيل: ما هو ، المساحة ، المحيط

ا مثلث قائم يحصل على هذا الاسم لأن قياس إحدى زواياه 90 درجة، أي أنها زاوية قائمة. كونه أحد أكثر المضلعات دراسة في الهندسة المستوية، كان من الممكن رؤية بعض العلاقات بين الزوايا وكذلك بين جانبي هذا الشكل.

ا نظرية فيثاغورس، على سبيل المثال ، تم تطويره بعد إدراك وجود علاقة بين قياسات أضلاع المثلث. وهكذا ، بمعرفة قياسات ضلعي المثلث ، من الممكن حساب قيمة الضلع الثالث. تقول نظرية فيثاغورس أن مجموع مربع الساقين يساوي دائمًا مربع الوتر.

بالإضافة إلى نظرية فيثاغورس ، هناك مجال مهم آخر تم تطويره من خلال دراسات هذا المثلث وهو علم المثلثات، حيث يتم تطوير النسب بين جانبي المثلث ، والمعروفة باسم الجيب وجيب التمام والظل. من خلال هذه الأسباب لوحظ أن هناك نسبة بين قياسات أضلاع المثلثات القائمة التي لها زوايا متساوية.

اقرأ أيضا: ما هي النقاط الرائعة للمثلث؟

ملامح المثلث القائم

كائن على شكل مثلث قائم الزاوية

المثلث القائم هو أ مضلع له ثلاثة جوانبوثلاث زوايا، وإحدى هذه الزوايا مستقيمة ، أي 90 درجة. الزاويتان الأخريان حادتان ، أي أقل من 90 درجة. يُعرف الضلع الأطول ، والذي يكون دائمًا مقابل الزاوية 90 درجة ، بـ وتر، والاثنان الآخران البيكاري.

يحتفظ المثلث الأيمن بجميع الخصائص المعروفة للمثلث المشترك ، مثل حقيقة أن ال مجموع الزوايا الداخلية تكون مساوية لـ 180º. نظرًا لأن المجموع دائمًا هو 180º وإحدى زاوياته بالفعل 90º ، يمكننا القول إن الزاويتين الأخريين مكملتين دائمًا ، أي أن مجموعهما يساوي أيضًا 90º.

أ و ب ← الثديين

ج → وتر المثلث

محيط المثلث القائم

محيط أي مضلع هو طول مجموع أضلاعه. لذا ، لحساب محيط المثلث القائم الزاوية ، ما عليك سوى جمع أضلاعه.

P = أ + ب + ج

منطقة المثلث الأيمن

ال منطقة المثلث المستطيل وكذلك أ مثلث أي نصف حاصل الضرب بين القاعدة والارتفاع. ما يميز المثلث القائم هو أن إحدى رجليه تتزامن مع ارتفاعه ، لأنها متعامدة مع بعضها البعض ، لذلك لحساب المساحة ، نضرب الساقين ونقسم النتيجة على اثنين.

مثال:

احسب محيط ومساحة المثلث القائم أدناه مع العلم أن أضلاعه موضحة بالسنتيمتر.

ف = 8 + 15 + 17

P = 40 سم

الآن دعنا نحسب المساحة:

نرى أيضا: حساب مساحة المثلث باستخدام الزوايا

نظرية فيثاغورس

أفضل نظرية معروفة في الرياضيات هي بلا شك نظرية فيثاغورس. من هذه النظرية ، كان من الممكن أن نرى أن جوانب المثلث القائم الزاوية مرتبطة بالطريقة التالية: بالنظر إلى أي مثلث قائم الزاوية ، مجموع مربع الساقين يساوي مربع الوتر.

أ² + ب² = ج²

أ و ب ← الثديين

ج → وتر المثلث

من خلال هذه النظرية ، من الممكن إيجاد قيمة أي من ضلعي المثلث القائم الزاوية ، طالما أن الضلعين الآخرين معروفين.

مثال:

ما قيمة وتر المثلث القائم أدناه مع العلم أن قياساته معطاة بالسنتيمتر؟

بتطبيق نظرية فيثاغورس ، علينا:

6² + 8² = x²

36 + 64 = س²

100 = س²

ײ = 100

س = √100

س = 10 سم

لمعرفة المزيد حول هذه العلاقة المهمة ، اقرأ النص: تينظرية فيثاغورس.

علم المثلثات في المثلث القائم

يشير اسم علم المثلثات بالفعل إلى موضوع دراسته:

• ثلاثي → ثلاثة ؛
• gono → زاوية
•  المقاييس → متري أو قياس.

وبالتالي ، فإن علم المثلثات هو مجال الرياضيات يدرس العلاقة بين قياسات زوايا المثلث وها نحن بصدد التمسك بالمثلث القائم. يدرس علم المثلثات النسبة بين أضلاع المثلث وفقًا لها زاوية. مع هذا ، كان من الممكن تطوير مفاهيم مهمة ، وهي الأسباب الجيب وجيب التمام والظل. ومن الجدير بالذكر أن الأسباب المثلثية الأخرى قد تم تطويرها مع تعميق دراسة علم المثلثات في الدائرة المثلثية.

قبل فهم ماهية كل من هذه النسب ، من المهم أن نفهم ما هو الضلع المقابل وما هو الضلع المجاور بزاوية مثلث.

كما رأينا ، فإن وتر هو الضلع الذي يمثله المقطع AB ، لأنه دائمًا أطول ضلع في المثلث وأيضًا الجانب الذي يواجه زاوية 90 درجة. تُعرف الجوانب الأخرى بالأرجل. اعتمادًا على الزاوية التي نأخذها كمرجع ، يمكن أن يكون الضلع مقابلًا أو مجاورًا.

يُعرف البقري بالعكس عندما يواجه الزاوية. الضلع المقابل للزاوية ، على سبيل المثال ، هو الضلع AC ؛ من ناحية أخرى ، الضلع المقابل للزاوية lado هو الضلع BC.

ا البقري يعرف باسم المجاور عندما هو تشكل الزاوية بالقرب من الوتر. لاحظ أن الزاوية ꞵ تقع بين الضلع BC و AB. بما أن AB هو وتر المثلث القائم ، فإن AB هو أحد الضلع المجاورة للزاوية ꞵ. باستخدام نفس المنطق ، من الممكن أن نرى أن الحرف lado AC هو الضلع المجاور للزاوية ɑ.

من خلال فهم كل جانب من جوانب المثلث ، من الممكن فهم النسب المثلثية.

لتطبيق النسب المثلثية ، يجب أن نعرف الزوايا الرائعة ، وهي زوايا 30º و 45º و 60º. ترتبط معظم مشكلات الامتحان وامتحان القبول بهذه الزوايا ، ولذلك من الضروري معرفة قيم أسباب كل منها.

انظر الجدول الذي يحتوي على قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا البارزة:

بمعرفة قيمة النسب المثلثية للمثلث عن طريق الضلع والزاوية ، من الممكن إيجاد جميع جوانب المثلث القائم الزاوية من حساب المثلثات.

مثال:

العثور على قيمة x.

لإيجاد قيمة x ، لنلق نظرة على الزاوية المعطاة. لاحظ أنه بجوار الضلع الذي نعرف القياس منه ، أي AC بجوار الزاوية 30 °. ثم نطبق نسبة الظل ، التي تربط الضلع المجاور والوتر. أيضًا ، بالنظر إلى الجدول ، نعلم أن جيب التمام 30 يساوي √3 / 2.

الوصول أيضًا إلى: 4 أخطاء شائعة في علم المثلثات الأساسي

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - (IFG) جهاز Theodolite هو أداة دقيقة لقياس الزوايا الأفقية والزوايا الرأسية ، وتستخدم في أعمال البناء. تم التعاقد مع شركة لطلاء مبنى من أربعة طوابق. لمعرفة المساحة الإجمالية المراد رسمها ، تحتاج إلى معرفة ارتفاع المبنى. يقوم شخص واحد بوضع الآلة على ارتفاع 1.65 متر ، وإيجاد زاوية 30 درجة ، كما هو موضح في الشكل. بافتراض أن المزواة على بعد 13 مترًا من المبنى ، ما هو ارتفاع المبنى المراد طلاؤه بالأمتار؟

أ) 11.65

ب) 12.65

ج) 13.65

د) 14.65

هـ) 15.65

القرار

البديل د.

بما أننا نريد إيجاد الضلع المقابل للزاوية 30 ° ، مع العلم أن المسافة 13√3 ، وهي المسافة من المزواة إلى المبنى ، هي الضلع المجاور للزاوية 30 ° ، لذلك سنستخدم المماس:

الآن سنضيف 13 + 1.65 = ارتفاع 14.65 مترًا.

السؤال 2 - للقيام بالزراعة على أرضه ، قسّم المزارع أرضه الصالحة للزراعة في شكل مستطيل إلى نصفين ، على قطريها ، مكونًا مثلثين قائم الزاوية. في هذا التقسيم ، سيتم تسييج نصف الأرض بالأسلاك باستخدام 4 أسلاك. مع العلم ان ابعاد الارض هي 20 مترا عرضا و 21 مترا كم ستنفق على الاسلاك؟

أ) 29 مترا

ب) 70 مترا

ج) 140 متراً

د) 210 أمتار

هـ) 280 مترا

القرار

البديل E.

لنجد أولًا قطري التضاريس ، وهو وتر المثلث القائم الزاوية. لتسهيل الأمر ، سنجعل صورة الموقف:

لذلك علينا أن:

د² = 20 ² + 21 ²

د² = 400 + 441

د² = 841

د = -841

د = 29

للتجول ، يجب أن تكون 29 + 20 + 21 = 70 مترًا ، وكذلك 4 دورات ، 70 × 4 = 280 مترًا.

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm