THE фінансова математика є одним із напрямків математики, відповідальним за вивчення явища, пов’язані з фінансовим світом. Крім того, вивчення їхніх концепцій є дуже важливим, оскільки у нашому повсякденному житті вони стають дедалі більше більше подарунків, наприклад, коли ми отримуємо знижку при купівлі чогось готівкою або додаткову суму при купівлі чогось розстрочку.
Вивчення фінансової математики вимагає попереднього знання процент, ми побачимо, що всі концепції базуються на цій темі.
Читайте також:Розрахунок відсотків за правилом трьох
Для чого потрібна фінансова математика?
Фінансова математика використовується щодня, наприклад, коли ми збираємося здійснити покупку готівкою, а продавець пропонує a знижка 5% від вартості товару, або коли ми вирішимо придбати продукт у розстрочку, і, в цьому процесі, a процентна ставка з часом він виставляється рахунку покупцеві.
Називається приклад важливості розуміння понять фінансової математики ліміт овердрафту. При відкритті рахунку в певному банку пропонуються «зайві» гроші, наприклад, для надзвичайних ситуацій. Однак при використанні цього ліміту або його частини, крім взятих грошей, стягується збір, який потрібно буде сплатити пізніше. Ця ставка називається відсотковою, і, краще розуміючи ці концепції, ми можемо розробити кращу стратегію управління нашими фінансами.
Приклад 1
Людині потрібно 100 реалів, щоб закінчити оплату щомісячних рахунків, проте вся їх зарплата вже витрачена на інші рахунки. В ході аналізу ця людина виявила, що у неї є два варіанти.
Варіант 1 - Використовуйте ліміт овердрафту, запропонований банком, у розмірі 0,2% на день, який потрібно сплатити протягом одного місяця.
Варіант 2 - Отримайте 100 реалів від друга за ставкою 2% на місяць, яку потрібно заплатити протягом двох місяців.
Використовуючи лише відсотки знань, давайте розберемо найкращий варіант.
аналізуючи варіант 1, зверніть увагу, що ставка 0,2% стягується на день, тобто щодня додається 0,2% від суми позики, наприклад:
Як позику потрібно виплатити за один місяць, і враховуючи місяць з 30 днів, сума відсотків, що підлягає сплаті, становить:
0,2 ·30
6
Таким чином, ми можемо зробити висновок, що сума, яку потрібно сплатити наприкінці місяця, становить:
100 + 6= 106 реалів
100 → Сума, надана банком
6 → Сума відсотків
Зараз аналізуємо варіант 2, збір, який стягується, становить 2% на місяць і повинен бути сплачений протягом двох місяців, тобто щомісяця 2% від позиченої суми додається до боргу, наприклад:
Зверніть увагу, що до суми боргу потрібно додавати 2 реалі на місяць:
2 · 2 = 4
Отже, сума, яку потрібно сплатити в кінці періоду, становить:
100+ 4 = 104 реалі
100 → Сума, запозичена другом
4 → Сума відсотків
Отже, можна зробити висновок, що найкращий варіант - взяти гроші з другом. Це просто і важливо застосування фінансової математикиЗвичайно, є більш складні проблеми, інструменти та концепції, але, як і все інше в житті, перед тим, як зрозуміти складну частину, необхідно зрозуміти основи.
Основи фінансової математики
Основні поняття фінансової математики включають попередні знання про відсотки. Далі ми побачимо такі поняття, як додавання, знижка, прості відсотки та складні відсотки.
доповнення
Ідея доповнення пов'язана з додати або додати частину вартості до початкової вартості, тобто ми додаємо до себе відсоток певної величини. Див. Приклад:
Приклад 2
Товар коштував 35 реалів, із збільшенням долара він збільшився на 30%. Визначте нове значення для цього товару.
Часто, коли ми робимо обчислення, пов’язані з додаванням, вони виконуються неправильно, записуючи:
35 + 30%
Відсоток представляє частину чогось, тому, щоб цей рахунок був правильним, спочатку потрібно обчислити 30% від початкового значення, в даному випадку 35. Отже:
35 + 30% з 35
Спочатку вирішивши відсоток, а потім додавши значення, нам доведеться:
Отже, з додаванням вартість у продукті становитиме 45,5 реалів (сорок п’ять реалів і п’ятдесят центів).
Взагалі кажучи, ми можемо вивести a формула додавання. Розглянемо значення x, і воно зазнає збільшення на p%. Відповідно до того, що ми щойно визначили, ми можемо написати це доповнення наступним чином:
x + p% від x
Розвиваючи цей вираз, нам доведеться:
Давайте повторимо приклад 2, використовуючи наведену вище формулу. Зверніть увагу, що x = 35 і приріст склав 30%, тобто p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Зверніть увагу, що було отримано одне і те ж значення, і можна використовувати таку формулу.
Дивіться також: Обернено пропорційні величини
Знижка
Ідея знижки схожа на ідею додавання, єдина відмінність полягає в тому, що замість додавання ми повинні відняти відсоток від початкової суми.
Приклад 3 - Товар, вартість якого 60 реалів, при придбанні готівкою має знижку 30%. Визначте нове значення для цього товару.
Подібно до додавання, нам доведеться:
Аналогічно доповненню, ми можемо вивести a формула знижки. Розглянемо значення x і воно зазнає знижки в p%. Відповідно до того, що ми визначили, ми можемо написати це доповнення наступним чином:
x - p% від x
Розвиваючи цей вираз, нам доведеться:
Давайте повторимо приклад 3, використовуючи наведену вище формулу, зауважимо, що x = 60 і збільшення становило 30%, тобто p = 30%.
x · (1 - 0,01p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Побачте, що, використовуючи формулу, ми отримали однаковий результат, тож у знижці ми також маємо два варіанти її визначення.
простий інтерес
Ідея простий інтерес це також схожа на ідею додавання, різниця між ними дається періодом, за який вони обчислюються. Хоча ставка доплати застосовується один раз, проста процентна ставка є обчислюється в інтервалі часу. Ми можемо розрахувати простий відсоток даного капіталу C, що застосовується за даною ставкою за простим відсотковим режимом (i), за певний період часу t формула:
J = C · i · t
Сума, виплачена в кінці цієї інвестиції, повинна бути вказана за гроші, додані плюс сума відсотків, і називається сумою (М). Сума дається виразом:
М = С + J
М = С + C · i · t
M = C (1 + це)
Єдине занепокоєння, яке ми повинні мати стосовно проблем, пов'язаних із простими інтересами, це проблема швидкість і одиниці виміру часу, вони завжди повинні бути в рівних одиницях.
Приклад 4
Марта хоче інвестувати 6000 доларів у компанію, яка обіцяє отримувати 20% прибутку на рік за режиму простих відсотків. У контракті, укладеному Мартою, зазначено, що вона може зняти гроші лише через шість місяців, визначаючи, якою буде повернення її грошей наприкінці цього періоду.
Спостерігаючи за твердженням, переконайтеся, що капітал дорівнює 6000, отже, маємо С = 6000. Процентна ставка становить 20% на рік, а гроші будуть вкладені протягом півроку. Зверніть увагу, що ставка була вказана в році, а час у місяцях, і ми знаємо, що одиниця виміру для обох повинна бути однаковою. Давайте знайдемо щомісячну плату, див .:
Ми знаємо, що ставка становить 20% на рік, оскільки рік має 12 місяців, тому щомісячна ставка буде такою:
20%: 12
1,66% на місяць
0,016 на місяць
Замінюючи ці дані у формулі, ми маємо:
J = C · i · t
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 реалів
Отже, сума, яку потрібно зняти наприкінці шести місяців, становить 576 реалів, а сума:
М = 6000 + 576
М = 6576 реалів
читати далі: Розуміння використання a çалькулятор fфінансові
Складені відсотки
З простих відсотків, величина процентної ставки завжди обчислюється поверх початкового капіталу, різниці між ці дві системи (прості та складені відсотки) якраз у цей момент, тобто в тому, як ставка розрахований. У складі відсотків, процентна ставка завжди обчислюється поверх основного боргу попереднього місяця, це змушує відсоток збільшувати свою вартість у геометричній прогресії. THE формула для розрахунку відсотків у системі складеної амортизації відсотків визначається:
M = C · (1 + i)т
Про те, що М - накопичена сума, Ç - вартість початкового капіталу, i - процентна ставка, вказана у відсотках, та т - це період, в який капітал вкладався в систему. Як і у випадку з простими відсотками, у системі складених відсотків ставка та час повинні бути в одній одиниці.
Приклад 5
Обчисліть суму суми, яку Марта збирала б наприкінці шести місяців, застосовуючи свої 6000 реалів за процентною ставкою 20% на рік у системі складених відсотків.
(Дано: 1.20,5 ≈ 1,095)
Зверніть увагу, що дані такі самі, як у прикладі 4, тому ми повинні:
С = 6000
i = 0,2 п.а.
t = 0,5 року
Замінюючи дані у формулі складеного відсотка, ми маємо:
М = 6000 · (1 + 0,2)0,5
М = 6000 · (1,2)0,5
М = 6000 · 1095
М = 6572,67 реалів
Отже, сума, яку Марта повинна зняти за простою процентною системою, становить 6572, 67 реалів. Зверніть увагу, що сума в системі складених відсотків більша, ніж у системі простих процентів, і це відбувається у всіх випадках. Щоб краще зрозуміти, як розраховується ця ставка, відвідайте: Збори çпротилежнийти.
розв’язані вправи
питання 1 - (FGV - SP) Капітал, що застосовується до простих відсотків за ставкою 2,5% на місяць, потроюється на:
а) 75 місяців
б) 80 місяців
в) 85 місяців
г) 90 місяців
д) 95 місяців
Дозвіл
Альтернатива Б.
Ми повинні знайти час, коли відсотки дорівнюють 2С, оскільки при такому відсотку разом із початково застосованим капіталом С ми матимемо суму 3С (потрійний капітал). Отже:
J = 2C; C = C; i = 2,5% на місяць; t =?
J = C · i · t
2C = C · 0,025 · t
Таким чином, час потроєння цього капіталу становить 80 місяців.
Примітка: 80 місяців дорівнює 6,6 років.
питання 2 - Після того, як товар зазнав зростання на 24%, його ціна змінилася до 1041.60 реалів. Визначте кількість перед додаванням.
Дозвіл
Ми можемо використовувати загальну формулу додавання для визначення вартості товару перед додаванням.
x · (1 + 0,01p)
У формулі значення x - це те, що ми шукаємо, а p - значення додавання, і цей вираз дає нам значення продукту після додавання, отже:
1041.60 = x · (1 + 0,01p)
1041.60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041.60 = x · (1 + 0.24)
1041.60 = x · 1.24
Побачимо, що у нас є рівняння першого ступеня, для його розв’язання ми повинні відокремити невідомий х, розділивши обидві сторони рівності на 1,24, або, просто, пройти ділення 1,24. Отже:
Тому вартість товару до додавання становила 840 реалів.
Робсон Луїс
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm