обчислити факторіал числа має сенс лише тоді, коли ми працюємо з натуральними числами. Ця операція досить поширена в Росії комбінаторний аналіз, полегшуючи обчислення компонувань, перестановок, комбінацій та інших проблем, пов’язаних з підрахунком. Факториал є представлений символом “!”. Ми визначаємо це як n! (російський факторіал) до множення n на всіх попередників поки не досягнете 1. немає! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Читайте також: Фундаментальний принцип підрахунку - основна концепція комбінаторного аналізу
Що таке факторіал?
Факториал - це дуже важлива операція для вивчення та розвитку комбінаторного аналізу. У математиці число, за яким слідує знак оклику (!) відомий як факторіал, наприклад x! (х факторіал).
Ми знаємо як факторіал a натуральне число множення цього числа на попередників, крім нуля, тобто:
немає! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Примітно, що, щоб ця операція мала сенс, n - натуральне число, тобто ми не обчислюємо факторіал від’ємного чи навіть десяткового числа чи дробів.
факторіальний розрахунок
Щоб знайти факторіал числа, просто обчисліть добуток. Також зверніть увагу, що факторіал - це операція, яка, коли збільшити значення n, результат також значно збільшиться.
Приклади:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
За визначенням ми маємо:
0! = 1
1! = 1
Факторні операції
Для вирішення факторіальних операцій важливо бути обережним, щоб не допустити помилок. Коли ми збираємося додавати, віднімати або множити два множники, необхідно обчислити кожен з них окремо. Тільки підрозділ має конкретні способи спрощення. Не помиляйтесь, виконуючи операцію та зберігаючи факторіал, або для додавання і віднімання, або для множення.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Вирішуючи будь-яку з цих операцій, ми повинні обчислити кожен з факторів.
Приклади:
а) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
б) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
в) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Дивіться також: Як розв’язати рівняння з факторіалом?
Факторне спрощення
Розподіли досить періодичні. У формулах комбінація, розташування та перестановки з повторенням, ми завжди будемо вдаватися до спрощення для вирішення проблем, пов’язаних з факторіалом. Для цього виконаймо кілька кроків.
Приклад:
1-й крок: визначте найбільший з факторіалів - у цьому випадку це 8! Тепер, дивлячись на знаменник, який дорівнює 5!, давайте запишемо множення 8 на його попередників, поки не дійдемо до 5 !.
Факториал числа n, тобто n!, можна переписати як множення n на k!. Таким чином,
немає! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, тож давайте перепишемо 8! як множення з 8 на 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Тож давайте перепишемо причину як:
2-й крок: після переписування причина, можна спростити чисельник зі знаменником, оскільки 5! він є і в чисельнику, і в знаменнику. Після спрощення просто виконайте множення.
Приклад 2:
Комбінаторний та факторний аналіз
При виконанні при подальшому дослідженні в комбінаторному аналізі факториал числа завжди з’являється. Основні угрупування в комбінаторному аналізі, які є перестановкою, комбінуванням та розташуванням, використовують у своїх формулах факторіал числа.
Перестановка
THE перестановка та впорядкування всіх елементів набору. Для обчислення перестановки вдаємось до факторіалу, оскільки перестановка n елементів обчислюється за формулою:
Pнемає = n!
Приклад:
Скільки анаграми ми можемо будувати з назвою HEITOR?
Це типова проблема перестановки. Оскільки в назві 6 букв, для обчислення кількості можливих анаграм просто обчисліть P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Також доступ: Перестановка з повторюваними елементами: як її вирішити?
Домовленості
Обчислити домовленостей це також вимагає засвоєння факторіалу числа. Аранжування, як і перестановка, є формуванням переупорядкування. Різниця в тому, в аранжуванні ми переупорядковуємо частину набору, тобто ми хочемо знати, скільки можливих впорядкувань ми можемо сформувати, вибравши кількість k з них встановити з n елементами.
Приклад:
У компанії є 6 кандидатів на керівництво установою, а двоє будуть обрані на посади директора та заступника директора. Скільки можливих результатів, знаючи, що вони будуть обрані голосуванням?
У цьому випадку ми обчислимо розташування 6, взятих із 2 на 2, оскільки є 6 кандидатів на дві вакансії.
Комбінація
У поєднанні, як і в інших, необхідно засвоїти факторіал числа. Визначаємо як комбінацію ти підмножини набору. Різниця полягає в тому, що в поєднанні немає переупорядкування, оскільки порядок не важливий. Отже, ми обчислюємо, скільки підмножин з k елементами ми можемо сформувати у наборі з n елементів.
Приклад:
Для представлення класу буде обрано комісію з 3 студентів. Скільки комісій можна сформувати, знаючи, що є 5 кандидатів?
Читайте також: Композиція чи комбінація?
Вправи вирішені
Питання 1 - Про факторіал числа судіть наступні твердження.
I). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
А) Тільки я правдивий.
Б) Тільки II відповідає дійсності.
В) Тільки III правда.
Г) Істинні лише I і II.
Д) Тільки II та II істинні.
Дозвіл
Альтернатива А.
I) Правда.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Помилковий.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Помилковий.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Питання 2 - (UFF) Чи еквівалентний товар 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2?
А) 20: 2
Б) 2 · 10!
В) 20: 210
Г) 210· 10!
Д) 20!: 10!
Дозвіл
Альтернатива D.
Переглядаючи добуток усіх парних чисел від 2 до 20, ми знаємо, що:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Тож ми можемо переписати як 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики