ти ірраціональні числа тривалий час викликав велике занепокоєння у математиків. Сьогодні, вже добре визначений, ми знаємо як ірраціональне число той, чий десяткове подання - це завжди неперіодичний десятковий знак. Головною характеристикою ірраціоналів, і чим вони відрізняються від раціональних чисел, є те, що вони не може бути представлений a дріб.
Вивчення ірраціональних чисел було поглиблено, коли при обчисленні задач, що стосуються теореми Піфагора, були знайдені неточні корені. Акт пошуку рішення цих неточних коренів зробив існування неточної десятини чудовим. періодичний, тобто чисел, десяткова частина яких нескінченна і не має хорошої послідовності. визначений. Основними ірраціональними числами є неперіодичні десяткові знаки, неточні корені та π.
Читайте також: Квадратний корінь - випадок укорінення, де радикальний показник дорівнює 2
Набір ірраціональних чисел
До вивчення ірраціональних чисел вивчали набори чисел природний, цілі числа та обгрунтування. Поглибившись у вивчення трикутника прямокутника, стало зрозуміло, що
є деякі корені, які не мають точного рішення, зокрема, можна було побачити, що неточні кореневі рішення - це числа відомий як неперіодична десятина.У розпал цього безладу багато математиків намагалися безуспішно продемонструвати, що неточні корені є раціональними числами і який можна представити у вигляді дробу, але було зрозуміло, що ці числа не можуть бути представлені в цьому форму. Оскільки до цього часу набір раціональних чисел не включав ці числа, виникла необхідність створити нову множину, відому як набір ірраціональних чисел.
Число є ірраціональним, коли його десяткове подання є неперіодичним десятковим числом. |
Що таке ірраціональні числа?
Щоб бути ірраціональним числом, воно повинно задовольняти визначенню, тобто його десяткове подання є неперіодичним десятковим числом. Основною характеристикою неперіодичних десяткових знаків є те, що їх неможливо представити дробом, що показує, що ірраціональні числа протилежні раціональним числам.
Основними номерами цієї функції є коріння не точні.
Приклади:
а) √2
б) √5
в) √7
г) √13
Коли шукаємо неточні кореневі рішення, тобто виконуємо десяткове представлення цих чисел, завжди ми знайдемо неперіодичний десятковий знак, який робить ці числа елементами набору ірраціональний.
Окрім неточних коренів, існують і самі неперіодичні десяткові знаки, наприклад, якщо ми обчислимо неточні корені, то знайдемо неперіодичний десятковий знак.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Ірраціональні цифри зазвичай представлені грецькими літерами, оскільки неможливо записати всі його десяткові коми.
Перший - це π (читається: pi), присутній у розрахунку площі та периметра кіл. Має значення, рівне 3,1415926535…
Окрім π, ще одним дуже поширеним числом є ϕ (читайте: fi). Він виявляється в проблемах, пов'язаних з пропорція золотий. Він має значення, рівне 1,618033 ...
Дивіться також: Що таке прості числа?
раціональне та ірраціональне число
При аналізі наборів чисел, важливо розрізняти раціональні числа від ірраціональних чисел. Об'єднання цих двох множин утворює одну з найбільш вивчених математичних множин, множину реалів, тобто множину дійсних чисел це об’єднання чисел, які можна представити у вигляді дробів (раціонально) з числами, які не можна представити у вигляді дробів (ірраціонально).
У наборі раціональні числа, є цілі числа, натуральні, точні десяткові і періодичні десяткові.
Приклади раціональних чисел:
-60 → ціле число
2,5 → точний десятковий
5.1111111… → періодичний десятковий знак
Ірраціональні числа - неперіодичні десяткові числа, тому немає жодного раціонального та ірраціонального числа.
Приклад ірраціональних чисел:
1,123149… → неперіодична десятина
2.769235… → неперіодична десятина
Операції з ірраціональними числами
додавання і віднімання
THE доповнення та віднімання з двох ірраціональних чисел зазвичай щойно представлений, якщо не використовується десяткове наближення цих чисел, наприклад:
а) √6 + √5
б) √6 - √5
в) 1,414213… + 3,1415926535…
Ми не можемо додавати або віднімати значення через радикали, тому ми щойно залишили операцію вказаною.
У десяткових поданнях також неможливо виконати точну суму, тому щоб додати два ірраціональних числа, нам потрібне раціональне наближення., і це подання вибирається відповідно до потреби в точності цих даних. Чим більше десяткових знаків ми розглядаємо, тим ближче до точної суми отримуємо.
Спостереження:сукупність ірраціональних чисел не закрита для додавання чи віднімання, це означає, що сума двох ірраціональних чисел може призвести до числа, яке не є раціональним. Наприклад, якщо ми обчислюємо різницю ірраціонального числа за його протилежністю, ми маємо:
а) √2 - √2 = 0
б) π + (-π) = 0
Ми знаємо, що 0 не є ірраціональним числом.
Множення і ділення
Множення і поділ ірраціональних чисел можна зробити, якщо подання є радикаціяоднак, як і додавання, у десятковому поданні, тобто множенні або діленні двох знаків після коми, потрібно раціональне наближення цього числа.
а) √7 · √5 = √35
б) √32: √2 = √16 = 4
Зауважимо також, що в прикладі b 4 є раціональним числом, що означає, що множення і ділення двох ірраціональних чисел не є замкненими, тобто вони можуть мати раціональний результат.
розв’язані вправи
Питання 1 - Перегляньте такі цифри:
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Це ірраціональні числа:
А) Тільки я, IV і V
Б) Тільки II, III та VI
В) Тільки II, IV та VI
Г) Тільки I, II, III та VI
Д) Тільки III, IV, V та VI
Дозвіл
Альтернатива B
I → число є точним десятковим, раціональним.
II → число - неперіодичний, ірраціональний десятковий знак.
III → π ірраціональний, а його подвійник, тобто 2π, також ірраціональний.
IV → число - це періодичний, раціональний десятковий знак.
V → точний, раціональний корінь.
VI → корінь не точний, ірраціональний.
Питання 2 - Будь ласка, судіть наступні твердження:
I - множина дійсних чисел є об’єднанням раціонального та ірраціонального;
II - Сума двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом;
III - Десятина - це ірраціональні числа.
Аналізуючи твердження, можна сказати, що:
А) Тільки твердження I відповідає дійсності.
Б) Істинним є лише твердження II.
В) Істинним є лише твердження III.
Г) Істинними є лише твердження І та ІІ.
Д) Усі твердження відповідають дійсності.
Дозвіл
Альтернатива D
I → Правда, оскільки визначення множини дійсних чисел є союзом між раціональним та ірраціональним.
II → Правда, коли ми додаємо число до протилежного йому числа, у результаті ми отримаємо число 0, яке є раціональним.
III → Неправдива, неперіодична десятина є нераціональною.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
