THE комбінаторний аналіз - це область вивчення математики, пов’язана з правилами підрахунку. На початку 18 століття вивчення ігор за участю кубиків та карт призвело до значного розвитку теорій підрахунку.
Робота комбінаторики дозволяє здійснювати дедалі точніші підрахунки.Основний принцип підрахунку (PFC), факторіал та типи групування є прикладами понять, що вивчаються в комбінаторному аналізі, які, крім надання більший точність допомагає немаєрозвиток інших галузей математики, таких як ймовірність і О Біном Ньютона.
Читайте теж: домовленість або çпоєднання?
Для чого потрібен комбінаторний аналіз?
Комбінаторний аналіз пов'язаний з процесом підрахунку, тобто вивчення цієї галузі математики дозволяє нам розробляти інструменти, які допомагають нам виконувати підраховує ефективніше. Давайте розглянемо типову проблему підрахунку, побачимо:
Приклад 1
Розглянемо три міста A, B та C, з’єднані магістралями R1, Р2, Р3, Р4 і Р5. Визначте, скільки шляхів ми можемо дістатися від міста А до міста С через місто Б.
Зверніть увагу, що нам потрібно залишити місто А і поїхати до міста В, і лише тоді ми можемо поїхати до міста С, тож давайте проаналізуємо всі можливості провести захід, що рухається по шосе.
1-й спосіб: Р.1 → Р.3
2-й спосіб: Р.1 → Р.4
3-й спосіб: Р.1 → Р.5
4-й спосіб: Р.2 → Р.3
5-й спосіб: Р.2 → Р.4
6-й спосіб: Р.2 → Р.5
Отже, у нас є шість різних способів дістатися з міста А до міста С через місто Б. Однак зауважте, що запропонована проблема є відносно простою, і що проведений аналіз був мало трудомістким. Отже, відтепер ми збираємось вивчати більш досконалі інструменти, які дозволяють вирішувати проблеми із значно меншою роботою.
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Основний принцип підрахунку (PFC)
Розглянемо подію Е, яка може бути виконана за n незалежних та послідовних кроків. Тепер подумайте, що кількість можливостей виконати перший крок дорівнює Р1, також уявіть, що кількість можливостей для проведення другого етапу становить P.2, і так далі, поки не дійдемо до останньої стадії, яка має Рнемає можливості для виконання.
Фундаментальний принцип підрахунку (PFC) говорить, що загальні можливості проведення заходу E визначається як:
P1 · Р2 ·… · Снемає
Таким чином, загальна сума дається добутком можливостей кожного з етапів, що становлять подію E. Зверніть увагу, що для того, щоб визначити загальні можливості проведення заходу Е, необхідно знати загальні можливості для кожного з етапів.
Приклад 2
Давайте переробимо приклад 1, використовуючи основний принцип підрахунку.
Розглянемо зображення в прикладі 1.
Зверніть увагу, що захід можна проводити у два етапи, перший - з міста А у місто В, а другий - із міста В у місто С. Для здійснення першого кроку ми маємо дві можливості (дороги R1 і Р2), а для проведення другого етапу ми маємо три можливості (R3, Р4 і Р5).
1-й крок → дві можливості
2 етап → три можливості
За основним принципом підрахунку, ми повинні примножувати загальні можливості кожного кроку.
2 · 3
6
Отже, щоб перейти від міста А до міста С через місто Б, у нас є загалом шість можливостей.
Приклад 3
Скількома способами можна розподілити три олімпійські медалі в змаганні гірський велосипед з п’ятьма конкурентами?
Організація розподілу медалей - це захід, який може проводитися у три етапи. Першим кроком є аналіз загальних можливостей того, хто отримає золоту медаль, тобто п'ять можливості.
Другим кроком є аналіз можливостей того, хто отримає срібну медаль, тобто чотири, оскільки на перше місце цей вибір не входить. Третій крок - проаналізувати загальні можливості того, хто отримає бронзову медаль, тобто три, оскільки перші два вже обрані.
1-й крок → п’ять можливостей
2 етап → чотири можливості
3 етап → три можливості
Отже, за основним принципом підрахунку ми маємо:
5 · 4 · 3
60 можливостей
Дивіться також: Принцип підрахунку добавок - об'єднання одного або декількох наборів
Факториал
О факторіал це спосіб розкласти натуральне число. Щоб розрахувати факторіал числа, просто помножте його на всіх його попередників аж до числа 1. Факторіал представлений знаком оклику - “!”.
Дивіться кілька прикладів того, як обчислити факторіал деяких чисел.
The) 2! (читається: два факторіали)
Для розрахунку просто помножте число, що супроводжує факторіал, на всіх його попередників аж до числа 1, наприклад, так:
2! = 2 ·1 = 2
Б) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
г) 1! = 1
Формально ми можемо написати факторіал таким чином:
Розглянемо натуральне число n> 2. Факториал n позначається n! і дається множенням n на всі його позитивні цілі попередники.
немає! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Зверніть увагу на такі фактори:
4! і 5!
Тепер виконуємо розробку обох:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Зверніть увагу, що при розробці 5! з'являється розвиток 4!. Тож ми можемо написати 5! таким чином:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Приклад 4
Обчислити факторіал секвити:
Подивіться, що 15! розроблявся до 13!. Також зауважте, що в чисельнику дробу елементи множаться, тож ми можемо “вирізати” 13!, У результаті вийде лише 15 · 14.
Спостереження:0! = 1
Групування типів
Деякі підрахункові завдання складніші та легше вирішуються новими інструментами. Ці інструменти називаються групуванням, оскільки вони по-різному групують елементи, що полегшує процес підрахунку. Це групування: просте розташування, перестановка та проста комбінація.
просте розташування
Розглянемо набір з n різних елементів. назвемо це домовленість від n елементів, взятих з p до p, будь-якої послідовності, упорядкованої p, та різних елементів, вибраних серед елементів.
Таким чином, число підмножин, утворених p елементами, буде розташуванням n елементів, взятих з p на p. Формула, яка дозволяє нам розрахувати кількість домовленостей, подається за формулою:
Приклад 5
Обчисліть значення A4,2 + А5,2.
Щоб обчислити значення виразу, давайте визначимо кожен із масивів, а потім складемо ці значення разом. Щоб визначити значення кожного масиву, ми повинні підставити значення у формулу.
Зверніть увагу, що n = 4 та p = 2, обидва замінено у формулі. Тепер ми повинні обчислити значення масиву з п’яти елементів, взятих по два.
Отже, ми маємо:
THE4,2 + А5,2
12 + 20
32
Приклад 6
Скільки чітких чотирицифрових натуральних чисел можна утворити, використовуючи числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 та 9?
У цій задачі ми можемо використати просте розташування, починаючи з 2435 ≠ 4235. Ми побачимо, що в деяких випадках порядок елементів не диференціює їх, і, отже, ми не можемо використовувати розташування.
Оскільки ми хочемо визначити загальну кількість чисел, які можна утворити, зверніть увагу, що сума елементів дорівнює вісім, і ми хочемо згрупувати їх по чотири по чотири, так:
проста перестановка
Розглянемо множину з n елементами. назвемо це проста перестановка з російських елементів кожне розташування з n елементів, прийнятих n до n. Отже, ми маємо:
Щоб не було плутанини між поняттями, позначимо просту перестановку n елементів через Pнемає. Отже, ми маємо:
Pнемає = n!
Приклад 7
Обчисліть Р7 та Р3.
Щоб обчислити ці перестановки, ми повинні підставити значення у формулу. Подивіться:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Приклад 8
Визначте, скільки анаграм може бути в слові Бразилія.
Ми розуміємо як анаграму всі можливі транспозиції букв цього слова, наприклад, "Lisarb" є a анаграма слова Бразилія. Щоб визначити кількість анаграм, ми повинні обчислити перестановку літер у слові, тому ми повинні:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Отже, слово Бразилія має 720 анаграм.
Також доступ: Перестановка з повторюваними елементами
проста комбінація
Розглянемо множину A з n різними елементами. назвемо це комбінація з n елементів, взятих p на p будь-яка підмножина A, утворена p елементами. Формула для обчислення комбінації подана за формулою:
Приклад 9
Обчисліть комбінацію 10 елементів, взятих від чотирьох до чотирьох.
Приклад 10
Скільки чотирикутники чітко можемо утворити з вершинами в точках A, B, C, D, E і F?
Зверніть увагу, що чотирикутник ABCD у цьому контексті є таким самим, як чотирикутник CDBA, тому нам слід використовувати комбінацію, а не масиви. У нас усього шість балів, і ми хочемо об’єднати їх чотири на чотири, як це:
Отже, ми можемо сформувати 15 різних чотирикутників.
Комбінаторний аналіз та ймовірність
Вивчення ймовірність тісно пов'язана з вивченням комбінаторного аналізу.. У деяких імовірнісних задачах необхідно визначити вибірковий простір, який складається з набору, утвореного всіма можливими результатами даної події.
У деяких випадках пробіл для зразків E пишеться дуже прямо, як у фліпі справедливої монети, де можливими результатами є голови або хвости і позначаються наступним чином:
E = {голови, хвости}
А тепер уявіть наступну ситуацію: плашку кидають три рази поспіль, і ми зацікавлені у визначенні місця для вибірки для цього експерименту. Зауважте, що запис усіх можливостей вже не є простим завданням, нам потрібно використовувати фундаментальний принцип підрахунку (PFC). Захід можна виконати у три етапи, на кожному з них ми маємо шість можливостей, оскільки плашка має шість граней, як це:
1-й етап → шість можливостей
2 етап → шість можливостей
3 етап → шість можливостей
Згідно з PFC, ми маємо, що загальна кількість можливостей:
6 · 6 · 6
216
Тож можна сказати, що пробір цієї події дорівнює 216.
Подивіться, що для вивчення ймовірності це так необхідні базові знання комбінаторного аналізу., оскільки без визначення простору вибірки експерименту неможливо розв’язати переважну більшість вправ на ймовірність. Докладніше про цю область математики прочитайте текст:Імовірність.
розв’язані вправи
питання 1 - Визначте кількість анаграм слова замок. Потім визначте кількість анаграм, починаючи з літери c.
Дозвіл
Щоб визначити кількість анаграм, ми повинні обчислити перестановку кількості букв, наприклад:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Слово має 5040 анаграм. Тепер, щоб визначити кількість анаграм, які починаються на букву с, ми повинні зафіксувати букву і розрахувати анаграму інших, див .:
Ç__ __ __ __ __ __
Коли ми фіксуємо букву c, зверніть увагу, що для обчислення перестановки залишилося шість полів, наприклад:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Отже, ми маємо 720 анаграм слова замок, які починаються на букву с.
питання 2 - У класі є п’ятеро чоловіків та сім жінок. Скільки груп з трьох чоловіків та чотирьох жінок можна сформувати?
Дозвіл
По-перше, переконайтеся, що порядок, в якому ми обираємо людей, не має значення, наприклад, група, сформована Жоао, Маркос і Хосе - це та сама група, яку утворили Маркос, Жоао та Хосе, тому ми повинні використовувати комбінацію для розрахунок.
Давайте розрахуємо окремо кількість груп, які можуть бути сформовані чоловіками та жінками, і в Тоді давайте помножимо ці результати, тому що кожна група чоловіків може змішуватися з кожною групою жінки.
Чоловіки
Всього → 5
Кількість у групі → 3
Жінки
Всього → 7
Кількість у групі → 4
Отже, загальна кількість груп, які можуть утворити троє чоловіків та чотири жінки, становить:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
Робсон Луїс
Вчитель математики
