قانون الذنوب: تطبيقه ، قدوة وتمارين

ال قانون الخطايا يحدد أنه في أي مثلث ، تكون علاقة الجيب لزاوية دائمًا متناسبة مع قياس الضلع المقابل لتلك الزاوية.

توضح هذه النظرية أنه في نفس المثلث ، ستكون النسبة بين قيمة أحد الأضلاع وجيب الزاوية المقابلة لها دائمًا ثابت.

وهكذا ، بالنسبة للمثلث ABC مع جوانب أ ، ب ، ج ، يعترف قانون الخطايا بالعلاقات التالية:

تمثيل قوانين الخطايا في المثلث

مثال

لفهم أفضل ، دعونا نحسب قياس الضلع AB و BC في هذا المثلث ، كدالة في القياس b في الضلع AC.

بموجب قانون الجيب ، يمكننا إقامة العلاقة التالية:

ومن ثم ، AB = 0.816b و BC = 1.115b.

ملحوظة: تم التشاور مع قيم الجيوب في جدول النسب المثلثية. في ذلك ، يمكننا إيجاد قيم الزوايا من 1º إلى 90º لكل دالة مثلثية (الجيب وجيب التمام والظل).

تُستخدم الزوايا 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة في معظم حسابات حساب المثلثات. ومن ثم يطلق عليهم زوايا رائعة. تحقق من جدول بالقيم أدناه:

العلاقات المثلثية	30°	45°	60°
شرط	1/2	√2/2	√3/2
جيب التمام	√3/2	√2/2	1/2
الظل	√3/3	1	√3

تطبيق قانون الخطايا

نستخدم قانون الجيب في المثلثات الحادة ، حيث تكون الزوايا الداخلية أقل من 90 درجة (حادة) ؛ أو في مثلثات منفرجة ، زواياها الداخلية أكبر من 90 درجة (منفرجة). في هذه الحالات ، يمكنك أيضًا استخدام ملف قانون جيب التمام.

الهدف الرئيسي من استخدام قانون الذنوب أو جيب التمام هو اكتشاف قياسات أضلاع المثلث وكذلك زواياه.

تمثيل المثلثات حسب زواياها الداخلية

وقانون الخطايا في المثلث المستطيل؟

كما ذكرنا سابقًا ، يتم استخدام قانون الخطايا في المثلثات الحادة والمثلثات المنفرجة.

في المثلثات القائمة ، المكونة من زاوية داخلية 90º (مستقيم) ، استخدمنا نظرية فيثاغورس والعلاقات بين أضلاعها: الضلع المقابل ، الضلع المجاور والوتر.

تمثيل المثلث القائم الزاوية وجوانبه

هذه النظرية لها البيان التالي: "مجموع مربعات أرجلهم يتوافق مع مربع الوتر". يتم التعبير عن صيغتها:

ح² = كاليفورنيا² + شارك²

وهكذا ، عندما يكون لدينا مثلث قائم الزاوية ، فإن الجيب سيكون النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الوتر:

يقرأ العكس على الوتر.

يتوافق جيب التمام مع النسبة بين طول الساق المجاورة وطول الوتر ، ويمثلها التعبير:

اقرأ القسطرة المجاورة فوق الوتر.

تمارين امتحان القبول

1.(UFPB) ستبني قاعة المدينة في مدينة معينة ، فوق نهر يعبر تلك المدينة ، جسرًا يجب أن يكون مستقيمًا ويربط بين نقطتين ، A و B ، يقعان على الضفتين المتقابلتين للنهر. لقياس المسافة بين هذه النقاط ، حدد المساح النقطة الثالثة ، C ، على بعد 200 متر من النقطة A وعلى نفس ضفة النهر مثل النقطة A. باستخدام جهاز قياس الزوايا (أداة دقيقة لقياس الزوايا الأفقية والزوايا الرأسية ، غالبًا ما تستخدم في الأعمال الطبوغرافية) ، لاحظ المساح أن الزوايا مقاسة ، على التوالي ، 30 درجة و 105 درجة ، كما هو موضح في الشكل التالي.

بناءً على هذه المعلومات ، من الصحيح القول أن المسافة بالأمتار من النقطة أ إلى النقطة ب هي:

انظر للاجابة

هدف: تحديد قياس AB.

الفكرة 1 - قانون الخطايا لتحديد AB

يشكل الشكل المثلث ABC ، ​​حيث يقيس الضلع AC 200 m ولدينا زاويتان محددتان.

كونها الزاوية مقابل الضلع AC الذي يساوي 200 م والزاوية C المقابل للضلع AB ، يمكننا تحديد AB من خلال قانون الخطايا.

ال قانون الخطايا يحدد أن النسب بين قياسات الأضلاع وجيب الزوايا المتقابلة ، فيما يتعلق بهذه الأضلاع ، متساوية في نفس المثلث.

الفكرة 2 - تحديد الزاوية

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 درجة ، لذا يمكننا تحديد الزاوية B.

ب + 105 درجة + 30 درجة = 180 درجة
ب = 180 درجة - 105 درجة - 30 درجة
ب = 45 درجة

استبدال قيمة في قانون الجيب وإجراء الحسابات.

لاحظ أن هناك جذرًا تربيعيًا في المقام. لنأخذ هذا الجذر عن طريق إجراء عملية عقل ، وهي ضرب كل من مقام الكسر وبسطه في الجذر نفسه.

استبدال قيمة التيار المتردد ، لدينا:

لذلك ، المسافة بين النقطتين A و B هي .

2. (Mackenzie - SP) تظهر ثلاث جزر A و B و C على خريطة بمقياس 1: 10000 ، كما هو موضح في الشكل. من بين البدائل ، الخيار الأفضل لتقريب المسافة بين الجزيرتين A و B هو:

أ) 2.3 كم
ب) 2.1 كم
ج) 1.9 كم
د) 1.4 كم
هـ) 1.7 كم

انظر للاجابة

الجواب الصحيح: هـ) 1.7 كيلو متر

الغرض: تحديد قياس القطعة AB.

الفكرة 1: استخدم قانون الجيب لإيجاد مقياس AB

قانون الخطايا: قياسات أضلاع المثلث متناسبة مع جيوب الزوايا المقابلة لها.

الفكرة 2: تحديد الزاوية

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180º.

30 + 105 + ج = 180
135 + ج = 180
ج = 180 - 135
ج = 45

الفكرة 3: تطبيق قيمة C في قانون الجيب

فكرة 4: تقريب قيمة الجذر التربيعي واستخدام المقياس

تحضير

12. 1,4 = 16,8

المقياس يقول 1: 10000 ، بضرب:

16,8. 10000 = 168000 سم

الفكرة 5: الانتقال من cm إلى km

168000 سم / 100000 = 1.68 كم

الخلاصة: بما أن المسافة المحسوبة هي 1.68 كم ، فإن أقرب بديل هو الحرف e.

ملحوظة: للانتقال من cm إلى km ، نقسم على 100000 لأننا ، وفقًا للمقياس التالي ، من سنتيمترات إلى كيلومترات ، نحسب 5 أماكن على اليسار.

كم -5- hm -4- السد -3- m -2- dm -1- سم مم

3. (Unifor-CE) من المعروف أن قياس كل ضلع في كل مثلث يتناسب طرديًا مع جيب الزاوية المقابلة للضلع. باستخدام هذه المعلومات ، نستنتج أن قياس الضلع AB للمثلث الموضح أدناه هو:

انظر للاجابة

يوفر البيان قانون الجيب.

من علم المثلثات ، لدينا ما يلي: sin 120 = sin 60.

استبدال القيم في الصيغة:

حتى لا نترك جذرًا في المقام ، نستخدم طريقة القياس ، وضرب المقام والبسط في جذر 3.

إذن ، القياس على الضلع AB هو .

اقرأ المزيد عن الموضوع:

• الجيب وجيب التمام والظل
• علم المثلثات
• العلاقات المثلثية
• الدائرة المثلثية
• الدوال المثلثية
• النسب المثلثية