نظرية دالمبرت

نظرية دالمبرت هي نتيجة مباشرة لنظرية الباقي ، والتي تهتم بتقسيم كثير الحدود على حدين من النوع x - a. تقول نظرية الباقي أن كثير الحدود G (x) مقسومًا على ذي الحدين x - سيكون باقيًا R يساوي P (a) ، من أجل
س = أ. أثبت عالم الرياضيات الفرنسي دالمبرت ، مع الأخذ في الاعتبار النظرية المذكورة أعلاه ، أن متعدد الحدود أي Q (x) سيكون قابلاً للقسمة على x - a ، أي أن باقي القسمة سيكون مساويًا للصفر (R = 0) إذا كان P (a) = 0.
جعلت هذه النظرية من السهل حساب قسمة كثير الحدود على ذات الحدين (x –a) ، لذلك ليس من الضروري حل القسمة بأكملها لمعرفة ما إذا كان الباقي يساوي الصفر أم يختلف عنه.
مثال 1
احسب باقي القسمة (x² + 3 س - 10): (س - 3).
كما تقول نظرية دالمبرت ، فإن الباقي (R) من هذا التقسيم سيكون مساويًا لـ:
ف (3) = ص
3² + 3 * 3-10 = R.
9 + 9-10 = ص
18-10 = ص
ص = 8
إذن ، باقي هذه القسمة ستكون 8.
مثال 2
تحقق مما إذا كان x⁵ - 2x⁴ + س³ + x - 2 يقبل القسمة على x - 1.
وفقًا لـ D’Alembert ، فإن كثيرة الحدود قابلة للقسمة على ذات الحدين إذا كان P (a) = 0.
الفوسفور (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
الفوسفور (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2

الفوسفور (1) = 3-4
الفوسفور (1) = - 1
بما أن P (1) ليست صفرية ، فإن كثير الحدود لن يقبل القسمة على ذات الحدين x - 1.
مثال 3
احسب قيمة م بحيث يكون باقي قسمة كثير الحدود
الفوسفور (س) = س⁴ - مكس³ + 5x² + x - 3 في x - 2 تساوي 6.
لدينا ذلك ، R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
ف (2) = 2⁴ - م * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - م * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16-8 م + 20 + 2-3 = 6
- 8 م = 6-38 + 3
- 8 م = 9-38
- 8 م = - 29
م = 29/8
مثال 4
احسب ما تبقى من قسمة كثير الحدود 3x³ + س² - 6x + 7 في 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
ص = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (مم)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
ص = 79/8

بواسطة مارك نوح
تخرج في الرياضيات
فريق مدرسة البرازيل

كثيرات الحدود - رياضيات - مدرسة البرازيل

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm