Поняття обернена матриця дуже наближається до поняття оберненого до числа. Згадаймо, що обернено до числа немає - це число немає-1, де добуток між ними дорівнює нейтральному елементу множення, тобто число 1. Вже оберненою до матриці M є матриця M-1, де виріб M · M-1 дорівнює ідентичності матриці Iнемає, що є не що інше, як нейтральний елемент множення матриць.
Щоб матриця мала обернене значення, вона повинна бути квадратною і, крім того, її визначник повинен відрізнятися від нуля, інакше оберненого не буде. Щоб знайти обернену матрицю, ми використовуємо матричне рівняння.
Читайте теж: Трикутна матриця - особливий тип квадратної матриці
матриця ідентичності
Щоб зрозуміти, що таке обернена матриця, спочатку необхідно знати матрицю тотожності. Ми знаємо як матрицю тотожності квадратну матрицю Iнемає де всі елементи головної діагоналі дорівнюють 1, а інші доданки дорівнюють 0.
THE матриця ідентичності є нейтральним елементом множення між матрицями.
, тобто з урахуванням a штаб M порядку n, добуток між матрицею M і матрицею Iнемає дорівнює матриці М.М · Янемає = М
Як обчислити обернену матрицю
Щоб знайти обернену матрицю M, необхідно вирішити матричне рівняння:
М · М-1 = Янемає
Приклад
Знайдіть обернену матрицю М.
Оскільки ми не знаємо оберненої матриці, давайте представим цю матрицю алгебраїчно:
Ми знаємо, що добуток між цими матрицями повинен дорівнювати I2:
Тепер розв’яжемо матричне рівняння:
Можна розділити проблему на дві частини системи рівняння. Перший використовує перший стовпець матриці M · M-1 і перший стовпець матриці ідентичності. Отже, ми маємо:
Щоб вирішити систему, давайте виділимо21 у рівняння II та підставляють у рівняння I.
Підставивши в рівняння I, ми маємо:
Як ми знаходимо значення a11, тоді ми знайдемо значення a21:
Знаючи значення a21 та11, тепер ми знайдемо значення інших термінів, налаштувавши другу систему:
ізолюючи22 у рівнянні III ми маємо:
3-й12 + 1-й22 = 0
22 = - 3-й12
Підставивши у рівняння IV:
5-й12 + 2-й22 =1
5-й12 + 2 · (- 3-й12) = 1
5-й12 - 6-й12 = 1
- а12 = 1 ( – 1)
12 = – 1
Знаючи значення a12, ми знайдемо значення a22 :
22 = - 3-й12
22 = – 3 · ( – 1)
22 = 3
Тепер, коли ми знаємо всі умови матриці M-1, можна представити це:
Читайте також: Додавання та віднімання матриць
Властивості зворотної матриці
Є властивості, які є результатом визначення оберненої матриці.
- 1-а властивість: обернена до матриці M-1 дорівнює матриці М. Інверсія оберненої матриці завжди є самою матрицею, тобто (M-1)-1 = M, оскільки ми знаємо, що M-1 · М = Янемає, тому М-1 є оберненою до M, а також M є оберненою до M-1.
- 2-а властивість: обернена до матриці ідентичності сама по собі: I-1 = I, оскільки твір матриці ідентичності само по собі приводить до матриці ідентичності, тобто Iнемає · Янемає = Янемає.
- 3-а властивість: обернене до добуток двох матрицьТи дорівнює добутку обернених:
(М × В)-1 = М-1 · A-1.
- 4 властивість: квадратна матриця має обернену тоді і лише тоді, коли її детермінанта відрізняється від 0, тобто det (M) ≠ 0.
Вправи вирішені
1) Дано матриці A і матрицю B, знаючи, що вони є оберненими, тоді значення x + y дорівнює:
а) 2.
б) 1.
в) 0.
г) -1.
д) -2.
Дозвіл:
Альтернатива d.
Побудова рівняння:
A · B = I
За другим стовпцем, дорівнюючи умовам, ми маємо:
3x + 5y = 0 → (I)
2x + 4y = 1 → (II)
Виділення x в I:
Заміна в рівняння II, ми повинні:
Знаючи значення y, ми знайдемо значення x:
Тепер обчислимо x + y:
питання 2
Матриця має обернене лише тоді, коли її визначник відрізняється від 0. Дивлячись на матрицю нижче, які значення x, через які матриця не підтримує обернене значення?
а) 0 і 1.
б) 1 і 2.
в) 2 і - 1.
г) 3 і 0.
д) - 3 і - 2.
Дозвіл:
Альтернатива b.
Обчислюючи визначник A, ми хочемо значення, де det (A) = 0.
det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)
det (A) = x² - 3x + 2
det (A) = x² - 3x + 2 = 0
вирішення Рівняння 2-го ступеня, Ми мусимо:
- a = 1
- b = - 3
- c = 2
Δ = b² - 4ac
Δ = (– 3) ² – 4·1·2
Δ= 9 – 8
Δ = 1
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm