علاقة أويلر هي مساواة تتعلق بعدد الرؤوس والحواف والوجوه في متعددات الوجوه المحدبة. تقول أن عدد الوجوه زائد عدد الرؤوس يساوي عدد الأضلاع زائد اثنين.
يتم تقديم علاقة أويلر من خلال:
أين،
F هو عدد الوجوه ،
الخامس عدد القمم
ال عدد الحواف.
يمكننا استخدام علاقة أويلر لتحديد أو تأكيد قيم غير معروفة لـ V أو F أو A ، عندما يكون متعدد السطوح محدبًا.
| متعدد الوجوه | F | الخامس | ال | F + V. | أ + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| مكعب | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| الهرم الثلاثي | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| منشور قاعدة خماسي | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| ثماني السطوح العادية | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
مثال
متعدد السطوح محدب له 20 وجهًا و 12 رأسًا. حدد عدد الحواف.
باستخدام علاقة أويلر وعزل أ:
استبدال قيم F و V:
الوجوه والرؤوس والحواف
متعددات الوجوه عبارة عن أشكال هندسية صلبة ثلاثية الأبعاد بدون جوانب مستديرة. هذه الجوانب هي الوجوه (F) من متعدد السطوح.
لقاء الوجوه نسميه الحواف (أ).
الرؤوس هي النقاط التي تلتقي فيها ثلاثة حواف أو أكثر.
متعدد الوجوه محدب
متعددات الوجوه المحدبة عبارة عن مواد صلبة هندسية لا تظهر تقعرًا ، لذلك لا توجد زوايا داخلية أكبر من 180 درجة على أي وجه من وجوههم.
في هذا متعدد الوجوه ، الزاوية الداخلية المميزة باللون الأزرق لها أكثر من 180 درجة ، لذلك فهي ليست متعددة السطوح محدبة.
رؤية المزيد حول متعددات الوجوه.
تمارين على علاقة أويلر
التمرين 1
أوجد عدد الوجوه في متعدد السطوح 9 حواف و 6 رؤوس.
الإجابة الصحيحة: 5 وجوه.
باستخدام علاقة أويلر:
F + V = A + 2
و = أ + 2 - ف
إ = 9 + 2-6
إ = 11-6
F = 5
تمرين 2
ثنائي الوجوه هو مادة صلبة أفلاطونية لها 12 وجهًا. مع العلم أن لها 20 رأسًا ، حدد عدد أضلاعها.
الإجابة الصحيحة:
باستخدام علاقة أويلر:
F + V = A + 2
F + V - 2 = أ
12 + 20 - 2 = أ
32-2 = أ
30 = أ
التمرين 3
ما هو اسم متعدد السطوح ذو 4 رؤوس و 6 حواف بالنسبة لعدد وجوهه ، حيث تكون الوجوه مثلثات؟
الجواب: رباعي الوجوه.
نحن بحاجة إلى تحديد عدد الوجوه.
F + V = A + 2
و = أ + 2 - ف
إ = 6 + 2-4
إ = ٨ - ٤
F = 4
يسمى متعدد الوجوه الذي له 4 وجوه على شكل مثلثات رباعي الوجوه.
من هو ليونارد بول أويلر؟
كان ليونارد بول أويلر (1707-1783) من أمهر علماء الرياضيات والفيزياء في التاريخ ، كما ساهم في دراسات علم الفلك. سويسري يتحدث الألمانية ، وكان أستاذا للفيزياء في أكاديمية سان بطرسبرج للعلوم ولاحقا في أكاديمية برلين. نشر العديد من الدراسات في الرياضيات.
تعلم أيضًا:
- المواد الصلبة الهندسية
- الهندسة المكانية
- الأشكال الهندسية
- المنشور - الشكل الهندسي
- هرم
- حجارة الرصف
- مكعب
