الاحتمالية: المفاهيم ، الصيغة ، الحساب ، الأمثلة

ال احتمالا هو فرع من الرياضيات من يدرس طرق كيف تقدير فرصة حدوث حدث معين. على سبيل المثال ، تخيل أن لدينا جرة بها 10 كرات بيضاء و 20 كرة حمراء. بالتأكيد فرصة الحصول على كرة حمراء أعلى بكثير ، ولكن هذا لا يعني أننا سنحصل على كرة حمراء في المحاولة الأولى ، حيث توجد أيضًا كرات بيضاء. تسمح لك دراسة الاحتمالات بقياس فرصة الحصول على كرات حمراء أو بيضاء من خلال ربط هذه الفرصة برقم حقيقي.

اقرأ أيضا: احتمال وقوع حدث تكميلي

مفاهيم الاحتمالية الأساسية

تجربة عشوائية

التجارب العشوائية هي تلك التي ينتج عنها ، عند تكرارها عدة مرات والحفاظ على سير العمليات نتائج غير محتملة. على سبيل المثال ، عندما نقلب عملة معدنية عشر مرات متتالية ، فإن النتائج غير محتملة ، كما هو الحال مع كل قلب ، قد يظهر إما رأس أو ذيول.

فضاء العينة

دعنا نسمي مساحة العينة بـ جلس لجميع النتائج المحتملة لظاهرة معينة أو من تجربة عشوائية.

أمثلة

أ) عند قلب عملة معدنية ، فإن النتائج المحتملة هي رؤوس أو ذيول ، وبالتالي فإن مساحة العينة هي:

و₁ = {رؤوس ، ذيول}

ب)عند رمي نرد صادق ، فإن النتائج المحتملة هي الجوانب الستة للنرد ، لذلك:

و₂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ج) تم قلب العملة مرتين ، لذلك يتم تحديد مساحة العينة من خلال الأزواج المرتبة في الأولى يمثل العنصر نتيجة الرمية الأولى ويمثل العنصر الثاني نتيجة الرمية الثانية ، هكذا:

ه = {(ج ، ج) ، (ج ، ك) ، (ك ، ك) ، (ك ، ج)}

ج → التاج

ك → يا صاح

حدث

الحدث هو كل مجموعة فرعية من مساحة العينة.

أمثلة

ضع في اعتبارك مساحة عينة لفافة القالب ، لذلك E = {1،2،3،4،5،6}. الحالات التالية هي أمثلة على الأحداث:

أ) الحدث الذي تكون فيه الوجوه أكبر من 3. سنشير إلى مثل هذا الحدث بواسطة A ، ومن ثم:

أ = {4 ، 5 ، 6}

بشكل عام ، يمكننا كتابة مثل هذا الحدث باستخدام تدوين المجموعة:

لاحظ أن كل عنصر من عناصر A هو عنصر من عناصر المجموعة E ، لذا فإن A هي مجموعة فرعية من E.

ب) الحدث الذي تكون فيه الوجوه أعدادًا فردية. في هذه الحالة ، سوف نشير إلى مثل هذا الحدث من قبل B ، مثل هذا:

ب = {1، 3، 5}

مساحات قابلة للتجهيز

ضع في اعتبارك عينة فضاء E وأيضًا تجربة عشوائية من تلك المساحة. لنفترض أن E هو أ مساحة عينة قابلة للتجهيز إذا كان لجميع الأحداث في التجربة نفس احتمالية الحدوث.

أمثلة

تخيل جرة بها كرتان فقط ، واحدة بيضاء والأخرى سوداء. إن فرصة أخذ كرة رئيسية هي نفس فرصة أخذ كرة سوداء ، وبالتالي فإن مساحة العينة قابلة للتجهيز.

مثال آخر هو ولادة طفل. إن فرصة أن تكوني صبيًا هي نفسها فرصة أن تكوني فتاة ، لذا فإن هذا الحدث له مساحة متساوية لأخذ العينات.

نرى أيضا: الاحتمالية: تعريفات أساسية

صيغة وحساب الاحتمالات

احتمال حدوث حدث معين A ، يمثله P (A) ، هو قطاع بين عدد الحالات المواتية وعدد الحالات الممكنة. يمكننا إذن تمثيل فرصة وقوع الحدث أ من خلال:

مثال

لنحدد احتمال حصولنا على كرة في جرة بها 10 كرات بيضاء و 20 كرة حمراء.

لهذا ، سنحدد في البداية عدد الحالات المواتية وعدد الحالات المحتملة.

حالات مواتية → 10 (كرات بيضاء)

الحالات المحتملة → 10 + 20 (كرات بيضاء + كرات حمراء)

لاحظ أن الحالات المفضلة هي الحالات التي تهمنا - في هذه الحالة ، عدد الكرات البيضاء - وتمثل الحالات المحتملة العدد الإجمالي للعناصر في مساحة العينة. دعنا نسمي الحدث المعني أ ، مثل هذا:

وبالتالي فإن فرصة الحصول على الكرة الأساسية هي 33.33٪.

يمكن أن تحدد الاحتمالية فرصة خروج وجه من الموت.

تمارين

السؤال رقم 1 - (UFPE) يتم اختيار حرف عشوائيًا من بين تلك التي تتكون منها كلمة PERNAMBUCO. ما مدى احتمالية أن تكون ساكنًا؟

حل

لاحظ أن إجمالي عدد الأحرف في كلمة PERNAMBUCO يساوي 10. الحالة المفضلة في هذه المشكلة هي عدد الحروف الساكنة ، وهي 6. لذلك ، فإن احتمال اختيار الحرف الساكن هو: