Матриця: що це, типи, операції, приклади

THE штаб він зазвичай використовується для організації табличних даних для полегшення вирішення проблем. Інформація про матрицю, незалежно від того, чисельна вона чи ні, розташована акуратно в рядках і стовпцях.

Набір матриць, оснащений операціями доповнення, віднімання і множення і ознаки як нейтральний та зворотний елемент утворюють математичну структуру, яка дозволяє застосовувати його в різних областях цієї великої галузі знань.

Дивіться теж: Зв'язок між матричною та лінійною системами

Матричне представлення

Перед початком досліджень матриць необхідно встановити деякі позначення щодо їх подань. В матриці завжди представлені великими літерами. (A, B, C…), які супроводжуються індексами, в яких перше число вказує кількість рядків, а друге - кількість стовпців.

THE кількість рядків (горизонтальні ряди) і колонки (вертикальні рядки) матриці визначає її порядок. Матриця A має порядок m по n. Викликається інформація, що міститься в масиві елементів і розташовані в дужках, квадратних дужках або двох вертикальних смугах, див. приклади:

Матриця A має два рядки та три стовпці, тому її порядок дорівнює двом по три → A_2х3.

Матриця B має один рядок і чотири стовпці, тому її порядок один на чотири, так він називається лінійна матриця → B_1x4.

Матриця С має три рядки і один стовпець, і так її називають матриця стовпців і його порядок три на один → C_3x1.

Ми можемо в цілому представляти елементи масиву, тобто ми можемо записати цей елемент, використовуючи математичне представлення. Озагальний елемент буде представлений малими літерами (a, b, c…), і, як і у випадку представлення масивів, він також має індекс, який вказує на його розташування. Перше число вказує на рядок, в якому знаходиться елемент, а друге число вказує на стовпець, в якому він знаходиться.

Розглянемо наступну матрицю A, ми перелічимо її елементи.

Спостерігаючи за першим елементом, який знаходиться в першому рядку та першому стовпці, тобто в першому рядку та першому стовпці, ми маємо число 4. Для того, щоб полегшити написання, ми позначимо його так:

₁₁ → рядок один елемент, стовпець перший

Отже, ми маємо такі елементи матриці A_2х3:

₁₁ = 4

₁₂ =16

₁₃ = 25

₂₁ = 81

₂₂ = 100

₂₃ = 9

Загалом, ми можемо записати масив як функцію його загальних елементів, це - загальна матриця.

Матриця з m рядків і n стовпців представлена:

• Приклад

Визначити матрицю A = [a_ij ]_2x2, який має наступний закон про навчання_ij = j² - 2i. З даних оператора ми маємо, що матриця A має порядок два на два, тобто вона має два рядки і два стовпці, отже:

Крім того, був заданий закон формування матриці, тобто кожен елемент задовольняється відношенням до_ij = j² - 2i. Підставивши значення i і j у формулу, маємо:

₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Отже, матриця A є:

Типи масивів

Деякі матриці заслуговують на особливу увагу, дивіться тепер ці типи масивів з прикладами.

• квадратна матриця

Матриця має квадрат, коли кількість рядків дорівнює кількості стовпців. Ми представляємо матрицю, яка має n рядків і n стовпців через A_немає (читається: квадратна матриця порядку n).

У квадратних матрицях ми маємо два дуже важливі елементи, діагоналі: основна та другорядна. Основна діагональ утворена елементами, що мають рівні індекси, тобто це кожен елемент a_ij з i = j. Вторинну діагональ утворюють елементи a_ij з i + j = n +1, де n - порядок матриці.

• матриця ідентичності

Матриця ідентичності - це квадратна матриця, яка має всітиелементи головної діагоналі дорівнюють 1 та інші елементи дорівнюють 0, законом його формування є:

Позначаємо цю матрицю через I, де n - порядок квадратної матриці, див. Деякі приклади:

• одинична матриця

Це квадратна матриця порядку один, тобто вона має рядок і стовпець і, отже, лише один елемент.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 і С = || 5 ||_1x1

Це приклади одиничних матриць, з акцентом на матриці B, яка є a матриця ідентичності одиниці.

• нульова матриця

Масив називається нульовим, якщо всі його елементи дорівнюють нулю. Представляємо нульову матрицю порядку m по n за O_mxn.

Матриця O дорівнює нулю порядку 4.

• протилежна матриця

Розглянемо дві матриці рівного порядку: A = [a_ij]_mxn і B = [b_ij]_mxn. Ці матриці будуть називатися протилежними тоді і лише тоді, коли_ij = -b_ij. Таким чином, відповідні елементи повинні бути протилежні числа.

Ми можемо представити матрицю B = -A.

• транспонована матриця

Дві матриці A = [a_ij]_mxn і B = [b_ij]_nxm вони є транспонований якщо і лише якщо_ij = b_ji , тобто для заданої матриці A, щоб знайти її транспонування, просто візьміть рядки як стовпці.

Транспонування матриці A позначається A^Т. Див. Приклад:

Побачити більше: Інверсна матриця: що це і як перевірити

Матричні операції

Загальне представлення матриці n x m.

Набір матриць має операції aдуже чітко визначено додавання та множення, тобто, коли ми оперуємо двома або більше матрицями, результат операції все одно належить набору матриць. Однак як щодо операції віднімання? Ми розуміємо цю операцію як обернену до додавання (протилежну матрицю), яка також дуже добре визначена.

Перш ніж визначати операції, давайте розберемося з ідеями відповідний елемент і рівність матриць. Відповідні елементи - це ті, що займають однакові позиції в різних матрицях, тобто вони розташовані в одному рядку та стовпці. Очевидно, що масиви повинні мати однаковий порядок, щоб існували відповідні елементи. Подивіться:

Елементи 14 і -14 є відповідними елементами протилежних матриць A і B, оскільки вони займають одне і те ж положення (однаковий рядок і стовпець).

Дві матриці будуть називатися рівними тоді і лише тоді, коли відповідні елементи рівні. Таким чином, враховуючи матриці A = [a_ij]_mxn і B = [b_ij]_mxn, вони будуть однаковими, якщо і тільки якщо_ij = b_ij для будь-якого i j.

• Приклад

Знаючи, що матриці A і B рівні, визначте значення x і t.

Оскільки матриці A і B рівні, то відповідні елементи повинні бути рівними, отже:

x = -1 і t = 1

• Додавання та віднімання матриць

Операції додавання і віднімання між матрицями вони досить інтуїтивні, але спочатку умова повинна бути виконана. Для виконання цих операцій спочатку необхідно перевірити, що файл порядки масивів рівні.

Після перевірки цієї умови додавання і віднімання матриці відбувається шляхом додавання або віднімання відповідних елементів матриць. Розглянемо матриці A = [a_ij]_mxn і B = [b_ij]_mxn, тоді:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - Б_ij] _mxn

• Приклад

Розглянемо матриці A і B нижче, визначимо A + B і A - B.

Читайте теж: Операції з цілим числом

• Множення дійсного числа на матрицю

Помноження дійсного числа в матриці (також відоме як множення матриці) на скаляр дається множенням кожного елемента матриці на скаляр.

Нехай A = [a_ij]_mxn матриця і t дійсне число, отже:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Див. Приклад:

• Множення матриць

Множення матриць не таке тривіальне, як їх додавання і віднімання. Перед виконанням множення також повинна бути виконана умова щодо порядку матриць. Розглянемо матриці A_mxn та Б_nxr.

Для виконання множення, кількість стовпців у першій матриці має дорівнювати кількості рядків у другій. Матриця добутку (яка походить від множення) має порядок, заданий кількістю рядків у першому та кількістю стовпців у другому.

Щоб виконати множення між матрицями A і B, ми повинні помножити кожен з рядків на всі стовпці наступним чином: перший елемент з A множиться на перший елемент B, а потім додається до другого елемента A і множиться на другий елемент B, і так послідовно. Див. Приклад:

Читайте теж: Теорема Лапласа: знати, як і коли використовувати

Вправи вирішені

питання 1 - (У. І. Лондріна - PR) Нехай матриці A і B будуть відповідно 3 x 4 і p x q, і якщо матриця A · B має порядок 3 x 5, то це правда, що:

а) p = 5 і q = 5

б) p = 4 і q = 5

в) p = 3 і q = 5

г) p = 3 і q = 4

д) p = 3 і q = 3

Рішення

У нас є твердження, що:

THE_3x4 · Б_pxq = С_3x5

З умови множення двох матриць ми маємо, що добуток існує лише в тому випадку, якщо кількість стовпців у першій дорівнює кількості рядків у другій, отже p = 4. І ми також знаємо, що матриця добутку задається кількістю рядків у першому з кількістю стовпців у другому, отже q = 5.

Отже, p = 4 і q = 5.

A: Альтернатива b

Питання 2 - (Vunesp) Визначте значення x, y та z на такій рівності, залучивши 2 x 2 дійсних матриці.

Рішення

Давайте виконаємо операції між масивами, а потім рівність між ними.

Щоб визначити значення x, y та z, ми розв’яжемо лінійну систему. Спочатку додамо рівняння (1) та (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

х = 2

Підставивши значення x, знайдене в рівнянні (3), маємо:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

І нарешті, підставивши значення x і z, знайдені в рівнянні (1) або (2), маємо:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Отже, розв’язання задачі дається через S = {(2, 0, 2)}.

Робсон Луїс
Вчитель математики