Мотивація вивчення операції між множинами походить від легкості, яку вони приносять для вирішення повсякденних числових задач. Ми будемо використовувати деякі графічні інструменти, такі як діаграма Венна-Euler, щоб визначити основні операції між двома або більше набори, а саме: об'єднання множин, перетин множин, різниця множин та комплементарна множина.
об'єднання множин
Об'єднання між двома або більше наборами буде новим набором, що складається з елементів, які належать принаймні одному із розглянутих наборів. Формально набір об'єднань задається:
Нехай A і B - дві множини, союз між ними утворюється елементами, що належать множині A або множині B.
Іншими словами, просто приєднайте елементи А з тими Б.
Приклад:
а) Розглянемо множини A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} та B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
б) A = {x | x - натуральне парне число} і B {y | y - натуральне непарне число}
Об'єднання всіх природних рівних і всіх природних шансів призводить до усього набору натуральних чисел, тому ми маємо:
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Перетин множин
Перетин між двома або більше наборами також буде новим набором, утвореним елементи, які одночасно належать до всіх наборів, що беруть участь. Формально ми маємо:
Нехай A і B - дві множини, перетин між ними утворюють елементи, що належать множині A і множині B. Таким чином, ми повинні розглядати лише ті елементи, які є в обох множинах.
Приклад
а) Розглянемо множини A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} та C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
B ∩ C = {0}
Викликається множина, яка не має елементів порожній набір і його можна представити двома способами.
Читайте також: Встановити визначення
різниця множин
Різниця між двома множинами, A і B, дається елементами, що належать до A і немає належать Б.
На діаграмі Венна-Ейлера різниця між множинами A і B є:
Приклад
Розглянемо множини A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} та C = {}. Визначимо такі відмінності.
A - B = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - A = {}
Зверніть увагу, що в множині A - B ми спочатку беремо множину A і «виймаємо» елементи з множини B. У наборі A - C ми беремо A і «виймаємо» порожнечу, тобто відсутні елементи. Нарешті, в C - A, ми беремо порожній набір і «виймаємо» елементи з A, яких, у свою чергу, вже не було.
Читайте також: Важливі позначення про набори
Додаткові набори
Розглянемо множини A і B, де множина A міститься в множині B, тобто кожен елемент A також є елементом B. Різниця між множинами, B - A, називається доповненням A відносно B. Іншими словами, доповнювальний утворюється кожним елементом, який не належить множині A щодо множини B, в якій він міститься.
Приклад
Розглянемо множини A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} та B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Доповненням A щодо B є:
розв’язані вправи
питання 1 - Розглянемо множини A = {a, b, c, d, e, f} та B = {d, e, f, g, h, i}. Визначте (A - B) U (B - A).
Рішення
Спочатку ми визначимо множини A - B і B - A, а потім виконаємо об’єднання між ними.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Отже, (A - B) U (B - A) є:
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
питання 2 - (Vunesp) Нехай A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} та A - B = {a, b, c}, тоді:
а) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
в) B = {}
d) B = {d, e}
д) B = {a, b, c, d, e}
Рішення
Альтернатива b.
Розташовуючи елементи на діаграмі Венна-Ейлера, згідно з твердженням, маємо:
Отже, множина B = {d, e, f, g, h}.
Робсон Луїс
Вчитель математики
