حساب المصفوفة العكسية: الخصائص والأمثلة

المصفوفة المعكوسة أو المصفوفة المعكوسة هي نوع من مصفوفة مربعة، أي أنه يحتوي على نفس عدد الصفوف (م) والأعمدة (ن).

يحدث عندما ينتج عن حاصل ضرب مصفوفتين أ مصفوفة هوية من نفس الترتيب (نفس عدد الصفوف والأعمدة).

وهكذا ، لإيجاد معكوس المصفوفة ، يتم استخدام الضرب.

ال. ب = ب. أ = أنا_لا (عندما تكون المصفوفة B معكوسة للمصفوفة A)

لكن ما هي مصفوفة الهوية؟

ال مصفوفة الهوية يتم تعريفه عندما تكون جميع عناصر القطر الرئيسي مساوية لـ 1 والعناصر الأخرى تساوي 0 (صفر). يشار إليه من قبل أنا_لا:

خصائص المصفوفة العكسية

• يوجد معكوس واحد فقط لكل مصفوفة.
• ليست كل المصفوفات لها معكوس المصفوفة. يكون قابلاً للعكس فقط عندما ينتج عن منتجات المصفوفات المربعة مصفوفة هوية (I_لا)
• يتوافق معكوس المصفوفة المعكوسة مع المصفوفة نفسها: A = (A^-1)^-1
• المصفوفة المنقولة إلى معكوس المصفوفة تكون معكوسة أيضًا: (A^ر) ^-1 = (أ^-1)^ر
• المصفوفة العكسية لمصفوفة منقول مواضعها تتوافق مع مدور المعكوس: (أ^-1 ال^{ر) -1}
• المصفوفة العكسية لمصفوفة الوحدة تساوي مصفوفة الوحدة:^-1 = أنا

نرى أيضا: المصفوفات

أمثلة المصفوفة المعكوسة

2x2 معكوس المصفوفة

3x3 معكوس المصفوفة

خطوة بخطوة: كيف تحسب معكوس المصفوفة؟

نعلم أنه إذا كان حاصل ضرب مصفوفتين يساوي مصفوفة الوحدة ، فإن هذه المصفوفة لها معكوس.

لاحظ أنه إذا كانت المصفوفة A هي معكوس المصفوفة B ، يتم استخدام الترميز: A^-1.

مثال: أوجد معكوس المصفوفة تحت ترتيب 3x3.

بادئ ذي بدء ، يجب أن نتذكر أن A. ال^-1 = I (ستؤدي المصفوفة مضروبة في معكوسها إلى مصفوفة الوحدة I_لا).

يتم ضرب كل عنصر من عناصر الصف الأول من المصفوفة الأولى في كل عمود من المصفوفة الثانية.

لذلك ، يتم ضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة الأولى في أعمدة المصفوفة الثانية.

وأخيرًا ، الصف الثالث من الأول مع أعمدة الثاني:

من خلال مطابقة العناصر مع مصفوفة الهوية ، يمكننا اكتشاف قيم:

أ = 1
ب = 0
ج = 0

بمعرفة هذه القيم ، يمكننا حساب المجهولات الأخرى في المصفوفة. في الصف الثالث والعمود الأول من المصفوفة الأولى لدينا a + 2d = 0. فلنبدأ بإيجاد قيمة د، عن طريق استبدال القيم الموجودة:

1 + 2 د = 0
2 د = -1
د = -1/2

وبالمثل ، في الصف الثالث والعمود الثاني يمكننا إيجاد قيمة و:

ب + 2 هـ = 0
0 + 2e = 0
2 هـ = 0
ه = 0/2
ه = 0

استمرارًا ، لدينا في السطر الثالث من العمود الثالث: c + 2f. لاحظ أن مصفوفة الوحدة الثانية لهذه المعادلة لا تساوي صفرًا ، ولكنها تساوي 1.

ج + 2 و = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
و = ½

بالانتقال إلى الصف الثاني والعمود الأول سنجد قيمة ز:

أ + 3d + ز = 0
1 + 3. (-1/2) + ز = 0
1 - 3/2 + ز = 0
ز = -1 + 3/2
ز = ½

في الصف الثاني والعمود الثاني ، يمكننا إيجاد قيمة ح:

ب + 3 هـ + ح = 1
0 + 3. 0 + ح = 1
ح = 1

أخيرًا ، لنجد قيمة أنا بمعادلة الصف الثاني والعمود الثالث:

ج + 3 و + أنا = 0
0 + 3 (1/2) + أنا = 0
3/2 + أنا = 0
أنا = 3/2

بعد اكتشاف جميع القيم المجهولة ، يمكننا إيجاد جميع العناصر التي تشكل معكوس المصفوفة A:

تمارين امتحان القبول مع الملاحظات

1. (Cefet-MG) المصفوفة معكوس
يمكن القول ، بشكل صحيح ، أن الفرق (x-y) يساوي:

أ) -8
ب) -2
ج) 2
د) 6
هـ) 8

انظر للاجابة

البديل هـ: 8

2. (UF Viçosa-MG) دع المصفوفات تكون:

حيث x و y عددان حقيقيان و M هي المصفوفة العكسية لـ A. لذا فإن منتج xy هو:

أ) 3/2
ب) 2/3
ج) 1/2
د) 3/4
هـ) 1/4

انظر للاجابة

بديل لـ: 3/2

3. (PUC-MG) معكوس المصفوفة انها نفس:

ال)
ب)
ç)
د)
و)

انظر للاجابة

البديل ب:

اقرأ أيضا:

• المصفوفات - تمارين
• المصفوفات والمحددات
• أنواع المصفوفات
• مصفوفة منقول
• ضرب المصفوفة