المعادلة الخطية: عامة ومختصرة ومقطعة

يمكن تحديد معادلة الخط من خلال رسمها على المستوى الديكارتي (x ، y). بمعرفة إحداثيات نقطتين منفصلتين تنتمي إلى الخط يمكننا تحديد معادلته.

من الممكن أيضًا تحديد معادلة الخط المستقيم بناءً على ميله وإحداثيات النقطة التي تنتمي إليه.

المعادلة العامة للخط

نقطتان تحدد الخط. بهذه الطريقة ، يمكننا إيجاد المعادلة العامة للخط عن طريق محاذاة نقطتين مع نقطة عامة (س ، ص) على الخط.

دع النقاط A (x_الس ص_ال) و B (x_بس ص_ب) ، غير متطابق وينتمي للخطة الديكارتية

تتم محاذاة ثلاث نقاط عندما يكون محدد المصفوفة المرتبط بهذه النقاط مساويًا للصفر. لذلك يجب أن نحسب محدد المصفوفة التالية:

عند تطوير المحدد نجد المعادلة التالية:

(ذ_ال -ص_ب) x + (x_ب - س_ال) ص + س_الذ_ب - س_بذ_ال = 0

لنتصل:

أ = (ص_ال -ص_ب)
ب = (س_ب - س_ال)
ج = س_الذ_ب - س_بذ_ال

يتم تعريف المعادلة العامة للخط المستقيم على النحو التالي:

الفأس + ب + ج = 0

أين ال, ب و ç ثابتة و ال و ب لا يمكن أن تكون فارغة في نفس الوقت.

مثال

أوجد معادلة عامة للخط الذي يمر بالنقطتين أ (-1 ، 8) وب (-5 ، -1).

يجب أولاً كتابة شرط المحاذاة المكون من ثلاث نقاط ، وتحديد المصفوفة المرتبطة بالنقاط المحددة والنقطة العامة P (x ، y) التي تنتمي إلى الخط.

عند تطوير المحدد نجد:

(8 + 1) س + (1-5) ص + 40 + 1 = 0

المعادلة العامة للخط المار بالنقطتين A (-1،8) و B (-5، -1) هي:

9 س - 4 ص + 41 = 0

لمعرفة المزيد ، اقرأ أيضًا:

• مقر
• محدد
• نظرية لابلاس

خط المعادلة المختزلة

المعامل الزاوي

يمكننا إيجاد معادلة الخط المستقيم ص معرفة ميله (الاتجاه) ، أي قيمة الزاوية θ التي يقدمها الخط بالنسبة لمحور x.

لهذا نربط رقمًا موهو ما يسمى بميل الخط ، مثل:

م = tg θ

المنحدر م يمكن العثور عليه أيضًا من خلال معرفة نقطتين تنتمي إلى الخط المستقيم.

كـ m = tg θ ، إذن:

مثال

أوجد ميل المستقيم ص الذي يمر بالنقطتين أ (١،٤) وب (٢،٣).

يجرى،

x₁ = 1 وص₁ = 4
x₂ = 2 وص₂ = 3

معرفة المعامل الزاوي للخط المستقيم م ونقطة P.₀(x₀س ص₀) التي تنتمي إليها ، يمكننا تحديد معادلتها.

لهذا ، سنعوض بالنقطة المعروفة P في صيغة الميل.₀ ونقطة عامة P (x ، y) ، تنتمي أيضًا إلى السطر:

مثال

أوجد معادلة للخط الذي يمر بالنقطة أ (2،4) وميله 3.

للعثور على معادلة الخط ، ما عليك سوى استبدال القيم المعطاة:

ص - 4 = 3 (س - 2)
ص - 4 = 3 س - 6
-3 س + ص + 2 = 0

معامل خطي

المعامل الخطي لا مستقيم ص يتم تعريفها على أنها النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور y ، أي نقطة الإحداثيات P (0 ، n).

باستخدام هذه النقطة ، لدينا:

ص - ن = م (س - 0)

y = mx + n (معادلة الخط المختزل).

مثال

مع العلم أن معادلة الخط r تُعطى بواسطة y = x + 5 ، حدد ميله ، وميله ، والنقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور y.

نظرًا لأن لدينا معادلة الخط المخففة ، إذن:

م = 1
حيث m = tg θ ⇒ tg θ = 1 θ = 45º
نقطة تقاطع الخط مع المحور y هي النقطة P (0 ، n) ، حيث n = 5 ، ثم النقطة ستكون P (0.5)

اقرأ أيضا حساب المنحدر

معادلة القطعة المستقيمة

يمكننا حساب الميل باستخدام النقطة أ (أ ، 0) التي يتقاطع فيها الخط مع المحور السيني والنقطة ب (0 ، ب) التي تتقاطع مع المحور ص:

بالنظر إلى أن n = b والاستبدال في شكل مختزل ، لدينا:

بقسمة كل الأعضاء على ab ، نجد المعادلة المقطعية للخط:

مثال

اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة أ (5.0) وميله 2 في صورة مجزأة.

لنجد أولًا النقطة ب (0 ، ب) ، بالتعويض في تعبير الميل:

باستبدال القيم الموجودة في المعادلة ، لدينا المعادلة المقطعية للخط:

اقرأ أيضًا عن:

• الخطة الديكارتية
• المسافة بين نقطتين
• مخروطي
• مستقيم
• خطوط متوازية
• خطوط متعامدة
• القطعة المستقيمة
• دالة خطية
• وظيفة أفيني
• تمارين الوظيفة ذات الصلة

تمارين محلولة

1) بمعرفة الخط الذي به المعادلة 2 س + 4 ص = 9 ، أوجد ميله.

انظر للاجابة

4 ص = - 2 س + 9
ص = - 2/4 س + 9/4
ص = - 1/2 س + 9/4
لذلك م = - 1/2

2) اكتب معادلة الخط 3 س + 9 ص - 36 = 0 في الصورة المختصرة.

انظر للاجابة

ص = -1/3 س + 4

3) ENEM - 2016

بالنسبة لمعرض العلوم ، يتم بناء مقذوفين صاروخيين ، A و B ، ليتم إطلاقهما. الخطة هي أن يتم إطلاقهما معًا ، بهدف اعتراض المقذوف B عندما يصل إلى أقصى ارتفاع له. ولكي يحدث هذا ، سيصف أحد المقذوفين مسارًا مكافئًا ، بينما سيصف الآخر المسار المستقيم المفترض. يوضح الرسم البياني الارتفاعات التي وصلت إليها هذه المقذوفات كدالة للوقت ، في عمليات المحاكاة التي تم إجراؤها.

بناءً على هذه المحاكاة ، لوحظ أنه يجب تغيير مسار المقذوف B بحيث يكون
تم تحقيق الهدف.

للوصول إلى الهدف ، يجب أن يكون المعامل الزاوي للخط الذي يمثل مسار B
أ) تنقص بمقدار 2 وحدة.
ب) تنقص بمقدار 4 وحدات.
ج) زيادة بمقدار 2 وحدة.
د) زيادة بمقدار 4 وحدات.
هـ) زيادة بمقدار 8 وحدات.

انظر للاجابة

أولًا ، علينا إيجاد القيمة الأولية لميل الخط ب.
تذكر أن m = tg Ɵ ، لدينا:
م₁ = 12/6 = 2
للمرور عبر أقصى نقطة ارتفاع لمسار A ، يجب أن يكون لميل الخط B القيمة التالية:
م₂ = 16/4 = 4
وبالتالي ، يجب أن يتغير ميل الخط B من 2 إلى 4 ، ثم يزداد بمقدار وحدتين.

البديل ج: زيادة وحدتين

نرى أيضا: تمارين في الهندسة التحليلية