розуміння набори є основною основою для вивчення алгебра та поняття, що мають велике значення в математиці, такі як функції та нерівності. Позначення, яке ми використовуємо для наборів, завжди є великою літерою нашого алфавіту (наприклад, набір A або набір B).
З точки зору представлення множин, це може зробити діаграма Венна, просто описуючи характеристики його елементів, перелічуючи елементи або описуючи їх властивості. При роботі з проблемами, що стосуються множин, бувають ситуації, що вимагають виконання операції між множинами, будучи об’єднанням, перетином та різницею. Чи будемо ми все це детально вивчати?
Дивіться теж: Числові вирази - навчіться їх розв’язувати!
Позначення та подання множин
Для подання множини ми завжди використовуємо a велика буква алфавіту, а елементи завжди між клавіші і розділяються комою. Наприклад, для представлення набору парних чисел, більших за 1 і менших за 20, ми використовуємо такі позначення: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Форми подання множин
представлення шляхом перерахування
: ми можемо перерахувати його елементи, тобто скласти список, завжди між фігурними дужками. Дивіться приклад:
А = {1,5,9,12,14,20}
описуючи особливості: ми можемо просто описати характеристику набору. Наприклад, нехай X - множина, маємо, що X = {x - додатне число, кратне 5}; Y: набір місяців у році.
Діаграма Венна: набори також можуть бути представлені у вигляді діаграми, відомої як a діаграма Венна, що є більш ефективним поданням для виконання операцій.
Приклад:
Враховуючи набір A = {1,2,3,4,5}, ми можемо представити його на такій діаграмі Венна:
Елементи набору та відносини членства
Враховуючи будь-який елемент, можна сказати, що елемент належить до набору або не належати до цього набору. Щоб швидше представити ці відносини щодо членства, ми використовуємо символи
(читати як належність) та ∉ (читати як належність). Наприклад, нехай P - множина парні номери, можна сказати, що 7 ∉ P і що 12 П.
Рівність множин
Порівняння між множинами неминуче, тому ми можемо сказати, що два множини рівні чи ні, перевіряючи кожен з його елементів. Нехай A = {0,1,3,4,8} і B = {8,4,3,1,0}, навіть якщо елементи знаходяться в іншому порядку, можна сказати, що множини A і B рівні: A = B.
Взаємозв'язок
Порівнюючи два набори, ми можемо зустріти кілька взаємозв’язків, і один з них - це відношення включення. Для цих відносин нам потрібно знати деякі символи:
⊃ → містить ⊂→ міститься
⊅ → не містить ⊄→не міститься
Порада: Відкриваюча сторона символу завжди буде звернена до більшого набору. |
Коли всі елементи множини A також належать до множини B, ми говоримо, що A ⊂ B або що A міститься в B. Наприклад, A = {1,2,3} та B = {1,2,3,4,5,6}. Також можливо виконати подання за діаграма Венна, це буде виглядати так:
A міститься в B:
A ⊂ B
Підмножини
Коли a відносини включення, тобто множина A міститься у множині B, можна сказати, що A є підмножиною B. Підмножина залишається набором, а a набір може мати кілька підмножин, побудований з елементів, що йому належать.
Наприклад: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} має як підмножини набори B: {1,2,3}; С: {1,3,5,7}; D: {1} і навіть множина A {1,2,3,4,5,6,7,8}, тобто A є підмножиною самої себе.
унітарний набір
Як вже випливає з назви, саме цей набір має лише один елемент, як набір D: {1}, показаний раніше. Враховуючи набір B: {1,2,3}, ми маємо підмножини {1}, {2} та {3}, які є всіма наборами одиниць.
УВАГА: Набір E: {0} також є унітарним набором, оскільки він має один елемент, «0», і це не порожній набір.
Читайте також: Набір цілих чисел - елементи та характеристики
порожній набір
З ще більш сугестивною назвою порожній набір не має елементів і є підмножиною будь-якого набору. Для представлення порожнього набору існує два можливих зображення: V: {} або символ Ø.
Набори деталей
Ми знаємо як набори деталей усі можливі підмножини даної множини. Нехай A: {1,2,3,4}, ми можемо перерахувати всі підмножини цього набору A, починаючи з наборів that не мають елементів (порожні), а потім ті, що мають один, два, три та чотири елементи, відповідно.
порожній набір: { };
Набори одиниць: {1}; {2};{3}; {4}.
Набори з двома елементами: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
набори з трьома елементами: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Набір з чотирма елементами: {1,2,3,4}.
Тому ми можемо описати набір частин A таким чином:
П: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Щоб з’ясувати, на скільки частин можна розділити множину, використовуємо формулу:
n [P (A)] = 2немає
Кількість частин A обчислюється а потенція база 2 піднята до немає, про те, що немає - кількість елементів у наборі.
Розглянемо набір A: {1,2,3,4}, який має чотири елементи. Загальна кількість можливих підмножин цього набору становить 24 =16.
Читайте також: Що являє собою набір ірраціональних чисел?
Кінцевий і нескінченний набір
Під час роботи з множинами ми знаходимо такі множини обмежений (кінцевий) і ті, хто є необмежений (нескінченний). Безліч парні чи непарні числа, наприклад, нескінченний і, щоб представити його, ми описуємо деякі його елементи послідовно, так що можна передбачити, якими будуть наступні елементи, і ми ставимо еліпси в Остаточний.
Я: {1,3,5,7,9,11 ...}
П: {2,4,6,8,10, ...}
Однак у кінцевій множині ми не ставимо еліпси в кінці, оскільки вона має визначені початок і кінець.
В: {1,2,3,4}.
Всесвіт встановити
О Всесвіт встановити, що позначається U, визначається як сукупність, утворена всіма елементами, які повинні розглядатися в рамках задачі. Кожен елемент належить набору всесвіту, і кожен набір міститься в наборі всесвіту.
Операції з наборами
Операціями з множинами є: об'єднання, перетин та різниця.
Перетин множин
Перетин відбувається, коли елементи належать одночасно до одного або декількох наборів. Пишучи A∩B, ми шукаємо елементи, що належать як множині A, так і множині B.
Приклад:
Розглянемо A = {1,2,3,4,5,6} і B = {2,4,6,7,8}, елементи, що належать як множині A, так і множині B:, 4,6}. Представлення цієї операції виконується наступним чином:
A∩B
Коли набори не мають спільних елементів, вони відомі як неперервні набори.
A∩B = Ø
різниця між наборами
обчислити різниця між двома наборами полягає у пошуку елементів, які належать лише одному з двох наборів. Наприклад, A - B має у відповідь набір, що складається з елементів, які належать до множини A і не належать до множини B.
Приклад: A: {1,2,3,4,5,6} та B: {2,4,6,7,8}. Зверніть увагу, що A ∩ B = {2,4,6}, тож маємо, що:
а) A - B = {1,3,5}
б) B - A = {7,8}
Єдність
Об'єднання двох або більше множин - це приєднання ваших умов. Якщо є елементи, які повторюються в обох наборах, вони записуються лише один раз. Наприклад: A = {1,2,3,4,5} та B = {4,5,6,7,10,14}. Для представлення об’єднання ми використовуємо символ (читається: Об’єднання з В).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Щоб дізнатись більше про ці операції та перевірити кілька розв’язаних вправ, прочитайте: Операції з наборами.
Закони Моргана
Нехай A і B - дві множини, і нехай U - множина Всесвіту, є дві властивості, задані законами Моргана, а саме:
(A U B)ç = Aç ∩Бç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Приклад:
Враховуючи набори:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
В: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
Б: {5.10,15,20}
Перевіримо, що (A U B)ç = Aç ∩Бç. Отже, ми маємо:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Тому (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Щоб перевірити правдивість рівності, проаналізуємо операцію Aç ∩Бç:
THEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Тоді, THEç ∩Бç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Бç
розв’язані вправи
01) Розглянемо U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} та B: {4,5,6, 7,8,9}. Покажіть, що (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Дозвіл:
1-й крок: знайти (A ∩ B)ç. Для цього маємо, що A ∩ B = {4,5,6}, отже (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2-й крок: знайти Aç U Bç. THEç: {7,8,9,10} та Бç: {1,2,3,10}, отже Аç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Показано, що (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Знаючи, що A - це набір парних чисел від 1 до 20, яку загальну кількість підмножин ми можемо побудувати з елементів цієї множини?
Дозвіл:
Нехай P - описана множина, маємо P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Отже, кількість елементів Р дорівнює 10.
За сукупністю теорії частин, кількість можливих підмножин Р становить:
210=1024
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики