يمكن تحديد معادلة الخط من خلال رسمها على المستوى الديكارتي (x ، y). بمعرفة إحداثيات نقطتين منفصلتين تنتمي إلى الخط يمكننا تحديد معادلته.
من الممكن أيضًا تحديد معادلة الخط المستقيم بناءً على ميله وإحداثيات النقطة التي تنتمي إليه.
المعادلة العامة للخط
نقطتان تحدد الخط. بهذه الطريقة ، يمكننا إيجاد المعادلة العامة للخط عن طريق محاذاة نقطتين مع نقطة عامة (س ، ص) على الخط.
دع النقاط A (xالس صال) و B (xبس صب) ، غير متطابق وينتمي للخطة الديكارتية
تتم محاذاة ثلاث نقاط عندما يكون محدد المصفوفة المرتبط بهذه النقاط مساويًا للصفر. لذلك يجب أن نحسب محدد المصفوفة التالية:
![تحديد المصفوفة](/f/8ffbc567a5859a0a457010fe88cf2b71.jpg)
عند تطوير المحدد نجد المعادلة التالية:
(ذال -صب) x + (xب - سال) ص + سالذب - سبذال = 0
لنتصل:
أ = (صال -صب)
ب = (سب - سال)
ج = سالذب - سبذال
يتم تعريف المعادلة العامة للخط المستقيم على النحو التالي:
الفأس + ب + ج = 0
أين ال, ب و ç ثابتة و ال و ب لا يمكن أن تكون فارغة في نفس الوقت.
مثال
أوجد معادلة عامة للخط الذي يمر بالنقطتين أ (-1 ، 8) وب (-5 ، -1).
يجب أولاً كتابة شرط المحاذاة المكون من ثلاث نقاط ، وتحديد المصفوفة المرتبطة بالنقاط المحددة والنقطة العامة P (x ، y) التي تنتمي إلى الخط.
![مثال 1 معادلة عامة للخط](/f/d8643b8f3f097a5660aaab01152238a2.jpg)
عند تطوير المحدد نجد:
(8 + 1) س + (1-5) ص + 40 + 1 = 0
المعادلة العامة للخط المار بالنقطتين A (-1،8) و B (-5، -1) هي:
9 س - 4 ص + 41 = 0
لمعرفة المزيد ، اقرأ أيضًا:
- مقر
- محدد
- نظرية لابلاس
خط المعادلة المختزلة
المعامل الزاوي
يمكننا إيجاد معادلة الخط المستقيم ص معرفة ميله (الاتجاه) ، أي قيمة الزاوية θ التي يقدمها الخط بالنسبة لمحور x.
لهذا نربط رقمًا موهو ما يسمى بميل الخط ، مثل:
م = tg θ
المنحدر م يمكن العثور عليه أيضًا من خلال معرفة نقطتين تنتمي إلى الخط المستقيم.
![الرسم البياني الخطي ص](/f/e210ba3840caf945d074ec0ba07ffe77.jpg)
كـ m = tg θ ، إذن:
![صيغة المنحدر](/f/a29be14a5b19e86fa60cd5d0e913e8e1.jpg)
مثال
أوجد ميل المستقيم ص الذي يمر بالنقطتين أ (١،٤) وب (٢،٣).
يجرى،
x1 = 1 وص1 = 4
x2 = 2 وص2 = 3
![مثال على حساب المنحدر](/f/4ef84e1268ad34a1e0b35f92d212a485.jpg)
معرفة المعامل الزاوي للخط المستقيم م ونقطة P.0(x0س ص0) التي تنتمي إليها ، يمكننا تحديد معادلتها.
لهذا ، سنعوض بالنقطة المعروفة P في صيغة الميل.0 ونقطة عامة P (x ، y) ، تنتمي أيضًا إلى السطر:
![معادلة الخط باستخدام المعامل](/f/c88c9dc3f7d8ee2f5ee3d30061c9781e.jpg)
مثال
أوجد معادلة للخط الذي يمر بالنقطة أ (2،4) وميله 3.
للعثور على معادلة الخط ، ما عليك سوى استبدال القيم المعطاة:
ص - 4 = 3 (س - 2)
ص - 4 = 3 س - 6
-3 س + ص + 2 = 0
معامل خطي
المعامل الخطي لا مستقيم ص يتم تعريفها على أنها النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور y ، أي نقطة الإحداثيات P (0 ، n).
باستخدام هذه النقطة ، لدينا:
ص - ن = م (س - 0)
y = mx + n (معادلة الخط المختزل).
مثال
مع العلم أن معادلة الخط r تُعطى بواسطة y = x + 5 ، حدد ميله ، وميله ، والنقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور y.
نظرًا لأن لدينا معادلة الخط المخففة ، إذن:
م = 1
حيث m = tg θ ⇒ tg θ = 1 θ = 45º
نقطة تقاطع الخط مع المحور y هي النقطة P (0 ، n) ، حيث n = 5 ، ثم النقطة ستكون P (0.5)
اقرأ أيضا حساب المنحدر
معادلة القطعة المستقيمة
يمكننا حساب الميل باستخدام النقطة أ (أ ، 0) التي يتقاطع فيها الخط مع المحور السيني والنقطة ب (0 ، ب) التي تتقاطع مع المحور ص:
![صيغة المنحدر](/f/a86e23ea58ba5d36ed0388e979cfea09.jpg)
بالنظر إلى أن n = b والاستبدال في شكل مختزل ، لدينا:
![المعادلة الخطية البارامترية](/f/91e881ca752dce2eaa512ba16306c374.jpg)
بقسمة كل الأعضاء على ab ، نجد المعادلة المقطعية للخط:
![معادلة القطعة المستقيمة](/f/0a122458c16d2fc5b5f4f2a2bd5c6c25.jpg)
مثال
اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة أ (5.0) وميله 2 في صورة مجزأة.
لنجد أولًا النقطة ب (0 ، ب) ، بالتعويض في تعبير الميل:
![مثال معادلة مجزأة للخط](/f/fa6542b65a3eb7e2ec0e8f66fde04e4d.jpg)
باستبدال القيم الموجودة في المعادلة ، لدينا المعادلة المقطعية للخط:
![مثال معادلة مجزأة للخط](/f/df5c9c183cf11b067fe0ebfb4185fd61.jpg)
اقرأ أيضًا عن:
- الخطة الديكارتية
- المسافة بين نقطتين
- مخروطي
- مستقيم
- خطوط متوازية
- خطوط متعامدة
- القطعة المستقيمة
- دالة خطية
- وظيفة أفيني
- تمارين الوظيفة ذات الصلة
تمارين محلولة
1) بمعرفة الخط الذي به المعادلة 2 س + 4 ص = 9 ، أوجد ميله.
4 ص = - 2 س + 9
ص = - 2/4 س + 9/4
ص = - 1/2 س + 9/4
لذلك م = - 1/2
2) اكتب معادلة الخط 3 س + 9 ص - 36 = 0 في الصورة المختصرة.
ص = -1/3 س + 4
3) ENEM - 2016
بالنسبة لمعرض العلوم ، يتم بناء مقذوفين صاروخيين ، A و B ، ليتم إطلاقهما. الخطة هي أن يتم إطلاقهما معًا ، بهدف اعتراض المقذوف B عندما يصل إلى أقصى ارتفاع له. ولكي يحدث هذا ، سيصف أحد المقذوفين مسارًا مكافئًا ، بينما سيصف الآخر المسار المستقيم المفترض. يوضح الرسم البياني الارتفاعات التي وصلت إليها هذه المقذوفات كدالة للوقت ، في عمليات المحاكاة التي تم إجراؤها.
![146](/f/9e5982ff9a5b9a402b71f9f31122715c.jpg)
بناءً على هذه المحاكاة ، لوحظ أنه يجب تغيير مسار المقذوف B بحيث يكون
تم تحقيق الهدف.
للوصول إلى الهدف ، يجب أن يكون المعامل الزاوي للخط الذي يمثل مسار B
أ) تنقص بمقدار 2 وحدة.
ب) تنقص بمقدار 4 وحدات.
ج) زيادة بمقدار 2 وحدة.
د) زيادة بمقدار 4 وحدات.
هـ) زيادة بمقدار 8 وحدات.
أولًا ، علينا إيجاد القيمة الأولية لميل الخط ب.
تذكر أن m = tg Ɵ ، لدينا:
م1 = 12/6 = 2
للمرور عبر أقصى نقطة ارتفاع لمسار A ، يجب أن يكون لميل الخط B القيمة التالية:
م2 = 16/4 = 4
وبالتالي ، يجب أن يتغير ميل الخط B من 2 إلى 4 ، ثم يزداد بمقدار وحدتين.
البديل ج: زيادة وحدتين
نرى أيضا: تمارين في الهندسة التحليلية