قانون جيب التمام: تطبيق وأمثلة وتمارين

ال قانون جيب التمام يستخدم لحساب قياس جانب واحد أو زاوية غير معروفة لأي مثلث ، مع معرفة قياساته الأخرى.

البيان والصيغ

تنص نظرية جيب التمام على أن:

"في أي مثلث ، يكون المربع الموجود على أحد أضلاعه هو مجموع مربعات الضلعين الآخرين ، مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين بجيب تمام الزاوية بينهما.."

وهكذا ، وفقًا لقانون جيب التمام ، لدينا العلاقات التالية بين أضلاع وزوايا المثلث:

أمثلة

1. قياس ضلعي المثلث 20 سم و 12 سم ويكونان بينهما زاوية مقدارها 120 درجة. احسب قياس الضلع الثالث.

حل

لحساب قياس الضلع الثالث ، سنستخدم قانون جيب التمام. لهذا ، دعنا نفكر في:

ب = 20 سم
ج = 12 سم
cos α = cos 120º = - 0.5 (القيمة الموجودة في الجداول المثلثية).

استبدال هذه القيم في الصيغة:

ال² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
ال² = 400 + 144 + 240
ال² = 784
أ = 784
أ = 28 سم

لذا فإن الجانب الثالث يقيس 28 سم.

2. أوجد قياس الضلع AC وقياس الزاوية التي يكون الرأس عند A من الشكل التالي:

أولاً ، لنحدد AC = b:

ب² = 8² + 10² – 2. 8. 10. كوس 50
ب² = 164 – 160. كوس 50
ب² = 164 – 160. 0,64279
ب ≈ 7.82

الآن ، لنحدد قياس الزاوية بقانون جيب التمام:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. كوس
64 = 161.1524 - 156.4 cos Â
كوس Â = 0.62
 = 52º

ملحوظة: لإيجاد قيم زوايا جيب التمام نستخدم الجدول المثلثي. في ذلك ، لدينا قيم الزوايا من 1º إلى 90º لكل دالة مثلثية (الجيب وجيب التمام والظل).

طلب

يمكن تطبيق قانون جيب التمام على أي مثلث. سواء كانت حادة الزاوية (زوايا داخلية أقل من 90 درجة) ، أو منفرجة الزاوية (بزاوية داخلية أكبر من 90 درجة) ، أو مستطيل (بزاوية داخلية تساوي 90 درجة).

تمثيل المثلثات من حيث زواياها الداخلية

ماذا عن المثلثات المستطيلة؟

دعنا نطبق قانون جيب التمام على الضلع المقابل للزاوية 90 درجة ، كما هو موضح أدناه:

ال² = ب² + ج² - 2. ب. ç. كوس 90º

بما أن cos 90º = 0 ، يصبح التعبير أعلاه:

ال² = ب² + ج²

وهو نفس التعبير عن نظرية فيثاغورس. وبالتالي ، يمكننا القول أن هذه النظرية هي حالة خاصة لقانون جيب التمام.

قانون جيب التمام مناسب للمسائل حيث نعرف الضلع والزاوية بينهما ونريد إيجاد الضلع الثالث.

لا يزال بإمكاننا استخدامها عندما نعرف الأضلاع الثلاثة للمثلث ونريد معرفة إحدى زواياه.

في المواقف التي نعرف فيها زاويتين وجانب واحد فقط ونريد تحديد جانب آخر ، يكون من الأنسب استخدام قانون الخطايا.

تعريف جيب التمام والجيب

يتم تعريف جيب التمام وجيب الزاوية على أنهما النسب المثلثية في مثلث قائم الزاوية. الضلع المقابل للزاوية اليمنى (90 درجة) يسمى الوتر والجانبان الآخران يسمى الأرجل ، كما هو مبين في الشكل أدناه:

تمثيل المثلث الأيمن وجوانبه: الوركين والوتر

ثم يتم تعريف جيب التمام على أنه النسبة بين قياس الضلع المجاور والوتر:

من ناحية أخرى ، فإن الجيب هو النسبة بين قياس الضلع المقابلة والوتر.

تمارين امتحان القبول

1. (UFSCar) إذا كانت جوانب المثلث تقيس x و x + 1 و x +2 ، فعندئذٍ لأي منها x حقيقي وأكبر من 1 ، يساوي جيب تمام الزاوية الداخلية الأكبر لهذا المثلث:

أ) س / س + 1
ب) x / x + 2
ج) x + 1 / x + 2
د) × - 2 / 3x
ه) × - 3 / 2x

انظر للاجابة

البديل هـ) x - 3 / 2x

2. (UFRS) في المثلث الموضح في الشكل أدناه ، AB و AC لهما نفس المقياس ، والارتفاع بالنسبة إلى الضلع BC يساوي 2/3 من قياس BC.

بناءً على هذه البيانات ، يكون جيب التمام للزاوية CÂB هو:

أ) 7/25
ب) 7/20
ج) 4/5
د) 5/7
هـ) 5/6

انظر للاجابة

البديل أ) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) قياس ضلعي المثلث 8 م و 10 م وتشكلان زاوية 60 درجة. يقيس الضلع الثالث من هذا المثلث:

أ) 2 - 21 م
ب) 2 - 31 م
ج) 2 - 41 م
د) 2-51 م
هـ) 2 - 61 م

انظر للاجابة

البديل أ) 2 - 21 م

اقرأ المزيد عن الموضوع:

• علم المثلثات
• علم المثلثات في المثلث المستطيل
• تمارين حساب المثلثات في المثلث الأيمن
• العلاقات المثلثية
• الدائرة المثلثية
• الدوال المثلثية