О План Арганда-Гауса він складається з двох осей: однієї вертикальної (відомої як уявна вісь) та однієї горизонтальної (відомої як реальна вісь). Можливо геометрично представляють комплексні числаякі знаходяться в алгебраїчній формі.
Завдяки цьому геометричному поданню це можливо розробити деякі поняття, такі як модуль та аргумент комплексного числа. Комплексні числа представлені алгебраїчно z = a + bi, тому вони представлені крапками (a, b), що називається афіксом.
Читайте також: Геометричне зображення суми комплексних чисел
Геометричне зображення комплексних чисел
Складна площина, також відома як площина Арганда-Гауса, є не що інше, якДекартовий літак для комплексних чисел. У площині Арганда-Гауса можна представити комплексне число у вигляді крапки, відоме як афікс. З розробкою комплексного плану виникає розвиток аналітична геометрія для комплексних чисел, що дає можливість розвивати такі важливі поняття, як модуль та аргумент.
Комплексне число, представлене в його алгебраїчній формі, є
z = a + bi, про те, що є реальною частиною і B є уявною частиною. Отже, комплексні числа представлені у вигляді крапки (a, b). У площині Арганда-Гауса горизонтальна вісь є віссю дійсної частини, а вертикальна вісь - віссю уявної частини.Прикріплення
О точка на площині, що представляє комплексне число його ще називають афіксом. Є три можливі випадки подання: уявні афікси, реальні афікси та чисто уявні афікси.
уявні афікси
Афікс відомий як уявний, коли комплексне число має обидва a реальна частина та уявна частина ненульові. У цьому випадку афікс є точкою в будь-якому з чотирьох квадрантів, залежно від значень a, b та їх відповідних знаків.
Приклад:
Див. Подання комплексних чисел z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i і z4= 1 - 4i.
Дивіться також: Властивості, що включають комплексні числа
чисто уявні афікси
Комплексне число відоме як чисто уявне, коли ваша реальна частина дорівнює нулю, тобто z = bi. Зверніть увагу, що в цьому випадку перша координата завжди дорівнює нулю, тому давайте працюватимемо з точками типу (0, b). При маркуванні в площині Арганда-Гауса завжди чистий уявний афікс буде точкою, що належить уявній осі, тобто до вертикальної осі.
Приклад:
Див. Подання комплексних чисел z1 = 2i і z2= -3i.
справжні афікси
Комплексне число класифікується як a дійсне числоколи ваш уявна частина дорівнює нулю, тобто z = a. У цьому випадку друга координата завжди дорівнює нулю, тому ми будемо працювати з точками типу (a, 0), тому уявна частина дорівнює нулю, а афікси містяться в дійсній осі комплексної площини.
Приклад:
Див. Подання комплексних чисел z1 = 2 і z2 = -4.
Модуль складного номера
Коли представляємо комплексне число, нехай P (a, b) є афіксом комплексного числа z = a + bi. Ми знаємо модуль комплексного числа a відстань від точки Р до початку координат. Модуль комплексного числа z представлений | z |. Щоб знайти значення | z |, ми використовуємо Теорема Піфагора.
| z | ² = a² + b²
Ми також можемо представити:
Приклад:
Знайдіть модуль комплексного числа z = 12 -5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| z | = 13
Також доступ: Що таке раціональні числа?
аргумент комплексного числа
Ми знаємо як аргумент комплексного числа О кут θ, утворений вектором OP і реальною віссю. Аргумент числа представлений аргументом arg (z) = θ.
Щоб знайти кут, ми використовуємо тригонометричні співвідношення синус і косинус.
Щоб знайти значення аргументу, знаючи синус і косинус, просто зверніться до таблиці значень цих тригонометричних співвідношень. Зазвичай у питаннях вступного іспиту в коледж на цю тему аргументом є a чудовий кут.
Приклад:
Знайдіть аргумент комплексного числа z = 1 + i.
Спочатку обчислимо модуль z.
| z | ² = 1² + 1²
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| z | = √2
Знаючи | z |, ми можемо обчислити синус і косинус кута.
Кут, який має синус і косинус із знайденими значеннями, становить 45 °.
розв’язані вправи
Питання 1 - У чому полягає аргумент комплексного числа z = √3 + i?
А) 30-й
Б) 45-й
В) 60-й
D) 90º
Д) 120-й
Дозвіл
Альтернатива C.
Ми знаємо, що a = √3 і b = 1, отже:
Питання 2 - У наступному комплексному плані представлені деякі цифри. Аналізуючи план, можна сказати, що точки є поданням чистих уявних чисел:
A) M, N та I.
Б) Р та Я.
В) L і G.
Г) О, Я, Г.
E) K, J та L.
Дозвіл
Альтернатива Б.
Для ідентифікації чисто уявного числа в комплексній площині необхідно, щоб воно було зверху вертикальної осі, яка, в даному випадку, є точками P і I.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm