الجبر إن فرع الرياضيات هو الذي يعمم الحساب. وهذا يعني أن المفاهيم والعمليات من الحساب (الجمع والطرح والضرب والقسمة إلخ) وسيتم إثبات فعاليتها لجميع الأرقام التي تنتمي إلى مجموعات معينة رقمي.
هل عملية "الجمع" ، على سبيل المثال ، تعمل حقًا على جميع الأرقام التي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية؟ أم أن هناك عددًا طبيعيًا كبيرًا جدًا ، قريبًا من اللانهاية ، يتصرف بشكل مختلف عن الآخرين عند جمعه معًا؟ الجواب على هذا السؤال من قبل الجبر: أولاً ، يتم تحديد مجموعة الأعداد الطبيعية وتضيف العملية ؛ ثم ثبت أن عملية الجمع تصلح لأي عدد طبيعي.
نحن دراسات الجبر، تستخدم الأحرف لتمثيل الأرقام. يمكن أن تمثل هذه الأحرف إما أرقامًا غير معروفة أو أي رقم ينتمي إلى مجموعة عددية. إذا كانت x عددًا زوجيًا ، على سبيل المثال ، فيمكن أن تكون x هي 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ،... بهذه الطريقة ، x هو أي رقم ينتمي إلى مجموعة الأعداد الزوجية ومن الواضح ما هو نوع الرقم x: مضاعف 2.
خصائص العمليات الحسابية
مع العلم أن أي رقم ينتمي إلى مجموعة يمكن تمثيله بحرف ، ضع في اعتبارك أن الأرقام x و y و z تنتمي إلى مجموعة الأرقام. حقيقة والعمليات إضافة و عمليه الضرب ممثلة بعلامة "+" و "·" على التوالي. إذن ، الخصائص التالية صالحة لـ x و y و z:
1 - الترابطية
(س + ص) + ض = س + (ص + ض)
(س · ص) · ض = س · (ص · ع)
2 - التبادلية
س + ص = ص + س
س · ص = ص · س
3 - وجود عنصر محايد (1 للضرب و 0 للجمع)
س + 0 = س
س · 1 = س
4 - الوجودللعنصر المقابل (أو المتماثل).
س + (–x) = 0
x · 1 = 1
x
5 - التوزيع (وتسمى أيضًا خاصية التوزيع للضرب على الجمع)
x · (y + z) = x · y + x · z
هؤلاء خمس خصائص صالحة لجميع الأرقام الحقيقية x و y و z ، حيث تم استخدام هذه الأحرف لتمثيل أي رقم حقيقي. كما أنها صالحة لعمليات الجمع والضرب.
تعبيرات جبرية
في الرياضيات، التعبير عبارة عن سلسلة من العمليات الحسابية التي يتم إجراؤها باستخدام بعض الأرقام. على سبيل المثال: 2 + 3 - 7 تعبير رقمي. عندما يتضمن هذا التعبير أرقامًا غير معروفة (مجهولة) ، يتم استدعاؤه تعبير جبري. يُطلق على التعبير الجبري الذي يحتوي على مصطلح واحد فقط اسم المونوميوم. أي تعبير جبري هذا هو نتيجة الجمع أو الطرح بين اثنين من الأحادي يسمى كثير الحدود.
تعبيرات جبريةو monomials و polomials هي أمثلة على العناصر التي تنتمي إلى الجبر ، لأنها تتكون من العمليات التي أجريت بأرقام غير معروفة. تذكر أن الرقم غير المعروف يمكن أن يمثل أي رقم في مجموعة عددية.
المعادلات
المعادلات هم انهم تعبيرات جبرية الذين لديهم مساواة. هكذا، معادلة إنه محتوى الرياضيات الذي يربط الأرقام بالمجهول من خلال المساواة.
إن وجود المجهول هو ما يصنف معادلة كتعبير جبري. يسمح وجود المساواة بإيجاد حل لمعادلة ، أي القيمة العددية للمجهول.
أمثلة
1) 2 س + 4 = 0
2) 4 س - 4 = 19 - 8 س
3) 2x2 + 8 س - 9 = 0
الأدوار
التعريف الرسمي للوظيفة هو كما يلي: احتلال إنها قاعدة تربط كل عنصر في مجموعة بعنصر واحد من مجموعة ثانية.
يتم تمثيل هذه القاعدة رياضياً بتعبير جبري له مساواة ، لكن ذلك يربط المجهول بالمجهول. هذا هو الفرق بين دالة ومعادلة: تتعلق المعادلة بمجهول برقم ثابت ؛ في احتلال، يمثل المجهول مجموعة عددية كاملة. لهذا السبب ، داخل الدوال ، تسمى المجهول المتغيرات ، حيث يمكن أن تأخذ أي قيمة داخل المجموعة التي تمثلها.
لأنها تنطوي على تعبيرات جبرية ، احتلال إنه أيضًا محتوى ينتمي إلى Algebra ، نظرًا لأن الأحرف تمثل أي رقم ينتمي إلى أي مجموعة من الأرقام.
أمثلة:
1) ضع في اعتبارك الوظيفة y = x2، أين س هو أي عدد حقيقي.
في هذا احتلال، يمكن أن يأخذ المتغير x أي قيمة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية. نظرًا لأن القاعدة التي تربط الأرقام التي يمثلها x بالأرقام التي يمثلها y هي عملية حسابية أساسية ، فإن y تمثل أيضًا أرقامًا حقيقية. التفصيل الوحيد حول هذا هو أن y لا يمكن أن تمثل عددًا حقيقيًا سالبًا في هذه الدالة ، نظرًا لأن y هي نتيجة أس 2 ، والتي سيكون لها دائمًا نتيجة موجبة.
2) ضع في اعتبارك الدالة y = 2x ، حيث x هي a عدد طبيعي.
في هذا احتلال، يمكن أن يأخذ المتغير x أي قيمة ضمن مجموعة الأعداد الطبيعية. هذه الأرقام هي الأعداد الصحيحة الموجبة ، وبالتالي فإن القيم التي يمكن أن تأخذها y هي أعداد طبيعية مضاعفات 2. بهذه الطريقة ، y تمثل مجموعة الأعداد الزوجية.
من الجبر الكلاسيكي إلى الجبر المجرد
المفاهيم المذكورة حتى الآن تشكل ملف الجبر الكلاسيكي. يرتبط هذا الجزء من الجبر بمجموعات من الأعداد الطبيعية والصحيحة والعقلانية وغير المنطقية والحقيقية والمعقدة ويتم دراسته في كل من التعليم الابتدائي والعالي. يدرس الجزء الآخر من الجبر ، والمعروف باسم المجرد ، هذه الهياكل نفسها ، ولكن لأي مجموعات.
وبالتالي ، في ضوء أي مجموعة ، مع أي عناصر (أرقام أم لا) ، من الممكن تحديد عملية "إضافة" ، عملية "الضرب" والتحقق من وجود أو عدم وجود خصائص هذه العمليات ، وكذلك صحة "المعادلات" و "الوظائف" و "كثيرات الحدود" إلخ.
بقلم لويس باولو موريرا
تخرج في الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-algebra.htm
