واحد معادلة الدرجة الثانية هي المعادلة الكاملة في الصورة فأس2 + ب س + ج = 0، مع الأعداد الحقيقية a و b و c و a 0. لحل معادلة من هذا النوع ، يمكنك استخدام طرق مختلفة.
استخدم القرارات المعلقة للتدريبات أدناه لإزالة كل شكوكك. تأكد أيضًا من اختبار معلوماتك من خلال أسئلة المسابقة التي تم حلها.
تمارين علقت
التمرين 1
عمر أمي مضروبا في عمري يساوي 525. إذا كانت والدتي عندما ولدت تبلغ من العمر 20 عامًا ، فكم عمري؟
حل
معتبرا سني مساويا ل x، يمكننا بعد ذلك اعتبار أن عمر والدتي يساوي x + 20. كيف نعرف قيمة منتج عصرنا ، إذن
x. (س + 20) = 525
تطبيق الخصائص التوزيعية للضرب:
x2 + 20 س - 525 = 0
ثم نصل إلى معادلة كاملة من الدرجة الثانية ، مع أ = 1 ، ب = 20 ، ج = - 525.
لحساب جذور المعادلة ، أي قيم x حيث تساوي المعادلة صفرًا ، دعنا نستخدم صيغة Bhaskara.
أولاً ، يجب أن نحسب قيمة ∆:
لحساب الجذور نستخدم:
بالتعويض عن القيم في الصيغة أعلاه ، سنجد جذور المعادلة ، على النحو التالي:
نظرًا لأن عمري لا يمكن أن يكون سالبًا ، فإننا نحتقر القيمة -35. لذا فإن النتيجة 15 سنة.
تمرين 2
المربع الموضح في الشكل أدناه له شكل مستطيل ومساحته تساوي 1350 م2. مع العلم أن عرضه يتوافق مع 3/2 ارتفاعه ، حدد أبعاد المربع.
حل
معتبرا أن ارتفاعه يساوي س ، العرض سيكون مساويا ل 3 / 2x. تُحسب مساحة المستطيل بضرب قاعدته في قيمة الارتفاع. في هذه الحالة لدينا:
نصل إلى معادلة غير مكتملة من الدرجة الثانية ، مع a = 3/2 ، b = 0 و c = - 1350 ، يمكننا حساب هذا النوع من المعادلة عن طريق عزل x وحساب قيمة الجذر التربيعي.
نظرًا لأن قيمة x تمثل مقياس الارتفاع ، فسوف نتجاهل - 30. وبالتالي ، فإن ارتفاع المستطيل يساوي 30 م. لحساب العرض ، دعنا نضرب هذه القيمة في 3/2:
لذلك ، عرض المربع يساوي 45 م وارتفاعه يساوي 30 م.
التمرين 3
إذن ، x = 1 هو جذر المعادلة 2ax2 + (الثاني2 - أ - 4) × - (2 + أ2) = 0 ، يجب أن تكون قيم a:
أ) 3 و 2
ب) - 1 و 1
ج) 2 و - 3
د) 0 و 2
هـ) - 3 و - 2
حل
لإيجاد قيمة a ، دعنا أولًا نستبدل x بـ 1. بهذه الطريقة ، ستبدو المعادلة كما يلي:
2-أ 12 + (الثاني2 - إلى - 4). 1-2 - أ2 = 0
الثاني + الثاني2 - إلى - 4 - 2 - إلى2 = 0
ال2 + إلى - 6 = 0
الآن ، يجب أن نحسب جذر معادلة الدرجة الثانية الكاملة ، لذلك سنستخدم صيغة Bhaskara.
لذلك ، فإن البديل الصحيح هو الحرف ج.
أسئلة المسابقة
1) إبكار - 2017
ضع في اعتبارك ، في ℝ ، المعادلة (م+2) x2 - 2مx + (م - 1) = 0 في المتغير x ، أين م هو رقم حقيقي بخلاف - 2.
راجع البيانات أدناه وصنفها على أنها V (TRUE) أو F (FALSE).
() لكل م> 2 المعادلة لها مجموعة حلول فارغة.
() توجد قيمتان حقيقيتان لـ m للمعادلة للاعتراف بجذور متساوية.
() في المعادلة ، إذا كانت> 0 ، فإن m يمكنها فقط افتراض القيم الموجبة.
التسلسل الصحيح هو
أ) الخامس - الخامس - الخامس
ب) F - V - F.
ج) F - F - V.
د) V - F - F
دعونا نلقي نظرة على كل من العبارات:
بالنسبة لجميع م> 2 ، تحتوي المعادلة على مجموعة حلول فارغة
نظرًا لأن المعادلة من الدرجة الثانية في ℝ ، فلن يكون لها حل عندما تكون دلتا أقل من صفر. بحساب هذه القيمة لدينا:
لذا فإن العبارة الأولى صحيحة.
هناك نوعان من القيم الحقيقية لـ m للمعادلة لقبول الجذور المتساوية.
سيكون للمعادلة جذور حقيقية متساوية عندما Δ = 0 ، أي:
- 4 م + 8 = 0
م = 2
لذلك ، العبارة خاطئة حيث توجد قيمة واحدة فقط لـ m حيث تكون الجذور حقيقية ومتساوية.
في المعادلة ، إذا كانت> 0 ، فيمكن أن تأخذ m قيمًا موجبة فقط.
بالنسبة إلى Δ> 0 ، لدينا:
نظرًا لوجود أرقام سالبة في مجموعة الأعداد الحقيقية اللانهائية أقل من 2 ، فإن العبارة خاطئة أيضًا.
البديل د: V-F-F
2) كولتيك - يو اف ام جي - 2017
يتعين على لورا حل معادلة من الدرجة الثانية في "المنزل" ، لكنها تدرك أنه عند النسخ من السبورة إلى دفتر الملاحظات ، نسيت نسخ معامل x. لحل المعادلة ، سجلها على النحو التالي: 4x2 + الفأس + 9 = 0. نظرًا لأنها عرفت أن المعادلة لها حل واحد فقط ، وكان هذا الحل إيجابيًا ، فقد تمكنت من تحديد قيمة a ، وهي
أ) - 13
ب) - 12
ج) 12
د) 13
عندما يكون لمعادلة الدرجة الثانية حل واحد ، فإن الدلتا ، من صيغة Bhaskara ، تساوي الصفر. لذلك للعثور على قيمة ال، فقط احسب الدلتا ، معادلة قيمتها بصفر.
لذا إذا كانت a = 12 أو a = - 12 ، فإن المعادلة لها جذر واحد فقط. ومع ذلك ، ما زلنا بحاجة إلى التحقق من أي من قيم ال ستكون النتيجة جذرًا إيجابيًا.
لذلك ، لنجد الجذر ، لقيم ال.
لذلك بالنسبة إلى a = -12 ، سيكون للمعادلة جذر واحد وموجب.
البديل ب: -12
3) العدو - 2016
يجب إغلاق النفق بغطاء خرساني. المقطع العرضي للنفق والغطاء الخرساني لهما ملامح قوس مكافئ ونفس الأبعاد. لتحديد تكلفة العمل ، يجب على المهندس حساب المنطقة الواقعة تحت القوس المكافئ المعني. باستخدام المحور الأفقي على مستوى الأرض ومحور التناظر للقطع المكافئ كمحور رأسي ، حصل على المعادلة التالية للقطع المكافئ:
ص = 9 - س2، حيث يتم قياس x و y بالأمتار.
من المعروف أن المساحة الواقعة تحت القطع المكافئ مثل هذا تساوي 2/3 مساحة المستطيل الذي أبعاده ، على التوالي ، مساوية لقاعدة وارتفاع مدخل النفق.
ما هي مساحة مقدمة الغطاء الخرساني بالمتر المربع؟
أ) 18
ب) 20
ج) 36
د) 45
هـ) 54
لحل هذه المشكلة ، نحتاج إلى إيجاد قياسات القاعدة وارتفاع مدخل النفق ، مثل تخبرنا المشكلة أن مساحة الجبهة تساوي 2/3 مساحة المستطيل بهذه الأبعاد.
سيتم العثور على هذه القيم من معادلة الدرجة الثانية المقدمة. القطع المكافئ لهذه المعادلة قد انخفض التقعر ، لأن المعامل ال سلبي. يوجد أدناه مخطط لهذا المثل.
من الرسم البياني ، يمكننا أن نرى أن قياس قاعدة النفق سيتم إيجاده من خلال حساب جذور المعادلة. سيكون ارتفاعه بالفعل مساويًا لقياس الرأس.
لحساب الجذور ، نلاحظ أن المعادلة 9 - س2 غير مكتمل ، لذا يمكننا إيجاد جذوره عن طريق مساواة المعادلة بالصفر وعزل x:
لذلك ، فإن قياس قاعدة النفق سيساوي 6 أمتار ، أي المسافة بين الجذور (-3 و 3).
بالنظر إلى الرسم البياني ، نلاحظ أن نقطة الرأس تقابل القيمة على المحور y التي x تساوي صفرًا ، لذلك لدينا:
الآن بعد أن عرفنا قياسات قاعدة النفق وارتفاعه ، يمكننا حساب مساحته:
البديل ج: 36
4) Cefet - الملكية الأردنية - 2014
ما قيمة المعادلة (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 لها جذرين ومتساويين؟
إلى 1
ب) 0
ج) 1
د) 2
لكي يكون لمعادلة الدرجة الثانية جذران متساويان ، من الضروري أن Δ = 0 ، أي ب2-4ac = 0. قبل حساب دلتا ، علينا كتابة المعادلة بالصيغة ax2 + ب س + ج = 0.
يمكننا البدء بتطبيق خاصية التوزيع. ومع ذلك ، نلاحظ أن (x - 2) تتكرر في كلا المصطلحين ، لذلك دعونا نضعها في الدليل:
(س - 2) (2ax -3 - فأس + 1) = 0
(س - 2) (فأس -2) = 0
الآن توزيع المنتج لدينا:
فأس2 - 2x - 2ax + 4 = 0
بحساب Δ ويساوي الصفر ، نجد:
لذلك عندما يكون a = 1 ، سيكون للمعادلة جذران متساويان.
البديل ج: 1
لمعرفة المزيد ، انظر أيضا:
- معادلة الدرجة الثانية
- معادلة الدرجة الأولى
- وظيفة من الدرجة الثانية
- الوظيفة التربيعية - تمارين
- دالة خطية
- تمارين الوظيفة ذات الصلة
