Усі існуючі числа були створені відповідно до потреб людини на момент створення, як це відбувається з натуральними числами, які були створені для підрахунку та контролю "запасів" та ірраціональних чисел, які були встановлені для вирішення проблем стосовно коріння. Саме проблеми, пов’язані з корінням, започаткували знання про комплексні числа.
Квадратне рівняння x2 + 4x + 5 = 0 не має справжніх коренів. Це означає, що в наборі дійсних чисел неможливо знайти значення x, які дорівнюють першому доданку цього рівняння другому. Ми спостерігаємо це явище з початку формули Баскари:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Після знаходження від'ємного значення для Δ стає неможливим продовжити формулу Баскари, оскільки вона вимагає обчислення √Δ (кореня дельти). Тепер ми знаємо, що √– 4 не можна обчислити, оскільки немає дійсного числа, яке, помножене на себе, призводить до - 4.
Для задоволення цих потреб були створені складні номери. З моменту створення the– 4 можна розробити наступним чином:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) розуміється як новий тип числа. Сукупність усіх цих чисел відома як множина комплексних чисел, і кожен представник цієї нової множини визначається наступним чином: Нехай A - комплексне число, тоді,
A = + Bi, де і B є дійсними числами i i = √ (- 1)
У цьому визначенні Він відомий як реальна частина А і B Він відомий як уявна частина А.
Властивості комплексних чисел
Дійсні числа в цілому і геометрично представляють пряму. Складні числа, у свою чергу, представляють цілу площину. Декартова площина, яка використовується для представлення комплексних чисел, відома як площина Арганда-Гаусса.
Кожне комплексне число може бути представлене на площині Аргана-Гауса як точка координат (a, b). Відстань від точки, що представляє комплексне число, до точки (0,0) називається модулем комплексного числа., який визначається:
Нехай A = a + bi - комплексне число, його модуль | A | = a2 + b2
Комплексні числа також мають зворотний елемент, який називається спряженим. Він визначається як:
Нехай A = a + bi - комплексне число,
Ā = a - bi - спряжена цього числа.
Властивість 1: Добуток комплексного числа та його спряженого дорівнює сумі квадратів дійсної частини та уявної частини комплексного числа. Математично:
AĀ = a2 + b2
Приклад: Який добуток A = 2 + 5i на його спряжений?
Просто зробіть розрахунок: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Якби ми вирішили написати спряжену форму A і після цього виконати множення AĀ, ми мали б:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Тобто, використовуючи запропоновану властивість, можна уникнути тривалого розрахунку, а також помилок під час цих розрахунків.
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Властивість 2: Якщо комплексне число A дорівнює його спряженому, то A - дійсне число.
Нехай A = a + bi. Якщо A = Ā, то:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Отже, b = 0
Тому обов’язковим є те, що кожне комплексне число, що дорівнює його спряженому, також є дійсним числом.
Властивість 3: Спряжена суми двох комплексних чисел дорівнює сумі спряжених цих чисел., це:
_____ _ _
A + B = A + B
Приклад: Що таке спряжена сума 7 + 9i та 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Ви можете додати спочатку, а потім обчислити кон'югат результату або спочатку зробити кон'югати, а потім додати результати пізніше.
Властивість 4: Кон'югат продукту між двома комплексними числами дорівнює добутку їх спряжених, тобто:
__ _ _
AB = A · B
Приклад: Який добуток отримують кон’югати A = 7i + 10 та B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Залежно від потреби у вправі, можна спочатку помножити і обчислити сполучник потім або відобразити спряжені перед виконанням множення.
Властивість 5: Добуток комплексного числа A та його спряженого дорівнює квадрату модуля A, тобто:
AĀ = | A |2
Приклад: A = 2 + 6i, тоді AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Зауважте, що необов’язково знаходити кон’югат і виконувати множення через розподільну властивість множення над додаванням (відоме як маленька душова головка).
Властивість 6: Модуль комплексного числа дорівнює модулю його спряженого. Іншими словами:
| А | = | Ā |
Приклад: Знайдіть модуль спряженого комплексного числа A = 3 + 4i.
Зверніть увагу, що не потрібно знаходити кон'югат, оскільки модулі однакові.
| А | = √ (а2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Якби | Ā | було розраховано, єдиною зміною було б B негативний квадрат, що має позитивний результат. Таким чином, результат все одно буде коренем з 25.
Властивість 7: Якщо A і B - комплексні числа, то модульний добуток A і B дорівнює модулю добутку A і B., тобто:
| АВ | = | A || B |
Приклад: Нехай A = 6 + 8i і B = 4 + 3i, скільки | AB |?
Зауважте, що перед обчисленням модуля не потрібно множити комплексні числа. Можна розрахувати модуль кожного комплексного числа окремо, а потім просто помножити результати.
| А | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| Б | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| АВ | = | A || B | = 10 · 5 = 50
Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику
Хотіли б ви посилатися на цей текст у школі чи академічній роботі? Подивіться:
СІЛВА, Луїс Пауло Морейра. "Властивості, що включають комплексні числа"; Бразильська школа. Доступно: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm. Доступ 28 червня 2021 року.
