التعاقب: ما هي ، أنواع ، صيغ ، أمثلة

نحن نعرف كيف التعاقب حالات خاصة من التسلسل الرقمي. هناك حالتان من التعاقب:

• المتوالية العددية

• المتوالية الهندسية

لكي نكون تقدمًا ، نحتاج إلى تحليل خصائص التسلسل لمعرفة ما إذا كان هناك ما نسميه سببًا. عندما يكون التقدم علم الحساب، السبب ليس أكثر من ثابت نضيفه إلى مصطلح لإيجاد خلفه في التسلسل ؛ الآن ، عند العمل مع التقدم هندسي، السبب له وظيفة مماثلة ، فقط في هذه الحالة ، يكون السبب هو الحد الثابت الذي من خلاله نضرب مصطلحًا في التسلسل للعثور على خلفه.

اجبة إلى سلوك يمكن التنبؤ به للتقدم ، هناك صيغ محددة للعثور على أي مصطلح في هذه التسلسلات ، ومن الممكن أيضًا تطوير صيغة لكل منهما (أي ، واحدة للحساب وواحدة للتقدم الهندسي) من أجل حساب المجموع من عندلا الشروط الأولى لهذا التقدم.

اقرأ أيضا: الوظائف - ما هي وما الغرض منها؟

تتصرف كمية الفاصوليا لكل حصاد كتسلسل هندسي

تسلسل رقمي

لفهم ماهية التعاقب ، نحتاج أولاً إلى فهم ماهيتها التسلسل الرقمي. كما يوحي الاسم ، نعرف التسلسل الرقمي أ مجموعة من الأرقام التي تحترم أمرًا محددًا جيدًا أم لا. على عكس مجموعات العدد حيث لا يهم الترتيب ، في تسلسل رقمي ، يكون الترتيب ضروريًا ، على سبيل المثال:

التسلسل (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5) يختلف عن (5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1) ، والذي يختلف عن التسلسل (1 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2). حتى لو كانت العناصر متطابقة ، لأن الترتيب مختلف ، لذلك لدينا تسلسلات مختلفة.

أمثلة:

يمكننا كتابة تسلسلات يسهل رؤية تشكيلاتها:

أ) (0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12) ← تسلسل أعداد زوجية أصغر من أو تساوي 12.

ب) (17 ، 15 ، 13 ، 11 ، 9 ، 7 ، 5) → تسلسل تنازلي للأرقام الفردية من 17 إلى 5.

ج) (1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ...) → المعروف باسم متتالية فيبوناتشي.

د) (1 ، -1 ، 2 ، -2 ، 3 ، -3 ، 4 ، -4 ...) → على الرغم من أنه من غير الممكن وصف هذا التسلسل مثل الآخرين ، فمن السهل التنبؤ بما ستكون عليه شروطه التالية.

في حالات أخرى، يمكن أن يكون للتسلسلات عشوائية كاملة في قيمهاعلى أي حال ، لكي تكون تسلسلاً ، ما يهم هو أن يكون لديك مجموعة من القيم المرتبة.

إلى 1؛ 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

ب) (2 ، 3 ، -3 ، 2 ، 6 ، 4 ، 8 ، -2 ...)

بقدر ما لا يمكن التنبؤ بالمصطلحات التالية في الحرف ب ، ما زلنا نعمل مع تكملة.

على العموم، يتم دائمًا تمثيل السلاسل بين قوسين () ، بالطريقة الآتية:

(ال₁، أ₂،ال₃، أ₄،ال₅، أ₆، أ₇، أ₈ …) → تسلسل لا نهائي

(ال₁، أ₂،ال₃، أ₄،ال₅، أ₆، أ₇، أ₈ … أ_لا) ← تسلسل محدود

في كليهما ، لدينا التمثيل التالي:

ال₁ → الفصل الدراسي الأول

ال₂ → مصطلح ثان

ال₃ → فترة ثالثة

.

.

.

ال_لا → المصطلح التاسع

ملاحظة: من الأهمية بمكان ، عند تمثيل تسلسل ، وضع البيانات بين قوسين. غالبًا ما يتم الخلط بين تدوين التسلسل وتدوين المجموعة. يتم تمثيل المجموعة في أقواس ، وفي المجموعة ليس الترتيب مهمًا ، مما يحدث فرقًا كبيرًا في هذه الحالة.

(1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5) ← تسلسل

مجموعة {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5}

هناك حالات معينة من التسلسل تُعرف بالتعاقب.

نرى أيضا: ما هو المبدأ الأساسي للعد؟

ما هي التعاقب؟

يتم تعريف التسلسل على أنه تقدم عندما يحتوي على ملف الانتظام من مصطلح إلى آخر، والمعروف باسم السبب. هناك حالتان للتقدم ، التقدم الحسابي والتقدم الهندسي. لمعرفة كيفية التفريق بين كل منهما ، نحتاج إلى فهم سبب التقدم وكيف يتفاعل هذا السبب مع شروط التسلسل.

عندما ، من مصطلح إلى آخر في التسلسل ، يكون لدي مبلغ ثابت، يتم تعريف هذا التسلسل على أنه تقدم ، وفي هذه الحالة يكون المتوالية العددية. تُعرف هذه القيمة التي نضيفها باستمرار باسم النسبة. الحالة الأخرى ، أي عندما يكون التسلسل أ المتوالية الهندسية، من مصطلح إلى آخر هناك أ الضرب بقيمة ثابتة. وبالمثل ، هذه القيمة هي نسبة التقدم الهندسي.

أمثلة:

أ) (1 ، 4 ، 7 ، 10 ، 13 ، 16 ...) → لاحظ أننا نضيف دائمًا 3 من مصطلح إلى آخر ، لذلك لدينا تقدم حسابي للنسبة يساوي 3.

ب) (1 ، 10 ، 100 ، 1000 ، 10000 ...) → في هذه الحالة ، نضرب دائمًا في 10 من حد إلى آخر ، ونتعامل مع تقدم هندسي للنسبة 10.

ج) (0 ، 2 ، 8 ، 26 ...) → في الحالة الأخيرة ، يوجد تسلسل واحد فقط. لإيجاد الحد التالي ، نضرب الحد في 3 ونضيف 2. هذه الحالة ، على الرغم من وجود انتظام لإيجاد الحدود التالية ، فهي مجرد تسلسل ، وليس تسلسلًا حسابيًا أو هندسيًا.

المتوالية العددية

عندما نعمل مع التسلسلات الرقمية ، فإن تلك التسلسلات التي يمكننا من خلالها توقع حدودها التالية تكون متكررة تمامًا. لكي يتم تصنيف هذا التسلسل على أنه المتوالية العددية، يجب أن يكون هناك ملف السبب أ. من المصطلح الأول ، المصطلح التالي هو تم إنشاؤها بواسطة مجموع المصطلح السابق مع السبب ص.

أمثلة:

أ) (4 ، 7 ، 10 ، 13 ، 16 ، 19 ، 22 ، 25 ...)

هذا هو التسلسل الذي يمكن تصنيفها على أنها تقدم حسابي ، لأن السبب ص = 3 والحد الأول هو 4.

ب) (7 ، 2 ، -3 ، -8 ، -13 ، -18 ، -23 ...)

هذا التسلسل هو تقدم حسابي لسبب وجيه. ص = -5 ، والحد الأول هو 7.

• شروط السلطة الفلسطينية

في كثير من الحالات ، ينصب اهتمامنا على إيجاد مصطلح معين في التقدم ، دون الحاجة إلى كتابة التسلسل بأكمله. بمعرفة قيمة المصطلح الأول والنسبة ، من الممكن إيجاد قيمة أي مصطلح في التقدم الحسابي. لإيجاد شروط التقدم الحركي ، نستخدم الصيغة:

ال_لا = ال₁+ (ن - 1) ص

مثال:

أوجد الحد 25 من P.A نسبته 3 والحد الأول هو 12.

البيانات ص = 3 ،₁ = 12. نريد إيجاد الحد الخامس والعشرين ، أي ن = 25.

ال_لا = ال₁+ (ن - 1) ص

ال₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

ال₂₅ = 12 + 24 · 3

ال₂₅ = 12 + 72

ال₂₅ = 84

• المصطلح العام لـ P.A.

صيغة المصطلح العام هي أ طريقة لتبسيط صيغة مصطلح AP للعثور على أي مصطلح تقدم بسرعة أكبر. بمجرد معرفة المصطلح الأول والسبب ، يكفي استبدال المصطلح في الصيغة بمصطلح PA ، من أجل العثور على المصطلح العام للتقدم الحسابي ، والذي يعتمد فقط على قيمة لا.

مثال:

أوجد المصطلح العام لـ P. ص = 3 و₁ = 2.

ال_لا = 2 + (ن -1) ص

ال_لا = 2 + (ن -1) 3

ال_لا = 2 + 3 ن - 3

ال_لا = 2 ن - 1

هذا هو المصطلح العام لـ PA ، والذي يعمل على إيجاد أي مصطلح في هذا التقدم.

• مجموع شروط السلطة الفلسطينية

ال مجموع شروط السلطة الفلسطينية سيكون الأمر شاقًا جدًا إذا كان من الضروري العثور على كل من شروطه وإضافتها. هناك صيغة لحساب مجموع الكل لا الشروط الأولى للتقدم الحسابي:

مثال:

أوجد مجموع كل الأعداد الفردية من 1 إلى 100.

نحن نعلم أن الأرقام الفردية هي تطور حسابي للنسبة 2: (1 ، 3 ، 5 ، 7... 99). في هذا التقدم ، هناك 50 حدًا ، حيث من 1 إلى 100 ، نصف الأرقام زوجية والنصف الآخر فردي.

لذلك علينا أن:

ن = 50

ال₁ = 1

ال_لا = 99

الوصول أيضًا إلى: وظيفة الدرجة الأولى - الاستخدام العملي للتقدم الحسابي

المتوالية الهندسية

يمكن أيضًا تصنيف السلسلة على أنها العلاقات العامةجوف هندسي (PG). لكي يكون التسلسل تسلسلاً هندسيًا ، يجب أن يكون له سبب ، ولكن في هذه الحالة ، لإيجاد الحد التالي من الحد الأول ، نقوم بإجراء ضرب النسبة بالمصطلح السابق.

أمثلة:

أ) (3 ، 6 ، 12 ، 24 ، 48 ...) → التدرج الهندسي للنسبة 2 ، ومصطلحها الأول هو 3.

ب) (20 ، 200 ، 2000 ، 20000 ...) → التدرج الهندسي للنسبة 10 ، والحد الأول لها هو 20.

• مصطلح PG

في تقدم هندسي ، نحن نمثل سبب الحرف ماذا او ما. يمكن العثور على مصطلح التقدم الهندسي من خلال الصيغة:

ال_لا = ال₁ · ماذا او ما^{ن - 1}

مثال:

أوجد الحد العاشر من PG ، مع العلم بذلك ماذا او ما = 2 و₁ = 5.

ال_لا = ال₁ · ماذا او ما^{ن - 1}

ال₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

ال₁₀ = 5 · 2⁹

ال₁₀ = 5 · 512

ال₁₀ = 2560

• مصطلح عام لـ PG

عندما نعرف المصطلح الأول والسبب ، من الممكن إنشاء صيغة المصطلح العام من التقدم الهندسي الذي يعتمد حصريًا على قيمة لا. للقيام بذلك ، نحتاج فقط إلى استبدال المصطلح الأول والنسبة ، وسنجد معادلة تعتمد فقط على قيمة لا.

باستخدام المثال السابق ، حيث تكون النسبة 2 والمصطلح الأول 5 ، فإن المصطلح العام لهذا GP هو:

ال_لا = ال₁ · ماذا او ما^{ن - 1}

ال_لا = 5 · 2^{ن - 1}

• مجموع شروط PG

ستكون إضافة جميع شروط التقدم يتطلب الكثير من العمل. في كثير من الحالات ، تكون كتابة التسلسل بأكمله لإنجاز هذا المجموع مضيعة للوقت. لتسهيل هذا الحساب ، يحتوي التقدم الهندسي على صيغة تعمل على حساب مجموع لا العناصر الأولى من PG محدود:

مثال:

أوجد مجموع أول 10 حدود من GP (1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ...).

لاحظ أن نسبة PG تساوي 2.

ال₁ = 1

ماذا او ما = 2

لا = 10

اقرأ أيضا: دالة أسية - استخدام عملي للتقدم الهندسي

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - يلاحظ العلماء ثقافة معينة من البكتيريا لبضعة أيام. يقوم أحدهم بتحليل نمو هذه المجموعة السكانية ، ولاحظ أنه في اليوم الأول كان هناك 100 بكتيريا ؛ في الثانية 300 بكتيريا. في الثالثة 900 بكتيريا وهكذا. عند تحليل هذا التسلسل ، يمكننا القول أنه:

أ) تقدم حسابي للنسبة 200.

ب) تعاقب هندسي بنسبة 200.

ج) تطور حسابي للعقل 3.

د) تعاقب هندسي للنسبة 3.

ه) تسلسل ، ولكن ليس تقدمًا.

القرار

البديل د.

عند تحليل التسلسل ، لدينا المصطلحات:

لاحظ أن 900/300 = 3 وكذلك 300/100 = 3. لذلك ، فإننا نعمل مع PG للنسبة 3 ، حيث نضرب في ثلاثة من الحد الأول.

السؤال 2 - (Enem - PPL) بالنسبة للمبتدئين في الجري ، تم تحديد خطة التدريب اليومية التالية: الركض 300 متر في اليوم الأول وزيادة 200 متر في اليوم من اليوم الثاني. لحساب أدائه ، سيستخدم شريحة ، متصلة بحذاءه الرياضي ، لقياس المسافة المقطوعة في التدريب. ضع في اعتبارك أن هذه الشريحة تخزن ، في ذاكرتها ، بحد أقصى 9.5 كيلومترات من الجري / المشي ، ويجب وضعها في بداية التدريب والتخلص منها بعد استنفاد مساحة احتياطي البيانات. إذا استخدم هذا اللاعب الرقاقة من اليوم الأول من التدريب ، فكم عدد الأيام المتتالية التي ستتمكن فيها هذه الشريحة من تخزين الأميال الخاصة بخطة التدريب اليومية؟

أ) 7

ب) 8

ج) 9

د) 12

هـ) 13

القرار

البديل ب.

عند تحليل الموقف ، نعلم أن لدينا PA مع سبب 200 ونهاية أولية تساوي 300.

علاوة على ذلك ، نعلم أن مجموع S._لا = 9.5 كم = 9500 متر.

باستخدام هذه البيانات ، دعنا نجد المصطلح أ_لا، وهو عدد الكيلومترات المسجلة في آخر يوم تخزين.

من الجدير أيضًا أن نتذكر أن أي مصطلح أ_لا يمكن كتابتها على النحو التالي:

ال_لا = ال₁ + (ن - 1)ص

بالنظر إلى المعادلة 200n² + 400n - 19000 = 0 ، يمكننا قسمة جميع الحدود على 200 ، وتبسيط المعادلة وإيجاد: n² + 2n - 95 = 0.

بالنسبة لدلتا وباسكارا ، علينا:

أ = 1

ب = 2

ج = -95

Δ = ب² - 4 أ

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

نحن نعلم أن 8.75 يتوافق مع 8 أيام وبضع ساعات. في هذه الحالة ، يكون عدد الأيام التي يمكن فيها إجراء القياس هو 8.

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm