المحددات: كيفية الحساب ، الخصائص ، الأمثلة

ا محدد من أ مقر لديها العديد من التطبيقات حاليا. نستخدم المحدد للتحقق من محاذاة ثلاث نقاط في المستوى الديكارتي ، إلى حساب مناطق المثلثات ، لحل الأنظمة الخطية ، من بين تطبيقات أخرى في الرياضيات. دراسة المحددات لا يقتصر على الرياضيات، هناك بعض التطبيقات في الفيزياء ، مثل دراسة المجالات الكهربائية.

نحسب محددات المصفوفات المربعة فقط، أي المصفوفات التي يتساوى فيها عدد الأعمدة وعدد الصفوف. لحساب محدد المصفوفة ، نحتاج إلى تحليل ترتيبها ، أي إذا كانت 1x1 ، 2x2 و 3x3 وما إلى ذلك ، كلما ارتفع طلبك ، كلما كان من الصعب العثور على ملف محدد. ومع ذلك ، هناك طرق مهمة لأداء التمرين ، مثل حكم ساروس، تستخدم لحساب محددات المصفوفات 3x3.

اقرأ أيضا: عملية حل نظام خطي م × ن

حساب محدد مصفوفة من الرتبة 2.

محدد المصفوفة بالترتيب 1

تُعرف المصفوفة بالطلب 1 عندما يكون لها بالضبط صف وعمود. عندما يحدث هذا ، فإن المصفوفة لديها عنصر واحد، ال₁₁. في هذه الحالة ، يتطابق محدد المصفوفة مع مصطلحها الوحيد.

أ = (أ₁₁)

det (A) = | ال₁₁ | = ال₁₁

مثال:

أ = [2]

det (A) = | 2 | = 2

من أجل حساب محددات مصفوفات الرتبة 1 ، من الضروري فقط معرفة عنصرها الفردي.

محددات مصفوفات الترتيب 2

تحتوي المصفوفة المربعة 2 × 2 ، والمعروفة أيضًا باسم مصفوفة الرتبة 2 أربعة عناصر، في هذه الحالة ، لحساب المحدد ، من الضروري معرفة ما هو قطري رئيسي و ال قطري ثانوي.

لحساب محدد مصفوفة من الرتبة 2 ، نحسبفرق أدخل منتج الشروط قطري رئيسي وشروط قطري ثانوي. باستخدام المثال الجبري الذي أنشأناه ، سيكون det (A):

مثال:

محدد المصفوفة بالترتيب 3

ترتيب المصفوفة الثلاثة هو أكثر شاقة للحصول على المحدد من السابق ، في الواقع ، كلما ارتفع ترتيب المصفوفة ، سيكون هذا العمل أكثر صعوبة. في ذلك من الضروري استخدم ما نعرفه حكم ساروس.

• حكم ساروس

قاعدة Sarrus هي طريقة لحساب محددات مصفوفات الأمر 3. من الضروري اتباع بعض الخطوات ، كونها الأولى كرر أول عمودين في نهاية المصفوفة، كما هو موضح في المثال التالي.

لنذهب الان اضرب حدود كل من الأقطار الثلاثة التي هي في نفس اتجاه القطر الرئيسي.

سنقوم بعملية مماثلة مع القطر الثانوي والقطرين الآخرين اللذين في نفس اتجاهه.

لاحظ أن دائمًا ما تكون شروط القطر الثانوي مصحوبة بعلامة الطرح.أي أننا سنغير دائمًا علامة نتيجة ضرب الحدود القطرية الثانوية.

مثال:

نرى أيضا: نظرية بينيه - عملية عملية لضرب المصفوفة

الخصائص المحددة

• الملكية الأولى

إذا كان أحد خطوط المصفوفة يساوي 0 ، فسيكون محددها مساويًا للصفر.

مثال:

• الملكية الثانية

لنفترض أن A و B مصفوفتان ، det (A · B) = det (A) · det (B).

مثال:

لحساب المحددات المنفصلة ، علينا:

det (A) = 2 · (-6) - 5 · 3
det (A) = -12-15 = -27

det (B) = 4 · 1 - 2 · (-2)
det (B) = 4 + 4 = +8

لذا det (A) · det (B) = -27 · 8 = -216

الآن لنحسب det (A · B)

• الملكية الثالثة

لنفترض أن A عبارة عن مصفوفة و A "مصفوفة جديدة يتم إنشاؤها عن طريق تبديل صفوف المصفوفة A ، ثم det (A") = -det (A) ، أو بمعنى ، عند عكس موضع خطوط المصفوفة ، سيكون لمحددها نفس القيمة ، ولكن بعلامة تبادل.

مثال:

• الملكية الرابعة

خطوط متساوية أو متناسب اجعل محدد المصفوفة يساوي 0.

مثال:

لاحظ أن الحدود في الصف الثاني في المصفوفة A هي ضعف حدود الصف الأول.

الوصول أيضًا إلى:تطبيق المصفوفات في امتحانات القبول

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - (Vunesp) بالنظر إلى المصفوفتين A و B ، حدد قيمة det (A · B):

إلى 1

ب) 6

ج) 10

د) 12

هـ) 14

القرار

البديل ه

نعلم أن det (A · B) = det (A) · det (B):

det (A) = 1 · 4 - 2 · 3 = 4-6 = -2
det (B) = -1 · 1-3 · 2 = -1-6 = -7

لذلك علينا:
det (A · B) = det (A) · det (B)
det (A · B) = -2 (-7) = 14

السؤال 2 - بالنظر إلى المصفوفة A ، ما قيمة x حتى تساوي det (A) 0؟

أ) 1/2

ب) 1/3

ج) 1/9

د) 3
هـ) 9

القرار

البديل ب

عند حساب محدد A ، علينا:

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm