Перестановки є частиною задач підрахунку. Ми використовуємо перестановки, щоб знати кількість порядків елементів у наборі. Практикуйте свої знання про перестановку та розв’яжіть свої сумніви за допомогою розв’язаних вправ.
Вправа 1
Двоє друзів гралися шестигранними кубиками. Відомо, що номери 4, 1, 2 і 5 вийшли, не обов'язково в такому порядку. Скільки могло бути послідовностей результатів?
Відповідь: 24
Деякий порядок результатів може бути таким:
1, 2, 4 і 5 або
5, 4, 5 і 1 або
4, 5, 1 і 2
Щоб визначити загальну кількість можливих порядків, ми обчислюємо перестановку з чотирма різними елементами.
Вправа 2
Група з шести друзів пішла дивитися фільм у кінотеатр і купила квитки на той самий ряд місць. Враховуючи, що є пара, і вони сиділи на сусідніх стільцях, скількома способами ці друзі могли розміститися в ряду стільців?
Відповідь: 240
Оскільки всі елементи множини «друзів» враховуються в обчисленні, це проблема перестановки.
Щоб обчислити загальну можливу кількість перестановок, ми розглянули 5 елементів, оскільки пара завжди повинна бути разом.
Крім того, з цих 120 можливостей ми повинні помножити на два, оскільки пара може помінятися місцями один з одним.
Таким чином, кількість можливих способів для друзів розміститися в ряду стільців така:
120. 2 = 240
Вправа 3
Клас із 7 учнів грається на подвір’ї на перерві. Почувши сигнал про повернення до класів, учні стають у шеренгу. Скількома різними способами студенти можуть сформувати послідовність черги?
Відповідь: 5040
Загальна кількість можливих способів організації черги є перестановкою 7 різних елементів.
Вправа 4
Фотограф налаштовує камеру, щоб сфотографувати 5 дітей, які сиділи на лавці. У цій групі 3 дівчинки та 2 хлопчика. Можливе розташування дітей на фото:
Враховуючи положення, в яких діти можуть сидіти на лавці, скількома способами фотограф може організувати хлопчиків і дівчаток, отримуючи різні фото?
Відповідь: 10
Це випадок перестановки з повторюваними елементами. Ми повинні розділити загальну кількість перестановок на добуток між перестановками елементів, які повторюються.
Вправа 5
Скільки анаграм можна скласти з букв у слові PREFEITURA?
Відповідь: 907 200
У слові МІСЬКА 10 букв, деякі з яких повторюються. Літера E з’являється двічі, як і R.
Ми обчислюємо ділення між перестановками 10 елементів і ділимо на добуток перестановок повторюваних елементів.
Вправа 6
(UEMG 2019) З набору всіх перестановок букв у слові PONTA навмання вилучається одна. Яка ймовірність вилучення слова, яке починається і закінчується голосною?
а) 1/20
б) 1/10
в) 1/6
г) 1/5
Крок 1: кількість усіх перестановок з літерами слова PONTA.
Оскільки є п’ять різних букв, ми маємо:
Крок 2: кількість перестановок, які починаються і закінчуються голосною.
Для першої літери є два варіанти голосних, для останньої літери буде лише 1.
Для приголосних їх 3! можливості.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Крок 3: визначити відношення ймовірностей.
Вправа 7
(EsPCex 2012) Імовірність отримання числа, що ділиться на 2, при випадковому виборі однієї з перестановок цифр 1, 2, 3, 4, 5 становить
а) 1/5
б) 2/5
в) 3/4
г) 1/4
д) 1/2
Крок 1: сумарні перестановки.
Оскільки є п’ять різних елементів, ми маємо, що кількість перестановок 5 елементів дорівнює 5 факторіалу.
Крок 2: перестановки чисел, що діляться на два з п'ятьма цифрами.
Щоб ділитися на 2, необхідно, щоб воно було парним. Таким чином, є два варіанти останньої цифри, 2 і 4.
На інші позиції 4! можливості.
Крок 3: ймовірнісний розрахунок.
Вправа 8
(EsFCEx 2022) Нехай P — набір перестановок послідовності 1, 3, 6, 9, 12, для яких перший член відрізняється від 1. Якщо одну з цих послідовностей взяти випадковим чином, ймовірність того, що другий член дорівнює 3, дорівнює p/q, де p, q ∈ IN* і gcd (p, q) = 1. Отже, q – p дорівнює
а) 13.
б) 15.
в) 12.
г) 14.
д) 11.
Крок 1: визначити загальну кількість можливих випадків у просторі вибірки.
Справа наліво перше число не може бути одиницею, тому є 4 можливості зайняти перше місце.
Є 4, щоб зайняти інші позиції! можливості.
Перестановки такі:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Крок 2: визначити можливості виникнення події, причому другої є три, а перша відрізняється від однієї.
Перестановки такі:
3.1.3.2.1 = 18
Крок 3: співвідношення ймовірностей.
Відношення ймовірностей:
З p = 18 і q = 96.
Однак все ще існує умова, що найбільший спільний дільник між p і q дорівнює 1, чого немає з 18 і 96.
Ми повинні спростити та перевірити дроби, еквівалентні 18/96.
Крок 4: спрощення частки ймовірності та визначення p і q.
Оскільки НОД (3, 16) = 1, p = 3 і q = 16.
Крок 5: висновок.
q - p = 16 - 3 = 13
Дізнайтеся більше про перестановка.
Більше вправ див.
Вправи на комбінаторний розбір
ASTH, Рафаель. Вправи на перестановку розв’язані та пояснені.Все має значення, [n.d.]. Доступний у: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Доступ за адресою:
Дивіться теж
- Комбінаторний аналіз
- Вправи на комбінаторний аналіз
- Перестановка: проста і з повторенням
- Розстановка в математиці: що це таке, як обчислити, приклади
- 27 Базові вправи з математики
- Комбінація в математиці: як обчислити та приклади
- Вправи на ймовірність
- Ймовірність