Набори: позначення, способи представлення, операції

розуміння набори є основною основою для вивчення алгебра та поняття, що мають велике значення в математиці, такі як функції та нерівності. Позначення, яке ми використовуємо для наборів, завжди є великою літерою нашого алфавіту (наприклад, набір A або набір B).

З точки зору представлення множин, це може зробити діаграма Венна, просто описуючи характеристики його елементів, перелічуючи елементи або описуючи їх властивості. При роботі з проблемами, що стосуються множин, бувають ситуації, що вимагають виконання операції між множинами, будучи об’єднанням, перетином та різницею. Чи будемо ми все це детально вивчати?

Дивіться теж: Числові вирази - навчіться їх розв’язувати!

Позначення та подання множин

Для подання множини ми завжди використовуємо a велика буква алфавіту, а елементи завжди між клавіші і розділяються комою. Наприклад, для представлення набору парних чисел, більших за 1 і менших за 20, ми використовуємо такі позначення: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.

  • Форми подання множин

  1. представлення шляхом перерахування

    : ми можемо перерахувати його елементи, тобто скласти список, завжди між фігурними дужками. Дивіться приклад:

А = {1,5,9,12,14,20}

  1. описуючи особливості: ми можемо просто описати характеристику набору. Наприклад, нехай X - множина, маємо, що X = {x - додатне число, кратне 5}; Y: набір місяців у році.

  2. Діаграма Венна: набори також можуть бути представлені у вигляді діаграми, відомої як a діаграма Венна, що є більш ефективним поданням для виконання операцій.

Приклад:

Враховуючи набір A = {1,2,3,4,5}, ми можемо представити його на такій діаграмі Венна:

Діаграма набору A
Діаграма набору A

Елементи набору та відносини членства

Враховуючи будь-який елемент, можна сказати, що елемент належить до набору або не належати до цього набору. Щоб швидше представити ці відносини щодо членства, ми використовуємо символи(читати як належність) та ∉ (читати як належність). Наприклад, нехай P - множина парні номери, можна сказати, що 7 ∉ P і що 12  П.

Рівність множин

Порівняння між множинами неминуче, тому ми можемо сказати, що два множини рівні чи ні, перевіряючи кожен з його елементів. Нехай A = {0,1,3,4,8} і B = {8,4,3,1,0}, навіть якщо елементи знаходяться в іншому порядку, можна сказати, що множини A і B рівні: A = B.

Взаємозв'язок

Порівнюючи два набори, ми можемо зустріти кілька взаємозв’язків, і один з них - це відношення включення. Для цих відносин нам потрібно знати деякі символи:

⊃ → містить ⊂ міститься

⊅ → не містить ⊄не міститься

Порада: Відкриваюча сторона символу завжди буде звернена до більшого набору.

Коли всі елементи множини A також належать до множини B, ми говоримо, що A B або що A міститься в B. Наприклад, A = {1,2,3} та B = {1,2,3,4,5,6}. Також можливо виконати подання за діаграма Венна, це буде виглядати так:

  • A міститься в B:

A ⊂ B

Підмножини

Коли a відносини включення, тобто множина A міститься у множині B, можна сказати, що A є підмножиною B. Підмножина залишається набором, а a набір може мати кілька підмножин, побудований з елементів, що йому належать.

Наприклад: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} має як підмножини набори B: {1,2,3}; С: {1,3,5,7}; D: {1} і навіть множина A {1,2,3,4,5,6,7,8}, тобто A є підмножиною самої себе.

унітарний набір

Як вже випливає з назви, саме цей набір має лише один елемент, як набір D: {1}, показаний раніше. Враховуючи набір B: {1,2,3}, ми маємо підмножини {1}, {2} та {3}, які є всіма наборами одиниць.

УВАГА: Набір E: {0} також є унітарним набором, оскільки він має один елемент, «0», і це не порожній набір.

Читайте також: Набір цілих чисел - елементи та характеристики

порожній набір

З ще більш сугестивною назвою порожній набір не має елементів і є підмножиною будь-якого набору. Для представлення порожнього набору існує два можливих зображення: V: {} або символ Ø.

Набори деталей

Ми знаємо як набори деталей усі можливі підмножини даної множини. Нехай A: {1,2,3,4}, ми можемо перерахувати всі підмножини цього набору A, починаючи з наборів that не мають елементів (порожні), а потім ті, що мають один, два, три та чотири елементи, відповідно.

  • порожній набір: { };

  • Набори одиниць: {1}; {2};{3}; {4}.

  • Набори з двома елементами: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.

  • набори з трьома елементами: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.

  • Набір з чотирма елементами: {1,2,3,4}.

Тому ми можемо описати набір частин A таким чином:

П: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}

Щоб з’ясувати, на скільки частин можна розділити множину, використовуємо формулу:

n [P (A)] = 2немає

Кількість частин A обчислюється а потенція база 2 піднята до немає, про те, що немає - кількість елементів у наборі.

Розглянемо набір A: {1,2,3,4}, який має чотири елементи. Загальна кількість можливих підмножин цього набору становить 24 =16.

Читайте також: Що являє собою набір ірраціональних чисел?

Кінцевий і нескінченний набір

Під час роботи з множинами ми знаходимо такі множини обмежений (кінцевий) і ті, хто є необмежений (нескінченний). Безліч парні чи непарні числа, наприклад, нескінченний і, щоб представити його, ми описуємо деякі його елементи послідовно, так що можна передбачити, якими будуть наступні елементи, і ми ставимо еліпси в Остаточний.

Я: {1,3,5,7,9,11 ...}

П: {2,4,6,8,10, ...}

Однак у кінцевій множині ми не ставимо еліпси в кінці, оскільки вона має визначені початок і кінець.

В: {1,2,3,4}.

Всесвіт встановити

О Всесвіт встановити, що позначається U, визначається як сукупність, утворена всіма елементами, які повинні розглядатися в рамках задачі. Кожен елемент належить набору всесвіту, і кожен набір міститься в наборі всесвіту.

Операції з наборами

Операціями з множинами є: об'єднання, перетин та різниця.

  • Перетин множин

Перетин - одна з операцій між множинами.
Перетин - одна з операцій між множинами.

Перетин відбувається, коли елементи належать одночасно до одного або декількох наборів. Пишучи A∩B, ми шукаємо елементи, що належать як множині A, так і множині B.

Приклад:

Розглянемо A = {1,2,3,4,5,6} і B = {2,4,6,7,8}, елементи, що належать як множині A, так і множині B:, 4,6}. Представлення цієї операції виконується наступним чином:

­­ A∩B

Коли набори не мають спільних елементів, вони відомі як неперервні набори.

Представлення непересічних множин
Представлення непересічних множин

A∩B = Ø

  • різниця між наборами

Різниця між наборами (A - B)
Різниця між наборами (A - B)

обчислити різниця між двома наборами полягає у пошуку елементів, які належать лише одному з двох наборів. Наприклад, A - B має у відповідь набір, що складається з елементів, які належать до множини A і не належать до множини B.

Приклад: A: {1,2,3,4,5,6} та B: {2,4,6,7,8}. Зверніть увагу, що A ∩ B = {2,4,6}, тож маємо, що:

а) A - B = {1,3,5}

б) B - A = {7,8}

  • Єдність

Об'єднання двох або більше множин - це приєднання ваших умов. Якщо є елементи, які повторюються в обох наборах, вони записуються лише один раз. Наприклад: A = {1,2,3,4,5} та B = {4,5,6,7,10,14}. Для представлення об’єднання ми використовуємо символ (читається: Об’єднання з В).

A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}

Щоб дізнатись більше про ці операції та перевірити кілька розв’язаних вправ, прочитайте: Операції з наборами.

Закони Моргана

Нехай A і B - дві множини, і нехай U - множина Всесвіту, є дві властивості, задані законами Моргана, а саме:

(A U B)ç = Aç ∩Бç

(A ∩ B)ç = Aç U Bç

Приклад:

Враховуючи набори:

  • U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

  • В: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

  • Б: {5.10,15,20}

Перевіримо, що (A U B)ç = Aç ∩Бç. Отже, ми маємо:

A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}

Тому (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}

Щоб перевірити правдивість рівності, проаналізуємо операцію Aç ∩Бç:

THEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}

Тоді, THEç ∩Бç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.

(A U B)ç = Aç ∩Бç

розв’язані вправи

01) Розглянемо U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} та B: {4,5,6, 7,8,9}. Покажіть, що (A ∩ B)ç = Aç U Bç.

Дозвіл:

  • 1-й крок: знайти (A ∩ B)ç. Для цього маємо, що A ∩ B = {4,5,6}, отже (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.

  • 2-й крок: знайти Aç U Bç. THEç: {7,8,9,10} та Бç: {1,2,3,10}, отже Аç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.

Показано, що (A ∩ B)ç = Aç U Bç.

02) Знаючи, що A - це набір парних чисел від 1 до 20, яку загальну кількість підмножин ми можемо побудувати з елементів цієї множини?

Дозвіл:

Нехай P - описана множина, маємо P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Отже, кількість елементів Р дорівнює 10.

За сукупністю теорії частин, кількість можливих підмножин Р становить:

210=1024

Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики

Кількість робочих місць зростає менше, ніж кількість працівників старше 50 років

Національна служба промислового навчання (Senai) показала, що кількість працівників старше 50 рок...

read more
Banana Challenge: спосіб довести свій високий інтелект

Banana Challenge: спосіб довести свій високий інтелект

Ви коли-небудь замислювалися, наскільки гострий ваш інтелект? Один IQ тест може бути саме те, що ...

read more

УНИКАЙТЕ будь-яку ціну цих 3 шкідливих звичок у домашньому офісі

Сьогодні багато людей працюють з дому. Цей формат роботи стає все більш поширеним, як у великих, ...

read more