منطقة الأشكال المسطحة: تمارين تم حلها والتعليق عليها

تمثل منطقة الشكل المسطح مدى امتداد الشكل في المستوى. كأشكال مسطحة ، يمكننا أن نذكر المثلث ، المستطيل ، المعين ، شبه المنحرف ، الدائرة ، من بين أمور أخرى.

استخدم الأسئلة أدناه للتحقق من معرفتك بهذا الموضوع الهام للهندسة.

تم حل مشكلات المسابقة

السؤال رقم 1

(Cefet / MG - 2016) يجب تقسيم المساحة المربعة للموقع إلى أربعة أجزاء متساوية ، وكذلك مربع ، و ، في إحداها ، يجب الحفاظ على محمية غابة أصلية (منطقة فقس) ، كما هو موضح في الشكل أ إتبع.

مع العلم أن B هي نقطة المنتصف للجزء AE و C هي نقطة منتصف الجزء EF ، المنطقة المظلمة ، بالمتر²، أعطني

أ) 625.0.
ب) 925.5.
ج) 1562.5.
د) 2500.0.

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ج) 1562.5.

من خلال ملاحظة الشكل ، نلاحظ أن المنطقة المظلمة تتوافق مع مساحة المربع مع ضلع 50 م ناقص مساحة المثلثين BEC و CFD.

قياس الضلع BE للمثلث BEC يساوي 25 م ، حيث تقسم النقطة B الضلع إلى جزأين متطابقين (نقطة منتصف المقطع).

يحدث الشيء نفسه مع الجانبين EC و CF ، أي أن قياساتهما تساوي أيضًا 25 مترًا ، نظرًا لأن النقطة C هي نقطة منتصف الجزء EF.

وبالتالي ، يمكننا حساب مساحة المثلثات BEC و CFD. بالنظر إلى ضلعين معروفين بالقاعدة ، فإن الضلع الآخر سيساوي الارتفاع ، لأن المثلثات عبارة عن مستطيلات.

بحساب مساحة المربع والمثلثات BEC و CFD لدينا:

لذلك ، فإن المنطقة المحققة ، بالمتر²، يقيس 1562.5.

السؤال 2

(Cefet / RJ - 2017) المربع ذو الضلع x ومثلث متساوي الأضلاع مع ضلع y لهما مساحات من نفس القياس. وبالتالي ، يمكن القول أن نسبة x / y تساوي:

انظر للاجابة

البديل الصحيح: .

المعلومات الواردة في المشكلة هي أن المناطق هي نفسها ، أي:

يمكن إيجاد مساحة المثلث بضرب القياس الأساسي في قياس الارتفاع وقسمة الناتج على 2. بما أن المثلث متساوي الأضلاع والضلع يساوي y ، فإن قيمة ارتفاعه تُعطى من خلال:

لذلك ، يمكن القول أن نسبة x / y تساوي .

السؤال 3

(IFSP - 2016) ساحة عامة على شكل دائرة نصف قطرها 18 مترًا. في ضوء ما سبق ، حدد البديل الذي يمثل منطقتك.

أ) 1017.36 م²
ب) 1،254.98 م²
ج) 1589.77 م²
د) 1698.44 م²
هـ) 1710.34 م²

انظر للاجابة

البديل الصحيح: أ) 1017 ، 36 م².

لإيجاد مساحة المربع ، علينا استخدام صيغة مساحة الدائرة:

أ = π.R²

باستبدال قيمة نصف القطر مع الأخذ في الاعتبار π = 3.14 ، نجد:

أ = 3.14. 18² = 3,14. 324 = 1017 ، 36 م²

إذن ، مساحة المربع هي 1017 ، 36 م².

السؤال 4

(IFRS - 2016) للمستطيل أبعاد x و y ، والتي يتم التعبير عنها بواسطة معادلات x² = 12 و (ص - 1)² = 3.

محيط هذا المستطيل ومساحته على التوالي

أ) 6√3 + 2 و 2 + 6√3
ب) 6√3 و 1 + 2√3
ج) 6√3 + 2 و 12
د) 6 و 2 - 3
هـ) 6√3 + 2 و 2√3 + 6

انظر للاجابة

البديل الصحيح: هـ) 6√3 + 2 و 2√3 + 6.

لنحل المعادلتين أولاً لإيجاد قيم x و y:

x²= 12 ⇒ س = √12 = √4.3 = 2√3
(ص - 1) ²= 3 ⇒ ص = -3 + 1

سيكون محيط المستطيل مساويًا لمجموع جميع الأضلاع:

ف = 2.2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

لإيجاد المنطقة ، اضرب x.y:

أ = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

إذن ، محيط المستطيل ومساحته هما على التوالي 6√3 + 2 و 2√3 + 6 على التوالي.

السؤال 5

(مبتدئ بحار - 2016) حلل الشكل التالي:

مع العلم أن EP هو نصف قطر نصف الدائرة المركزي في E ، كما هو موضح في الشكل أعلاه ، حدد قيمة المنطقة الأغمق وتحقق من الخيار الصحيح. البيانات: العدد π = 3

أ) 10 سم²
ب) 12 سم²
ج) 18 سم²
د) 10 سم²
هـ) 24 سم²

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ب) 12 سم².

تم العثور على المنطقة الأغمق عن طريق إضافة مساحة نصف محيط إلى منطقة المثلث ABD. لنبدأ بحساب مساحة المثلث ، لذلك لاحظ أن المثلث مستطيل.

دعنا نسمي الجانب AD من x ونحسب قياسه باستخدام نظرية فيثاغورس ، كما هو موضح أدناه:

5²= س² + 3²
x² = 25 - 9
س = -16
س = 4

بمعرفة قياس جانب AD ، يمكننا حساب مساحة المثلث:

ما زلنا بحاجة إلى حساب مساحة نصف المحيط. لاحظ أن نصف قطرها سيساوي نصف القياس على الضلع AD ، لذا r = 2 cm. ستكون منطقة نصف دائرة مساوية لـ:

سيتم العثور على أحلك منطقة عن طريق القيام بما يلي:_تي = 6 + 6 = 12 سم²

لذلك ، فإن قيمة المنطقة المظلمة هي 12 سم².

السؤال 6

(Enem - 2016) يريد رجل ، أب لطفلين ، شراء قطعتين من الأرض ، بمساحات من نفس القياس ، واحدة لكل طفل. تم تحديد إحدى الأراضي التي تمت زيارتها بالفعل ، وعلى الرغم من أنها لا تحتوي على تنسيق تقليدي (كما هو موضح في الشكل ب) ، فقد أسعد الابن الأكبر ، وبالتالي تم شراؤها. الابن الأصغر لديه مشروع معماري لمنزل يريد بناءه ، لكنه يحتاج إلى ذلك من تضاريس في شكل مستطيل (كما هو موضح في الشكل أ) يبلغ طولها 7 أمتار أطول من العرض.

لإرضاء الابن الأصغر ، يحتاج هذا الرجل إلى العثور على قطعة أرض مستطيلة تكون قياساتها بالأمتار والطول والعرض متساوية ، على التوالي ،

أ) 7.5 و 14.5
ب) 9.0 و 16.0
ج) 9.3 و 16.3
د) 10.0 و 17.0
هـ) 13.5 و 20.5

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ب) 9.0 و 16.0.

بما أن مساحة الشكل أ تساوي مساحة الشكل ب ، فلنحسب هذه المساحة أولاً. لهذا ، دعنا نقسم الشكل ب ، كما هو موضح في الصورة أدناه:

لاحظ أنه عند تقسيم الشكل ، يكون لدينا مثلثين قائم الزاوية. لذلك ، فإن مساحة الشكل ب ستكون مساوية لمجموع مساحات هذه المثلثات. بحساب هذه المجالات ، لدينا:

نظرًا لأن الشكل أ عبارة عن مستطيل ، يتم العثور على مساحته من خلال القيام بما يلي:

ال_ال = س. (س + 7) = س² + 7x

معادلة مساحة الشكل أ بالقيمة الموجودة لمساحة الشكل ب ، نجد:

x² + 7 س = 144
x² + 7 س - 144 = 0

لنحل معادلة الدرجة الثانية باستخدام صيغة باسكارا:

نظرًا لأن المقياس لا يمكن أن يكون سالبًا ، فلننظر إلى القيمة التي تساوي 9. لذلك ، فإن عرض الأرض في الشكل أ سيساوي 9 أمتار والطول سيساوي 16 مترًا (9 + 7).

لذلك ، يجب أن تكون قياسات الطول والعرض مساوية لـ 9.0 و 16.0 على التوالي.

السؤال 7

(Enem - 2015) تمتلك شركة الهواتف المحمولة هوائيين سيتم استبدالهما بآخر جديد أكثر قوة. مناطق تغطية الهوائيات التي سيتم استبدالها هي دوائر نصف قطرها 2 km ، محيطها مماس للنقطة O ، كما هو مبين في الشكل.

تشير النقطة O إلى موضع الهوائي الجديد ، وستكون منطقة تغطيته عبارة عن دائرة يكون محيطها مماسًا خارجيًا لمحيط مناطق التغطية الأصغر. مع تركيب الهوائي الجديد ، تم توسيع قياس مساحة التغطية ، بالكيلومترات المربعة

أ) 8 π
ب) 12 π
ج) 16 π
د) 32
هـ) 64

انظر للاجابة

البديل الصحيح: أ) 8 π.

يمكن العثور على تكبير قياس مساحة التغطية عن طريق تقليل مناطق الدوائر الأصغر للدائرة الأكبر (بالإشارة إلى الهوائي الجديد).

نظرًا لأن محيط منطقة التغطية الجديدة يلامس خارجيًا المحيط الأصغر ، فإن نصف قطرها سيكون مساويًا لـ 4 كم ، كما هو موضح في الشكل أدناه:

دعونا نحسب المساحات أ₁ و ال₂ الدوائر الأصغر ومنطقة أ₃ من الدائرة الأكبر:

ال₁ = أ₂ = 2². π = 4 π
ال₃ = 4².π = 16 π

يمكن العثور على قياس المنطقة المتضخمة عن طريق القيام بما يلي:

أ = 16 - 4 - 4 π = 8

لذلك ، مع تركيب الهوائي الجديد ، زادت مساحة التغطية ، بالكيلومترات المربعة ، بمقدار 8 π.

السؤال 8

(Enem - 2015) رسم بياني يوضح تكوين ملعب كرة سلة. تتوافق شبه المنحرفات الرمادية ، المسماة carboys ، مع المناطق المحظورة.

بهدف تلبية إرشادات اللجنة المركزية للاتحاد الدولي لكرة السلة (فيبا) في عام 2010 ، والتي وحدت العلامات من السبائك المختلفة ، تم توقع تعديل في carboys في المحاكم ، والتي ستصبح مستطيلات ، كما هو موضح في المخطط II.

بعد إجراء التغييرات المخطط لها ، كان هناك تغيير في المنطقة التي يشغلها كل درع ، والذي يتوافق مع (أ)

أ) زيادة 5800 سم².
ب) 75400 سم زيادة².
ج) زيادة 214600 سم².
د) نقص 63800 سم².
هـ) نقص 272600 سم².

انظر للاجابة

البديل الصحيح: أ) زيادة قدرها 5800 سم².

لمعرفة التغيير في المنطقة المشغولة ، دعنا نحسب المساحة قبل التغيير وبعده.

في حساب المخطط الأول ، سنستخدم صيغة منطقة شبه المنحرف. في الشكل 2 ، سنستخدم صيغة مساحة المستطيل.

سيكون تغيير المنطقة بعد ذلك:

أ = أ_II - أ_أنا
أ = 284200-278400 = 5800 سم²

لذلك ، بعد إجراء التعديلات المخططة ، حدث تغيير في المساحة التي يشغلها كل درع ، وهو ما يتوافق مع زيادة قدرها 5800 سم 2.

التدريبات المقترحة (مع القرار)

السؤال 9

قررت آنا بناء مسبح مستطيل في منزلها بمساحة 8 أمتار وارتفاع 5 أمتار. في كل مكان حوله ، على شكل أرجوحة ، كان مليئًا بالعشب.

علما أن ارتفاع الأرجوحة 11 م وقواعدها 20 م و 14 م فما مساحة الجزء المملوء بالعشب؟

أ) 294 م²
ب) 153 م²
ج) 147 م²
د) 216 م²

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ج) 147 م².

نظرًا لإدخال المستطيل ، الذي يمثل البركة ، داخل شكل أكبر ، أرجوحة ، فلنبدأ بحساب مساحة الشكل الخارجي.

يتم حساب مساحة شبه منحرف باستخدام الصيغة:

أين،

B هو مقياس القاعدة الأكبر ؛
ب هو مقياس أصغر قاعدة ؛
ح هو الارتفاع.

استبدال بيانات البيان في الصيغة ، لدينا:

الآن ، لنحسب مساحة المستطيل. لذلك ، نحتاج فقط إلى ضرب القاعدة في الارتفاع.

لإيجاد المساحة التي يغطيها العشب ، نحتاج إلى طرح المساحة التي يشغلها البركة من منطقة الأرجوحة.

لذلك كانت المساحة المليئة بالعشب 147 م².

نرى أيضا: منطقة ترابيز

السؤال 10

لتجديد سقف مستودعه ، قرر كارلوس شراء البلاط الاستعماري. باستخدام هذا النوع من الأسقف ، هناك حاجة إلى 20 قطعة لكل متر مربع من السقف.

إذا كان سقف المكان يتكون من لوحين مستطيلين ، كما في الشكل أعلاه ، فكم عدد القرميد الذي يحتاج كارلوس لشرائه؟

أ) 12000 بلاط
ب) 16000 بلاط
ج) 18000 بلاط
د) 9600 بلاط

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ب) 16000 بلاط.

يتكون سقف المستودع من لوحين مستطيلين. لذلك ، يجب أن نحسب مساحة المستطيل ونضرب في 2.

لذلك تبلغ مساحة السطح الإجمالية 800 م.². إذا احتاج كل متر مربع إلى 20 بلاطة ، فباستخدام قاعدة بسيطة من ثلاثة ، نحسب عدد البلاط الذي يملأ سقف كل مستودع.

لذلك سيكون من الضروري شراء 16 ألف بلاطة.

نرى أيضا: منطقة المستطيل

السؤال 11

ترغب مارسيا في مزهرين خشبيين متطابقين لتزيين مدخل منزلها. قررت الاستعانة بصانع خزانة لبناء مزهرية أخرى بنفس الأبعاد لأنها لم تتمكن من شراء سوى واحدة من الأشياء المفضلة لديها. يجب أن يكون للمزهرية أربعة جوانب على شكل شبه منحرف متساوي الساقين والقاعدة مربعة.

بدون مراعاة سمك الخشب ، ما هو عدد الأمتار المربعة من الخشب اللازمة لإعادة إنتاج القطعة؟

أ) 0.2131 م²
ب) 0.1311 م²
ج) 0.2113 م²
د) 0.3121 م²

انظر للاجابة

البديل الصحيح: د) 0.3121 م².

أرجوحة متساوية الساقين هي النوع الذي له جوانب متساوية وقواعد مختلفة الحجم. من الصورة ، لدينا القياسات التالية لشكل شبه المنحرف على كل جانب من جوانب السفينة:

قاعدة أصغر (ب): 19 سم ؛
قاعدة أكبر (ب): 27 سم ؛
الارتفاع (ح): 30 سم.

مع وجود القيم في متناول اليد ، نحسب منطقة شبه المنحرف:

نظرًا لأن الوعاء يتكون من أربعة شبه منحرف ، علينا ضرب المساحة التي تم العثور عليها في أربعة.

نحتاج الآن إلى حساب قاعدة الإناء المكونة من 19 سم مربع.

بإضافة المساحات المحسوبة ، نصل إلى إجمالي مساحة الخشب التي سيتم استخدامها في البناء.

ومع ذلك ، يجب تقديم المساحة بالمتر المربع.

لذلك ، دون الأخذ بعين الاعتبار سماكة الخشب ، كانت هناك حاجة إلى 0.3121 متر² المواد اللازمة لتصنيع المزهرية.

نرى أيضا: منطقة مربعة

السؤال 12

لتسهيل حساب عدد الأشخاص الذين يشاركون في الأحداث العامة ، يُعتقد عمومًا أن المتر المربع الواحد يشغلها أربعة أشخاص.

للاحتفال بالذكرى السنوية لإحدى المدن ، استأجرت حكومة المدينة فرقة للعزف في الساحة الواقعة في المركز والتي تبلغ مساحتها 4000 م². مع العلم أن الساحة كانت مزدحمة ، كم عدد الأشخاص الذين حضروا الحدث تقريبًا؟

أ) 16 ألف شخص.
ب) 32 ألف شخص.
ج) 12 ألف شخص.
د) 40 ألف شخص.

انظر للاجابة

البديل الصحيح: أ) 16 ألف شخص.

المربع له أربعة جوانب متساوية ومساحته محسوبة بالصيغة: أ = ل × ل.

إذا كان في 1 م² يشغلها أربعة أشخاص ، لذا فإن المساحة الإجمالية للمربع 4 أضعاف تعطينا تقديرًا للأشخاص الذين حضروا الحدث.

وهكذا ، شارك 16 ألف شخص في الحدث الذي روج له مجلس المدينة.

لمعرفة المزيد ، راجع أيضًا:

• مناطق الشكل المسطح
• الأشكال الهندسية
• نظرية فيثاغورس - تمارين