ти комплексні числа виникають внаслідок необхідності вирішення проблеми рівняння що мають від'ємне число корінь, яку до того часу було неможливо вирішити, працюючи з дійсними числами. Комплексні числа можна представити трьома способами: а алгебраїчна форма (z = a + bi), що складається з реальної частини і уявна частина B; Геометрична форма, представлений у складній площині, також відомій як площина Арганда-Гауса; і ваш тригонометрична форма, також відомий як полярна форма. На основі їх подання, оскільки ми працюємо з числовим набором, складні числа мають чітко визначені операції: додавання, віднімання, множення, ділення та потенціювання.
Через геометричне представлення в комплексній площині ми також визначаємо модуль (представлений |z|) комплексного числа - це відстань від точки, що представляє комплексне число, до початку координат - і який аргумент комплексне число - це кут, утворений між горизонтальною віссю та доріжкою, яка з'єднує початок координат з точкою, що представляє число складний.
потреба в комплексних числах
У математиці розширення числового набору до нового набору протягом історії було чимось досить звичним. Так трапляється, що в процесі цього математика склалася, а потім і задовольнити потреби часу, було помічено, що існували числа, які не належали до числового набору, до якого він посилався. Ось так було з появою числові множини цілих чисел, раціональних, ірраціональних і дійсних, і нічим не відрізнялося, коли виникала потреба розширити набір дійсних чисел до комплексних чисел.
Коли ми намагаємось вирішити квадратні рівняння, досить часто ми зустрічаємо квадратний корінь з від’ємного числа, яку неможливо розв’язати у множині дійсних чисел, звідси і необхідність комплексних чисел. На початку вивчення цих чисел отримали внески від таких важливих математиків, як Джиральмо Кардоно, але їх набір був оформлений Гаусом та Аргандом.
Читайте також: Геометричне зображення суми комплексних чисел
алгебраїчна форма комплексного числа
При спробі розв'язати квадратне рівняння, таке як x² = –25, часто говорили, що воно нерозв'язне. Однак, намагаючись алгебризувати, алгебраїчне подання, що дає можливість виконувати операції з цими числами, навіть якщо ви не можете обчислити квадратний корінь з від’ємного числа.
Для полегшення вирішення ситуацій, у яких ви працюєте з квадратний корінь від'ємного числа, уявна одиниця.
Отже, аналізуючи представлене рівняння x² = -25, маємо, що:
Таким чином, рішення рівняння дорівнюють -5i e5i.
Для визначення алгебраїчної форми, лист я, відомий як уявна одиниця комплексного числа. Комплексне число представлено:
z = + Bi
Про те, що і B є дійсними числами.
The: реальна частина, позначена a = Re (z);
B: уявна частина, позначена Im (z);
i: уявна одиниця.
Приклади
The) 2 + 3i
Б) -1 + 4i
ç) 5 – 0,2i
г) -1 – 3i
коли реальна частина - нуль, номер відомий як чисто уявний, наприклад, -5i та 5i вони є чистими уявниками, бо не мають реальної частини.
Коли уявна частина нульова, комплексне число також є дійсним числом.
Операції з комплексними числами
Як і будь-який числовий набір, операції повинні бути чітко визначені, отже, можна виконати чотири основні операції комплексних чисел з урахуванням представленої алгебраїчної форми.
Додавання двох комплексних чисел
Для проведення доповнення двох комплексних чисел z1 ez2, додамо дійсну частину z1 ez2 і суми уявної частини відповідно.
Будьте:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)i
Приклад 1
Реалізація суми z1 та z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)i
z1 +z2= 3 + 5i
Приклад 2
Реалізація суми z1 та z2.
z1 = 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)i
z1+z2 = (5 – 3) + 0i
z1 +z2= 3 + 0i = 3
Дивіться також: Геометричне зображення суми комплексних чисел
Віднімання двох комплексних чисел
Перш ніж поговорити про віднімання, нам потрібно визначити, що таке обернене до комплексного числа, тобто z = a + bi. Інверсія z, представлена –z, є комплексним числом –z = –a –bi.
Щоб виконати віднімання між z1та -z2, а також на додаток, ми зробимо віднімання між дійсними частинами та між уявними частинами окремо, але необхідно розуміти, що -z2 це обернене до комплексного числа, що змушує грати в гру зі знаками.
Приклад 1
Виконання віднімання z1 та z2.
z1 = 2 + 3i
z2 = 1 + 2i
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)i
z1–z2= 1 + 1i = 1+ i
Приклад 2
Виконання віднімання z1 та z2.
z1= 5 – 2i
z2 = – 3 + 2i
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)i
z1–z2= (5 + 3) + (–4)i
z1 –z2= 8 + (–4)i
z1 –z2= 8 –4i
Уявні сили одиниць
Перш ніж говорити про множення, нам слід зрозуміти силу уявної одиниці. У пошуках методу обчислення потужностей iнемає, необхідно усвідомлювати, що ці сили поводяться циклічно. Для цього давайте обчислимо деякі потенції в i.
Виявляється, наступні сили - це не що інше, як його повторення, зауважте, що:
i 4 = i 2 · i 2 = (–1) (–1) = 1
i 5 = i 2 · i 3 = (–1) (–i) = i
Поки ми продовжуємо обчислювати потужності, відповіді завжди будуть елементами множини {1, i, –1, -i}, а потім знайти потужність блоку iнемає, ми поділимо n (показник ступеня) на 4, а відпочинокцього підрозділу (р = {0, 1, 2, 3}) буде новим показником i.
Приклад1
Розрахунок i25
Коли ми ділимо 25 на 4, фактор буде 6, а залишок буде дорівнює 1. Отже, ми маємо:
i 25 = i1 = i
Приклад 2
Розрахунок i 403
Коли ми ділимо 403 на 4, фактор буде рівним 100, тому що 100 · 4 = 400, а решта буде 3, тому ми повинні:
i 403 =i 3 = -і
Множення комплексних чисел
Щоб виконати множення двох комплексних чисел, застосуємо розподільне майно. Будьте:
z1= a + bi
z2= c + di, то продукт:
z1 · z2 = (a + bi) (c + di), застосовуючи розподільче майно,
z1 · z2 = змінна + рекламаi + cbi + bdi 2, але, як ми вже бачили, i ² = -1
z1 · z2 = змінна + рекламаi + cbя - bd
z1 · z2= (змінне значення – bd) + (ad + cb)i
Використовуючи цю формулу, можна знайти добуток будь-яких двох комплексних чисел, але в a Загалом, його не потрібно прикрашати, оскільки для відповідного розрахунку ми просто застосовуємо властивість розподільний.
Приклад
Розрахунок добутку (2 + 3i) (1 – 4i):
(2+3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i– 12i ², пам’ятаючи про це i² = -1:
(2 + 3i) (1 – 4i) = 2 – 8i + 3i+ 12
(2 + 3i) (1 – 4i) = (2 + 12) + (– 8 + 3)i
(2+3i) (1 – 4i) = 14 – 5i
Також доступ: Складання чисел, віднімання та множення чисел
Спряжена складне число
Перш ніж говорити про ділення, нам слід зрозуміти, що таке сполучена складне число. Концепція проста, знайти спряжену комплексного числа просто обмінюватимос знак уявної частини.
ділення двох комплексних чисел
Для проведення ділення двох комплексних чисел, нам потрібно помножити дріб на сполучену знаменник, щоб добре визначити, що є дійсною, а що уявною частиною.
Приклад
Розрахунок ділення на (6 - 4i): (4 + 2i)
Дивіться також: Протилежність, спряжена і рівність комплексних чисел
Складна площина або площина Аргана-Гауса
Відомий як складний план або Планrgand-Гаус, він дозволяє подання в геометричній формі комплексного числа, цей план є адаптацією в Декартовий літак для представлення комплексних чисел. Горизонтальна вісь відома як реальна частина осі Re (z), а вертикальна вісь відома як вісь уявної частини Im (z). Отже, комплексне число, представлене a + bi генерує точки в комплексній площині, утворені впорядкованою парою (a, b).
Приклад
Уявлення числа 3 + 2i у геометричній формі Z (3,2).
Модуль та аргумент комплексного числа
Модулем комплексного числа, геометрично, є відстань від точки (a, b) що представляє це число в комплексній площині до походження, тобто точка (0,0).
Як бачимо, | z | - гіпотенуза прямокутний трикутник, отже, його можна обчислити, застосовуючи Теорема Піфагора, тому ми маємо:
Приклад:
Розрахунок модуля z = 1 + 3i
О аргумент комплексного числа, геометрично, є кут утворені горизонтальною віссю та | z |
Щоб знайти значення кута, нам потрібно:
Мета - знайти кут θ = arg z.
Приклад:
Знайдіть аргумент комплексного числа: z = 2 + 2i:
Оскільки a і b додатні, ми знаємо, що цей кут знаходиться в першому квадранті, тож давайте обчислимо | z |.
Знаючи | z |, можна обчислити синус і косинус.
Оскільки в цьому випадку a і b дорівнюють 2, то, коли ми обчислимо sinθ, ми знайдемо той самий розв'язок для косинуса.
Знаючи значення sinθ та cosθ, проаналізувавши таблицю помітних кутів та знаючи це θ належить першому квадранту, тому θ можна знайти в градусах або радіанах, тому ми робимо висновок що:
Тригонометрична або полярна форма
Подання комплексного числа в тригонометрична форма це можливо лише після того, як ми зрозуміємо поняття модуля та аргументу. На основі цього подання розробляються важливі концепції для вивчення комплексних чисел на більш просунутому рівні. Для виконання тригонометричного подання ми запам’ятаємо його алгебраїчну форму z = a + bi, однак, аналізуючи комплексну площину, ми повинні:
Підставивши в алгебраїчній формі значення a = | z | cos θ і b = | z | sen θ, ми повинні:
z = a + bi
З z = | z | cos θ + | z | senθ я, ставлення | z | на підтвердження ми приходимо до формули тригонометричної форми:
z = | z | (cos θ + i · Гріх θ) |
Приклад: Напишіть у тригонометричній формі число
Щоб писати в тригонометричній формі, нам потрібні аргумент і модуль z.
1-й крок - Розрахунок | z |
Знаючи | z |, можна знайти значення θ, звернувшись до таблиці помітних кутів.
Тепер можна записати число z у його тригонометричній формі з кутом у градусах або з кутом, виміряним у радіанах.
Читайте також: Випромінювання комплексних чисел у тригонометричній формі
Вправи вирішені
Питання 1 - (UFRGS) Враховуючи комплексні числа z1 = (2, –1) та z2 = (3, x), відомо, що добуток між z1 та z2 є дійсним числом. Отже, x дорівнює:
а) -6
б) -3/2
в) 0
г) 3/2
д) 6
Дозвіл
Альтернатива D.
Щоб добуток був дійсним числом, тоді уявна частина дорівнює нулю.
Пишучи ці числа в алгебраїчній формі, ми повинні:
z1 = 2 – 1i та z2 = 3 + хi
z1 · Z2 = (2 – 1i) (3 + хi)
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3я - хi ²
z1 · Z2 = 6 + 2xi –3i + х
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)i
Оскільки наш інтерес полягає в тому, щоб уявна частина дорівнювала нулю, то ми вирішимо для 2x - 3 = 0
Питання 2 - (UECE) Якщо i - комплексне число, квадрат якого дорівнює -1, тоді значення 5i 227 + i 6 – i 13 це те саме, що:
The) i + 1
б) 4i –1
в) -6i –1
г) -6i
Дозвіл
Альтернатива C.
Для розв’язання цього виразу необхідно знайти залишок кожного з чисел, поділених на 4.
227: 4 дає частку 56 і залишок 3.
i 227 = i 3 = –i
6: 4 призводить до частки 1 та залишку 2.
i 6 = i 2 = –1
13: 4 призводить до частки 3 та залишку 1.
i 13 = i1 = i
Отже, ми маємо:
5i 227 + i 6 – i 13
5 (–i) + (–1) – i
–5i –1 – i
–6i – 1
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm