تمارين المجموعة العددية

أنت مجموعات عددية قم بتضمين المجموعات التالية: المواد الطبيعية (ℕ) والأعداد الصحيحة (ℤ) والعقلانية (ℚ) والغير منطقية (I) والحقيقية (ℝ) والمجمعات (ℂ).

استفد من التمارين المعلقة للتحقق من معرفتك بهذا الموضوع المهم للرياضيات.

السؤال رقم 1

أي عرض أدناه صحيح؟

أ) كل عدد صحيح منطقي وكل رقم حقيقي هو عدد صحيح.
ب) تقاطع مجموعة الأعداد المنطقية مع مجموعة الأعداد غير النسبية له عنصر واحد.
ج) الرقم 1.83333... هو رقم منطقي.
د) دائمًا ما تكون قسمة عددين صحيحين عددًا صحيحًا.

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ج) الرقم 1.83333... هو رقم منطقي.

دعونا نلقي نظرة على كل من العبارات:

خطأ. في الواقع ، كل عدد صحيح منطقي ، حيث يمكن كتابته في صورة كسر. على سبيل المثال ، الرقم -7 ، وهو عدد صحيح ، يمكن كتابته في صورة كسر مثل -7/1. ومع ذلك ، ليس كل رقم حقيقي هو عدد صحيح ، على سبيل المثال 1/2 ليس عددًا صحيحًا.

ب) خطأ. لا تشترك مجموعة الأعداد المنطقية مع الأعداد غير المنطقية ، لأن الرقم الحقيقي إما عقلاني أو غير منطقي. لذلك ، فإن التقاطع عبارة عن مجموعة فارغة.

ج) صحيح. الرقم 1.83333... إنها عشور دورية لأن الرقم 3 يكرر نفسه بلا حدود. يمكن كتابة هذا الرقم في صورة كسر في صورة 11/6 ، لذلك فهو عدد نسبي.

د) خطأ. على سبيل المثال ، 7 على 3 يساوي 2.33333... ، وهو رقم عشري دوري ، لذا فهو ليس عددًا صحيحًا.

السؤال 2

قيمة التعبير أدناه ، عندما تكون a = 6 و b = 9 ، هي:

أ) عدد طبيعي فردي
ب) رقم ينتمي إلى مجموعة الأعداد غير المنطقية
ج) ليس رقمًا حقيقيًا
د) عدد صحيح معامله أكبر من 2

انظر للاجابة

البديل الصحيح: د) عدد صحيح معامله أكبر من 2.

أولاً ، دعنا نستبدل الحروف بالقيم المشار إليها ونحل التعبير:

لاحظ أن [-6)² يختلف عن - 6²يمكن إجراء العملية الأولى على النحو التالي: [-6)² = (- 6). (- 6) = 36. بدون الأقواس ، يتم تربيع 6 فقط ، أي - 6² = - (6.6) = -36.

استمرارًا في القرار ، لدينا:

لاحظ أنه نظرًا لأن فهرس الجذر هو رقم فردي (جذر تكعيبي) ، فهناك جذر رقم سلبي في مجموعة الأرقام الحقيقية. إذا كان فهرس الجذر عددًا زوجيًا ، فستكون النتيجة عددًا مركبًا.

الآن ، دعنا نحلل كل خيار من الخيارات المعروضة:

الخيار ال خطأ ، لأن الإجابة هي رقم سالب وليس جزءًا من مجموعة الأعداد الطبيعية.

الرقم - 3 ليس عددًا عشريًا غير نهائي وغير دوري ، لذلك فهو ليس غير منطقي ، ومن هنا جاءت الرسالة ب إنه ليس الحل الصحيح أيضًا.

الرسالة ç خاطئ أيضًا ، لأن الرقم - 3 هو رقم ينتمي إلى مجموعة الأرقام الحقيقية.

يمكن أن يكون الخيار الصحيح هو الحرف فقط د وفي الواقع ، تكون نتيجة التعبير عددًا صحيحًا ووحدة القياس -3 هي 3 وهي أكبر من 2.

السؤال 3

في المجموعتين (أ و ب) في الجدول أدناه ، ما البديل الذي يمثل علاقة تضمين؟

انظر للاجابة

البديل الصحيح: أ)

البديل "أ" هو الوحيد الذي يتم فيه تضمين مجموعة في أخرى. تتضمن المجموعة أ المجموعة ب أو المجموعة ب مدرجة في أ.

إذن ما هي العبارات الصحيحة؟

أنا - أ ج ب
II - ب ج أ
الثالث - أ ب
رابعًا - ب. أ

أ) الأول والثاني.
ب) الأول والثالث.
ج) الأول والرابع.
د) الثاني والثالث.
هـ) الثاني والرابع

انظر للاجابة

البديل الصحيح: د) الثاني والثالث.

أنا - خطأ - أ غير وارد في ب (أ ، ب).
II - صحيح - B موجود في A (ب ج أ).
ثالثا - صحيح - أ يحتوي على ب (ب Ɔ أ).
IV - خطأ - B لا يحتوي على A. (ب ، أ).

السؤال 4

لدينا المجموعة أ = {1 و 2 و 4 و 8 و 16} والمجموعة ب = {2 و 4 و 6 و 8 و 10}. وفقًا للبدائل ، أين تقع العناصر 2 و 4 و 8؟

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ج).

العناصر 2 و 4 و 8 مشتركة لكلا المجموعتين. لذلك ، فهي تقع في المجموعة الفرعية A ∩ B (تقاطع A مع B).

السؤال 5

بالنظر إلى المجموعات A و B و C ، ما الصورة التي تمثل A U (B ∩ C)؟

انظر للاجابة

البديل الصحيح: د)

البديل الوحيد الذي يفي بالشرط الأولي لـ B-C (بسبب الأقواس) ثم الاتحاد مع A.

السؤال 6

تم إجراء دراسة استقصائية للتعرف على العادات الشرائية للمستهلكين فيما يتعلق بثلاثة منتجات. حصل البحث على النتائج التالية:

• 40٪ شراء المنتج أ.
• 25٪ شراء المنتج ب.
• 33٪ يشترون المنتج ج.
• 20٪ يشترون المنتجات "أ" و "ب".
• 5٪ شراء المنتجات "ب" و "ج".
• 19٪ يشترون المنتجات "أ" و "ج".
• 2٪ يشترون جميع المنتجات الثلاثة.

بناءً على هذه النتائج ، أجب:

أ) ما هي نسبة المستجيبين الذين لا يشترون أيًا من هذه المنتجات؟
ب) ما هي نسبة المستجيبين الذين يشترون المنتج "أ" و "ب" ولا يشترون المنتج "ج"؟
ج) ما هي نسبة المستجيبين الذين يشترون منتجًا واحدًا على الأقل من المنتجات؟

انظر للاجابة

الإجابات:
أ) 44٪ من المبحوثين لا يستهلكون أياً من المنتجات الثلاثة.
ب) 18٪ من الأشخاص الذين يستهلكون كلا المنتجين (أ و ب) لا يستهلكون المنتج ج.
ج) 56٪ من المستجيبين يستهلكون منتجًا واحدًا على الأقل.

لحل هذه المشكلة ، دعنا نرسم مخططًا لتصور الموقف بشكل أفضل.

يجب أن نبدأ دائمًا عند تقاطع المجموعات الثلاث. ثم سنقوم بتضمين قيمة تقاطع مجموعتين ، وأخيرًا ، النسبة المئوية للأشخاص الذين يشترون علامة تجارية واحدة فقط من المنتج.

يُلاحظ أن نسبة الأشخاص الذين يستهلكون منتجين تشمل أيضًا نسبة الأشخاص الذين يستهلكون المنتجات الثلاثة.

لذلك ، في الرسم البياني نشير إلى النسبة المئوية لأولئك الذين يستهلكون فقط منتجين. للقيام بذلك ، يجب أن نطرح النسبة المئوية لأولئك الذين يستهلكون المنتجات الثلاثة من أولئك الذين يستهلكون اثنين.

على سبيل المثال ، النسبة المئوية المشار إليها التي تستهلك المنتج أ والمنتج ب هي 20٪ ، ولكن هذه القيمة تشمل 2٪ المتعلقة بمن يستهلك المنتجات الثلاثة.

بطرح هذه القيم ، أي 20٪ - 2٪ = 18٪ ، نجد النسبة المئوية للمستهلكين الذين يشترون المنتجات A و B فقط.

بالنظر إلى هذه الحسابات ، سيكون الرسم التخطيطي للحالة الموصوفة كما هو موضح في الشكل أدناه:

بناءً على هذا الرسم البياني ، يمكننا الآن المتابعة للإجابة على الأسئلة المقترحة.

ال) نسبة من لا يشترون أي منتج تساوي الكل أي 100٪ إلا أنهم يستهلكون أي منتج. لذلك ، يجب أن نقوم بالحسابات التالية:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

هكذا، 44٪ من المستجيبين لا يستهلكون أياً من المنتجات الثلاثة.

ب) يتم العثور على النسبة المئوية للمستهلكين الذين يشترون المنتج A و B ولا يشترون المنتج C عن طريق طرح:

20 - 2 = 18%

لذلك، 18٪ من الأشخاص الذين يستهلكون كلا المنتجين (أ و ب) لا يستهلكون المنتج ج.

ç) للعثور على النسبة المئوية للأشخاص الذين يستهلكون منتجًا واحدًا على الأقل من المنتجات ، ما عليك سوى جمع جميع القيم في الرسم التخطيطي. اذا لدينا:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

هكذا، 56٪ من المستجيبين يستهلكون منتجًا واحدًا على الأقل.

السؤال 7

(Enem / 2004) قررت شركة تصنيع مستحضرات التجميل إنتاج ثلاثة كتالوجات مختلفة لمنتجاتها ، تستهدف جماهير مختلفة. نظرًا لأن بعض المنتجات ستكون موجودة في أكثر من كتالوج واحد وستحتل صفحة كاملة ، فقد قرر إجراء عدد لتقليل النفقات مع النسخ الأصلية المطبوعة. تحتوي الكتالوجات C1 و C2 و C3 على 50 و 45 و 40 صفحة على التوالي. بمقارنة التصميمات من كل كتالوج ، وجد أن C1 و C2 سيكون لهما 10 صفحات مشتركة ؛ C1 و C3 سيكون لهما 6 صفحات مشتركة ؛ C2 و C3 سيكون لهما 5 صفحات مشتركة ، 4 منها ستكون أيضًا على C1. عند إجراء الحسابات المقابلة ، خلصت الشركة المصنعة إلى أنه من أجل تجميع الكتالوجات الثلاثة ، ستحتاج إلى إجمالي النسخ الأصلية المطبوعة يساوي:

أ) 135
ب) 126
ج) 118
د) 114
هـ) 110

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ج) 118

يمكننا حل هذا السؤال ببناء رسم بياني. لهذا ، لنبدأ بالصفحات المشتركة في الفهارس الثلاثة ، أي 4 صفحات.

من هناك ، سنشير إلى القيم ، مع طرح القيم التي تم حسابها بالفعل. وبالتالي ، سيكون المخطط كما هو موضح أدناه:

تم العثور على القيم بإجراء الحسابات التالية:

• تقاطع C1 و C2 و C3: 4
• تقاطع C2، C3: 5 - 4 = 1
• تقاطع C1 و C3: 6-4 = 2
• تقاطع C1 و C2: 10-4 = 6
• فقط C1: 50-12 = 38
• C2 فقط: 45-11 = 34
• C3 فقط: 40-7 = 33

للعثور على عدد الصفحات ، ما عليك سوى إضافة كل هذه القيم ، على سبيل المثال:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

السؤال 8

(Enem / 2017) في نموذج ميزان الحرارة هذا ، تسجل الشرائح درجات الحرارة الدنيا والقصوى لليوم السابق وتسجل الشرائح الرمادية درجة الحرارة المحيطة الحالية ، أي وقت قراءة ميزان الحرارة.

لذلك فهو يحتوي على عمودين. على اليسار ، الأرقام بترتيب تصاعدي ، من أعلى إلى أسفل ، من -30 درجة مئوية إلى 50 درجة مئوية. في العمود الموجود على اليمين ، يتم ترتيب الأرقام بترتيب تصاعدي ، من الأسفل إلى الأعلى ، من -30 درجة مئوية إلى 50 درجة مئوية.

تتم القراءة على النحو التالي:

• يشار إلى الحد الأدنى لدرجة الحرارة من خلال المستوى الأدنى للشريحة السوداء في العمود الأيسر.
• تتم الإشارة إلى درجة الحرارة القصوى من خلال المستوى الأدنى للشريحة السوداء في العمود الأيمن.
• تتم الإشارة إلى درجة الحرارة الحالية من خلال المستوى الأعلى في الشرائح الرمادية في العمودين.

ما هي أقرب درجة حرارة قصوى مسجلة على مقياس الحرارة هذا؟

أ) 5 درجات مئوية
ب) 7 درجات مئوية
ج) 13 درجة مئوية
د) 15 درجة مئوية
ه) 19 درجة مئوية

انظر للاجابة

البديل الصحيح: هـ) 19 درجة مئوية

لحل المشكلة ، ما عليك سوى قراءة المقياس الموجود في العمود الأيمن للشريحة السوداء ، والذي يمثل الحد الأقصى لسجل درجة الحرارة.

السؤال 9

(Enem / 2017) تم تمثيل نتيجة الاستطلاع الانتخابي ، حول تفضيل الناخبين بالنسبة لمرشحين اثنين ، بواسطة الرسم البياني 1.

عند نشر هذه النتيجة في إحدى الصحف ، تم قطع الرسم البياني 1 أثناء التخطيط ، كما هو موضح في الرسم البياني 2.

على الرغم من أن القيم المقدمة صحيحة وعرض الأعمدة هو نفسه ، إلا أن العديد من القراء انتقد شكل الرسم البياني 2 المطبوع في الصحيفة ، بدعوى حدوث ضرر بصري للمرشح ب. الفرق بين نسب ارتفاع العمود B إلى العمود A في الرسمين البيانيين 1 و 2 هو:

أ) 0
ب) 1/2
ج) 1/5
د) 2/15
هـ) 8/35

انظر للاجابة

البديل الصحيح: هـ) 8/35

لحل المشكلة ، نحتاج أولاً إلى إيجاد نسبة ارتفاع العمود B إلى العمود A في الرسمين البيانيين. يتم العثور على هذه النسب من خلال حساب عدد الأقسام الموجودة في كل عمود.

لاحظ أنه في الرسم البياني 1 ، تم تقسيم العمود A إلى 7 "قطع" متساوية ، بينما تم تقسيم العمود B إلى 3. في الرسم البياني 2 ، تم تقسيم العمود A إلى 5 "قطع" متساوية والعمود B إلى 1 فقط.

لذلك ، يمكن الإشارة إلى الكسور التي تمثل نسب ارتفاع العمود B إلى العمود A بواسطة

الآن فقط حل عملية الطرح بين هذين الكسرين ، إذن لدينا:

السؤال 10

(Enem / 2018) لإنشاء شعار ، يريد أحد المحترفين في مجال التصميم الجرافيكي بنائه باستخدام مجموعة نقاط المستوى على شكل مثلث ، تمامًا كما هو موضح في الصورة.

لإنشاء مثل هذه الصورة باستخدام أداة الرسم ، سيكون من الضروري كتابة المجموعة التي تمثل نقاط هذا الرسم جبريًا.

تُعطى هذه المجموعة من الأزواج المرتبة (x ؛ ذ) ℕ x ℕ، مثل ذلك
أ) 0 ≤. س ≤ ص ≤ ١٠
ب) 0 ≤ ص س ≤ 10
ج) 0 × × 10 ، 0 × ص × 10
د) 0 ≤ س + ص 10
هـ) 0 س + ص 20

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ب) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10

لاحظ أن الشكل المعبر عنه في السؤال ، على كل من المحور y و x ، يشتمل على الأعداد الطبيعية (ℕ x ℕ) بين 0 و 10. يجب علينا: 0 ≤ y ≤ 10 و 0 × × 10.

هكذا: y = (0.1،2،3،4،5،6،7،8،9،10) و x = (0، 1،2،3،4،5،6،7،8،9، 10 ). ومع ذلك ، فإن الشكل المصور هو مثلث. لتلبية هذا الشرط ، في أزواج مرتبة لا يمكن أن يكون ص أكبر من س.

لاحظ أن قيم y محدودة بالتساوي مع قيم x ، وتشكل وتر المثلث الأيمن: (0،0) ، (1 ؛ 1) ، (2 ؛ 2) ، (3 ؛ 3 ) ، (4 ؛ 4) ، (5 ؛ 5)... (10 ؛ 10).

لذلك علينا أن: ص ≤ س.

هكذا، 0 ص س ≤ 10.

لمعرفة المزيد ، اقرأ أيضًا:

• المجموعات العددية
• أرقام حقيقية
• عدد صحيح
• أرقام نسبية
• أرقام غير منطقية
• الأعداد الطبيعية
• ارقام مركبة
• تمارين على المجموعات
• تمارين على الأعداد المركبة