ال معادلة الدرجة الثانية حصلت على اسمها لأنها معادلة متعددة الحدود التي يكون حد الدرجة الأعلى فيها تربيعًا. تسمى أيضًا المعادلة التربيعية ، ويتم تمثيلها بواسطة:
فأس2 + ب س + ج = 0
في معادلة من الدرجة الثانية ، يكون ملف x هو المجهول ويمثل قيمة غير معروفة. بالفعل كلمات ال, ب و ç تسمى معاملات المعادلة.
المعاملات هي الأعداد الحقيقية والمعامل ال يجب أن تكون مختلفة عن الصفر ، وإلا فإنها تصبح معادلة من الدرجة الأولى.
حل معادلة من الدرجة الثانية يعني البحث عن قيم حقيقية لـ x، مما يجعل المعادلة صحيحة. تسمى هذه القيم بجذور المعادلة.
تحتوي المعادلة التربيعية على جذرين حقيقيين على الأكثر.
معادلات الثانوية العامة كاملة وغير مكتملة
معادلات الدرجة الثانية اكتمال هي تلك التي تحتوي على جميع المعاملات ، أي أن أ ، ب ، ج تختلف عن الصفر (أ ، ب ، ج 0).
على سبيل المثال ، معادلة 5x2 + 2 س + 2 = 0 كامل لأن جميع المعاملات ليست صفرية (أ = 5 ، ب = 2 ، ج = 2).
المعادلة التربيعية هي غير مكتمل عندما ب = 0 أو ج = 0 أو ب = ج = 0. على سبيل المثال ، معادلة 2x2 = 0 غير مكتمل لأن أ = 2 ، ب = 0 ، ج = 0
تمارين محلولة
1) تحديد قيم x التي تجعل المعادلة 4x2 - 16 = 0 صحيح.
حل:
المعادلة المعطاة هي معادلة غير مكتملة من الدرجة الثانية ، مع ب = 0. بالنسبة إلى معادلات من هذا النوع ، يمكننا حلها عن طريق عزل x. هكذا:
لاحظ أن الجذر التربيعي لـ 4 يمكن أن يكون 2 و - 2 ، حيث ينتج عن هذين العددين التربيعيين 4.
إذن ، جذور معادلة 4x2 - 16 = 0 هي س = - 2 و س = 2
2) أوجد قيمة x بحيث تكون مساحة المستطيل أدناه تساوي 2.
حل:
يمكن إيجاد مساحة المستطيل بضرب القاعدة في الارتفاع. لذلك ، يجب أن نضرب القيم المعطاة ونساوي 2.
(x - 2). (س - 1) = 2
الآن دعونا نضرب كل الحدود:
x. س - 1. س - 2. س - 2. (- 1) = 2
x2 - 1 س - 2 س + 2 = 2
x2 - 3 س + 2 - 2 = 0
x2 - 3 س = 0
بعد حل عمليات الضرب والتبسيط ، نجد معادلة تربيعية غير كاملة ، حيث c = 0.
يمكن حل هذا النوع من المعادلات من خلال التحليل إلى عوامل، بسبب ال x يتكرر في كلا المصطلحين. لذلك سنقوم بوضعه كدليل.
x. (س - 3) = 0
لكي يكون المنتج مساويًا للصفر ، إما x = 0 أو (x - 3) = 0. ومع ذلك ، استبدال x عند الصفر ، تكون قياسات الأضلاع سالبة ، لذا لن تكون هذه القيمة هي إجابة السؤال.
إذن لدينا أن النتيجة الوحيدة الممكنة هي (x - 3) = 0. حل هذه المعادلة:
س - 3 = 0
س = 3
بهذه الطريقة ، فإن قيمة x بحيث تكون مساحة المستطيل تساوي 2 هي س = 3.
صيغة باسكارا
عند اكتمال المعادلة التربيعية ، نستخدم صيغة باسكارا لإيجاد جذور المعادلة.
الصيغة معروضة أدناه:
صيغة دلتا
في صيغة Bhaskara ، يظهر الحرف اليوناني Δ (دلتا)، وهو ما يسمى مميز المعادلة ، لأنه وفقًا لقيمتها ، من الممكن معرفة عدد الجذور التي ستحتوي عليها المعادلة.
لحساب دلتا نستخدم الصيغة التالية:
خطوة بخطوة
لحل معادلة من الدرجة الثانية ، باستخدام صيغة Bhaskara ، يجب أن نتبع الخطوات التالية:
الخطوة الأولى: تحديد المعاملات ال, ب و ç.
لا تظهر مصطلحات المعادلة دائمًا بنفس الترتيب ، لذلك من المهم معرفة كيفية تحديد المعاملات ، بغض النظر عن التسلسل الذي تكون فيه.
المعامل ال هو الرقم الذي يتطابق مع x2يا ب هو الرقم الذي يصاحب x انها ال ç هو المصطلح المستقل ، أي الرقم الذي يظهر بدون x.
الخطوة الثانية: احسب دلتا.
لحساب الجذور من الضروري معرفة قيمة دلتا. للقيام بذلك ، نقوم باستبدال الأحرف الموجودة في الصيغة بقيم المعامل.
يمكننا ، من قيمة دلتا ، أن نعرف مسبقًا عدد الجذور التي ستكون لها معادلة الدرجة الثانية. أي إذا كانت قيمة Δ أكبر من الصفر (Δ > 0) ، سيكون للمعادلة جذران حقيقيان ومتميزان.
إذا كان على العكس من ذلك ، فإن دلتا أقل من صفر (Δ) ، لن يكون للمعادلة جذور حقيقية وإذا كانت تساوي صفرًا (Δ = 0) ، سيكون للمعادلة جذر واحد فقط.
الخطوة الثالثة: احسب الجذور.
إذا كانت القيمة التي تم العثور عليها في دلتا سالبة ، فلن تحتاج إلى إجراء المزيد من العمليات الحسابية والإجابة هي أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.
إذا كانت قيمة دلتا تساوي الصفر أو أكبر منه ، يجب أن نستبدل جميع الأحرف بقيمها في صيغة Bhaskara ونحسب الجذور.
تمرين يحل
حدد جذور معادلة 2x2 - 3 س - 5 = 0
حل:
لحل هذه المشكلة ، يجب أولاً تحديد المعاملات ، لذلك لدينا:
أ = 2
ب = - 3
ج = - 5
الآن يمكننا إيجاد قيمة دلتا. يجب أن نتوخى الحذر في قواعد الإشارات ونتذكر أنه يجب علينا حل التقوية والضرب أولاً ، ثم الجمع والطرح.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
نظرًا لأن القيمة التي تم العثور عليها موجبة ، فسنجد قيمتين متميزتين للجذور. لذا ، يجب أن نحل صيغة Bhaskara مرتين. اذا لدينا:
إذن ، جذور معادلة 2x2 - 3 س - 5 = 0 هي س = 5/2 و س = - 1.
نظام معادلة الدرجة الثانية
عندما نريد إيجاد قيم مجهولين مختلفين يحققان معادلتين في نفس الوقت ، يكون لدينا a نظام المعادلات.
يمكن أن تكون المعادلات التي يتكون منها النظام من الدرجة الأولى والثانية. لحل هذا النوع من النظام ، يمكننا استخدام طريقة الاستبدال وطريقة الجمع.
تمرين يحل
قم بحل النظام أدناه:
حل:
لحل النظام ، يمكننا استخدام طريقة الجمع. في هذه الطريقة ، نضيف مصطلحات مماثلة من المعادلة الأولى مع تلك الموجودة في المعادلة الثانية. لذلك ، نختزل النظام إلى معادلة واحدة.
لا يزال بإمكاننا تبسيط جميع حدود المعادلة بمقدار 3 والنتيجة ستكون المعادلة x2 - 2 س - 3 = 0. حل المعادلة لدينا:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
بعد إيجاد قيم x ، يجب ألا ننسى أنه لا يزال يتعين علينا إيجاد قيم y التي تجعل النظام صحيحًا.
للقيام بذلك ، ما عليك سوى استبدال القيم الموجودة لـ x في إحدى المعادلات.
ذ1 - 6. 3 = 4
ذ1 = 4 + 18
ذ1 = 22
ذ2 - 6. (-1) = 4
ذ2 + 6 = 4
ذ2 = - 2
لذلك ، فإن القيم التي تلبي النظام المقترح هي (3 ، 22) و (-1 ، - 2)
قد تكون أيضا مهتما ب معادلة الدرجة الأولى.
تمارين
السؤال رقم 1
حل المعادلة التربيعية الكاملة باستخدام صيغة Bhaskara:
2x2 + 7 س + 5 = 0
بادئ ذي بدء ، من المهم ملاحظة كل معامل في المعادلة ، لذلك:
أ = 2
ب = 7
ج = 5
من خلال صيغة مميز المعادلة ، يجب أن نجد قيمة Δ.
هذا هو العثور لاحقًا على جذور المعادلة من خلال الصيغة العامة أو صيغة Bhaskara:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
لاحظ أنه إذا كانت قيمة Δ أكبر من صفر (Δ > 0) ، سيكون للمعادلة جذران حقيقيان ومتميزان.
لذلك ، بعد إيجاد Δ ، دعنا نستبدلها في صيغة Bhaskara:
لذلك ، فإن قيم الجذور الحقيقية هي: x1 = - 1 و x2 = - 5/2
تحقق من المزيد من الأسئلة في معادلة المدرسة الثانوية - تمارين
السؤال 2
حل معادلات الدرجة الثانية غير المكتملة:
أ) 5x2 - س = 0
أولاً ، نبحث عن معاملات المعادلة:
أ = 5
ب = - 1
ج = 0
إنها معادلة غير كاملة حيث c = 0.
لحسابها يمكننا استخدام التحليل إلى عوامل ، وهو في هذه الحالة وضع x في الدليل.
5x2 - س = 0
x. (5 × -1) = 0
في هذه الحالة ، سيكون المنتج مساويًا للصفر عندما تكون x = 0 أو عندما تكون 5x -1 = 0. لنحسب إذن قيمة x:
إذن ، فإن جذور المعادلة هي x1 = 0 و x2 = 1/5.
ب) 2x2 – 2 = 0
أ = 2
ب = 0
ج = - 2
إنها معادلة غير مكتملة من الدرجة الثانية ، حيث ب = 0 ، يمكن حسابها عن طريق عزل x:
x1 = 1 و x2 = - 1
إذن ، جذرا المعادلة هما x1 = 1 و x2 = - 1
ج) 5x2 = 0
أ = 5
ب = 0
ج = 0
في هذه الحالة ، تقدم المعادلة غير المكتملة المعاملين b و c يساوي الصفر (b = c = 0):
لذلك ، جذور هذه المعادلة لها القيم x1 = x2 = 0
لمعرفة المزيد ، اقرأ أيضًا:
- وظيفة من الدرجة الثانية
- المجموع والمنتج
- عدم المساواة
- معادلات غير منطقية
- قمة القطع المكافئ
