Багатокутники є картинки плоска геометрія і закритий утворений прямі відрізки. Багатокутники поділяються на дві групи, опуклі та не опуклі. Коли багатокутник має всі сторони рівними, а отже, і всі кути внутрішній рівний, це багатокутник регулярні. Правильні багатокутники можна назвати за кількістю їх сторін.
Дивіться також: Побудова обмежених багатокутників
Елементи багатокутника
Багатокутник - це плоска, замкнута фігура, утворена об’єднанням кінцевого числа відрізків прямої лінії. Отже, розглянемо будь-який багатокутник:
Точки A, B, C, D, E, F, G і H є вершини багатокутника і утворюються при зустрічі сегментів AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH і HA, звані сторони багатокутника.
Сегменти AF, AE, AD та BG - це діагоналі багатокутника. (Зверніть увагу, що це кілька прикладів діагоналей, у попередньому багатокутнику їх є більше.) Діагоналі - це відрізки лінії, які «з’єднують» вершини багатокутника.
Номенклатура багатокутника
Ми можемо назвати багатокутники відповідно до їх кількість сторін. Дивіться назву основних багатокутників у таблиці нижче.
Кількість сторін (n) |
Номенклатура |
3 |
трикутник |
4 |
чотирикутник |
5 |
Пентагон |
6 |
Шестикутник |
7 |
Семикутник |
8 |
Восьмикутник |
9 |
Еннеагон |
10 |
Десятикутник |
11 |
Недекагон |
12 |
Дванадцятикутник |
15 |
Пентадекагон |
20 |
Ікосагон |
Зверніть увагу, що не потрібно прикрашати стіл, а розуміти його. За винятком трикутника та чотирикутника, словотвір є:
Кількість сторін + гоно
Наприклад, коли ми маємо багатокутник п'ять сторін, автоматично запам'ятовувати префікс пента плюс суфікс gono: Пентагон.
Приклад
Визначте назву наступного багатокутника:
класифікація багатокутників
Полігони класифікуються за міра ваших кутів і сторони. Багатокутник називають рівностороннім, коли він має конгруентні сторони, тобто всі сторони рівні; і він буде називатися рівнокутником, коли він має конгруентні кути, тобто всі рівні кути.
Якщо багатокутник рівносторонній і рівнокутний, то це буде a правильний многокутник.
У кожному правильному многокутнику центр знаходиться на однаковій відстані з боків, тобто він рівновіддалений від сторін. Центр багатокутника - це також центр кола, вписаного в багатокутник, тобто окружність яка знаходиться «всередині» окружності.
Детальніше: Подібність багатокутника: подивіться, які умови
Сума внутрішніх кутів багатокутника
Будьте тимi внутрішнім кутом правильного n-гранного многокутника, ми будемо представляти суму цих внутрішніх кутів через Si.
Таким чином, сума внутрішніх кутів визначається:
si = (n - 2) · 180 °
Щоб обчислити значення кожного внутрішнього кута, просто візьміть суму внутрішніх кутів і розділіть на кількість сторін, тобто:
i = si
немає
Приклад 1
Визначте суму внутрішніх кутів, а потім міру кожного внутрішнього кута ікосагона.
Ми знаємо, що в ікосагона двадцять сторін, отже n = 20. Замінивши у відносинах, ми маємо:
si = (n - 2) · 180 °
si = (20 - 2) · 180°
si = 18 · 180°
si = 3240°
Тепер, щоб визначити значення кожного внутрішнього кута, просто розділіть знайдене значення на кількість сторін:
i = 3240°
20
i = 162°
Приклад 2
Сума внутрішніх кутів правильного многокутника дорівнює 720 °, знайдіть многокутник.
Замінюючи інформацію формули у формулі, маємо:
720 ° = (n - 2) · 180 °
720 ° = 180n - 360 °
180n = 720 ° + 360 °
180n = 1080 °
n = 1080°
180°
n = 6 сторін
Таким чином, бажаним многокутником є шестикутник.
Сума зовнішніх кутів многокутника
Сума зовнішніх кутів многокутника завжди дорівнює дорівнює 360 °.
sі = 360°
і = sі
немає
і = 360°
немає
Діагоналі багатокутника
Розглянемо багатосторонній багатокутник. Для визначення кількості діагоналей (d) ми використовуємо такий взаємозв'язок:
d = n · (n - 3)
2
Приклад
Визначте кількість діагоналей у п’ятикутнику та складіть їх графіком.
Ми знаємо, що п’ятикутник має п’ять сторін, отже n = 5. Підставивши вираз, ми маємо:
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
Площа та периметр багатокутників
О периметр багатокутників визначається знаком сума з усіх боків. Площа багатокутника обчислюється шляхом ділення багатокутника на фігури, які легше обчислити площу, наприклад, трикутник і квадрат.
THEΔ = основа · висота
2
THEплоща = основа · висота
Приклад
Визначте математичний вираз, який представляє площу правильного шестикутника.
Рішення:
Спочатку розглянемо правильний шестикутник та всі відрізки прямих, що з’єднують центр багатокутника з кожною вершиною. Отже:
Зверніть увагу, що через те, що шестикутник правильний, при його діленні ми знаходимо шість трикутники рівносторонніх, тож площа шестикутника в шість разів перевищує площу рівностороннього трикутника, тобто:
THEшестикутник = 6 · АΔ
THEшестикутник = 6 · л2 · √3
4
THEшестикутник = 3 · л2 · √3
2
THEшестикутник = 3 · л2·√3
2
Читайте також:площа рівностороннього трикутника
розв’язані вправи
питання 1 - (Енем) Басейн має форму правильного багатокутника, внутрішній кут якого в три з половиною рази перевищує зовнішній кут. Яка сума внутрішніх кутів багатокутника, форма якого така ж, як у цього басейну?
а) 1800 °
б) 1620-й
в) 1440 °
г) 1260 °
д) 1080 °
Рішення
Оскільки ми не знаємо кількість сторін многокутника, давайте уявимо лише одну з вершин цього багатокутника.
Зі зображення видно, що:
i +і = 180 ° (I)
З твердження ми маємо, що:
i = 3,5 · аі (II)
Підставивши рівняння (II) у рівняння (I), нам доведеться:
3,5 · аі +і = 180°
4,5 · аі = 180°
і = 180°
4,5
і = 40°
Однак ми знаємо, що внутрішній кут - це поділ 360 ° на кількість сторін многокутника. Отже:
і = 360°
немає
40° = 360°
немає
40n = 360 °
n = 360°
40°
n = 9
Отже, сума внутрішніх кутів басейну є:
si = (n - 2) · 180 °
si = (9 - 2) · 180°
si = 7 · 180°
si = 1260°
Робсон Луїс
Вчитель математики