THE числова послідовність, як випливає з назви, це послідовність чисел і зазвичай має закон повторення, що дозволяє передбачити, якими будуть наступні умови знайомство зі своїми попередниками. Ми можемо збирати числові послідовності з різними критеріями, такими як послідовність парних чисел або послідовність чисел ділиться на 4, послідовність простих чисел, послідовність досконалих квадратів, нарешті, є кілька можливостей послідовностей числові.
Коли ми ранжуємо послідовність за кількістю термінів, послідовність може бути кінцевою або нескінченною. Коли ми класифікуємо послідовність щодо поведінки термінів, ця послідовність може бути висхідний, низхідний, коливальний або постійний. Існують особливі випадки послідовностей, які відомі як арифметичні прогресії та геометричні прогресії.
Читайте також: Як розрахувати sома термінів a арифметична прогресія?
Підсумок послідовності чисел
Числова послідовність - це не що інше, як послідовність чисел.
-
Кілька прикладів числової послідовності:
послідовність парних чисел (0,2,4,6,8…);
послідовність натуралів менше 6 (1, 2, 3, 4, 5);
послідовність простих чисел (2,3,5,7,11,…).
Закон формування прогресії - це правило, яке регулює цю послідовність.
-
Послідовність може бути кінцевою або нескінченною.
Кінцевий: коли у вас обмежена кількість термінів.
Нескінченний: коли у вас необмежена кількість термінів.
-
Послідовність може бути зростаючою, невіруючою, постійною або коливається.
Півмісяць: коли термін завжди менший за його наступника.
За спаданням: коли термін завжди більший за його наступника.
Постійна: коли термін завжди дорівнює своєму наступнику.
Коливальний: коли є терміни, більші та менші за його наступника.
Існують особливі випадки послідовності, відомі як арифметична прогресія або геометрична прогресія.
Закон появи послідовності чисел
Ми знаємо як числову послідовність будь-яка послідовність, утворена числами. Зазвичай ми демонструємо послідовності, перелічуючи їх терміни, укладені в дужках і розділені комою. Цей список відомий як закон появи послідовності чисел.
(The1, a2, a3, …, Анемає)
1 → 1-й доданок послідовності
2 → 2-й доданок послідовності
3 → 3-й доданок послідовності
немає → n-й доданок послідовності
Давайте розглянемо кілька прикладів нижче.
Приклад 1:
Закон появи послідовності чисел кратні з 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Приклад 2:
Закон появи послідовності прості числа:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Приклад 3:
Закон виникнення ціле негативний:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Приклад 4:
Послідовність непарних чисел менше 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Читайте також: Які властивості непарних і парних чисел?
Класифікація числових послідовностей
Існує два різних способи класифікації рядка. Перший з них щодо суми термінів, спосіб, в якому послідовність може бути кінцевою або нескінченною. Інший спосіб класифікації послідовностей - щодо їх поведінки. У цьому випадку їх класифікують як зростаючі, зменшувальні, постійні або коливальні.
Класифікація за сумою термінів
→ скінченна числова послідовність
Послідовність скінчена, коли вона має обмежену кількість термінів.
Приклади:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ нескінченна послідовність чисел
Послідовність нескінченна, коли вона має необмежену кількість термінів.
Приклади:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Рейтинг поведінки
→ Послідовність за зростанням числа
Послідовність зростаюча коли будь-який термін завжди менший за його наступника послідовно.
Приклади:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Послідовність спадання чисел
Послідовність спадає коли будь-який термін завжди більший за його наступника послідовно.
Приклади:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ послідовність числових чисел
Послідовність є постійною, коли всі терміни в послідовності однакові:
Приклади:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Коливальна послідовність чисел
Послідовність коливається коли є терміни більші, а терміни менші що їхні наступники в послідовності:
Приклади:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Закон про формування послідовностей чисел
Деякі послідовності можуть бути описані a формула, яка генерує ваші умови. Ця формула відома як закон утворення. Ми використовуємо закон утворення, щоб знайти будь-який термін у послідовності, коли ми знаємо його поведінку.
Приклад 1:
Наступна послідовність утворена ідеальні квадрати:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Ми можемо описати цю послідовність за законом утворення:
немає = (n - 1) ²
n → номер терміна
немає → термін посади немає
За допомогою цієї формули можна дізнатися, наприклад, термін, який займає номер 10 у послідовності:
10 = ( 10 – 1) ²
10 = 9²
10 = 81
Приклад 2:
Перелічіть терміни послідовності, законом утворення якої єнемає = 2n - 5.
Для переліку ми знайдемо перші терміни в послідовності:
1-й термін:
немає = 2n - 5
1 = 2·1 – 5
1 = 2 – 5
1 = – 3
2-й термін:
немає = 2n - 5
2 = 2·2 – 5
2 = 4 – 5
2 = – 1
3-й термін:
немає = 2n - 5
3 = 2·3 – 5
3 = 6 – 5
3 = 1
4-й термін:
немає = 2n - 5
4 = 2·4 – 5
4 = 8 – 5
4 = 3
5-й термін:
5 = 2n - 5
5 = 2·5 – 5
5 = 10 – 5
5 = 5
Отже, послідовність така:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Дивіться також: Римські числа — числова система, яка використовує літери для представлення значень і величин
Арифметична прогресія та геометрична прогресія
Вони існують особливі випадки послідовностей які відомі як арифметична прогресія та геометрична прогресія. Послідовність - це прогресія, коли є причина для терміна для її наступника.
арифметична прогресія
Коли ми знаємо перший доданок у послідовності і, щоб знайти другий,додаємо перший до значення р і щоб знайти третій доданок, ми додаємо другий до цього ж значення. р, і так далі, рядок класифікується як a арифметична прогресія.
Приклад:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Це арифметична прогресія відношення, рівного 4, і першого доданка, рівного 1.
Зверніть увагу, що для того, щоб знайти наступника числа в послідовності, просто додайте 4, тому ми говоримо, що 4 - причина цієї арифметичної прогресії.
Геометрична прогресія
В геометрична прогресія, також є причина, але в цьому випадку щоб знайти наступника терміна, ми повинні помножити термін на відношення.
Приклад:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Це геометрична прогресія відношення, що дорівнює 3, а перший доданок дорівнює 2.
Зверніть увагу, що для пошуку наступника числа в цій послідовності просто помножте на 3, що робить відношення цієї геометричної прогресії 3.
Вправи вирішеніпро послідовність чисел
Питання 1 - Аналізуючи послідовність (1, 4, 9, 16, 25, ...), можна сказати, що наступні два числа будуть:
А) 35 і 46.
Б) 36 і 49.
В) 30 і 41.
Г) 41 і 66.
Дозвіл
Альтернатива Б.
Щоб знайти умови послідовності, важливо знайти закономірність у послідовності, тобто зрозуміти закон її появи. Зверніть увагу, що від першого до другого члена ми додаємо 3; з другого на третій доданок додаємо 5; з третього на четвертий доданок і з четвертого на п’ятий доданок додаємо відповідно 7 і 9, тож сума збільшується на два одиниць до кожного члена послідовності, тобто в наступному, ми додамо 11, потім 13, потім 15, потім 17 і так далі послідовно. Щоб знайти наступника 25, додамо 11.
25 + 11 = 36.
Щоб знайти наступника 36, додамо 13.
36 + 13 = 49
Тож наступними умовами будуть 36 та 49.
Питання 2 - (Інститут AOCP) Далі подається числова послідовність, така, щоб елементами цієї послідовності були розташовані підпорядковуючись (логічному) закону утворення, де x і y - цілі числа: (24, 13, 22, 11, 20, 9, х, у). Спостерігаючи за цією послідовністю та знаходячи значення x та y, дотримуючись закону утворення даної послідовності, правильно стверджувати, що
А) х - число, більше 30.
Б) y - число менше 5.
В) сума x та y призводить до 25.
Г) добуток х і у дає 106.
E) різниця між y та x у такому порядку є додатним числом.
Дозвіл
Альтернатива C.
Ми хочемо знайти 7 і 8 член цієї послідовності.
Аналізуючи закон появи послідовності (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), можна побачити, що існує логіка для непарних доданків (1 член, 3 член, 5 член... ). Зверніть увагу, що 3-й доданок дорівнює 1-му доданку мінус 2, оскільки 24 - 2 = 22. Використовуючи ту саму логіку, 7-й доданок, представлений x, буде 5-м доданком мінус 2, тобто x = 20 - 2 = 18.
Існує подібна логіка щодо парних доданків (2-й член, 4-й член, 6-й член ...): 4-й член - це 2-й доданок мінус 2, оскільки 13 - 2 = 11 тощо. Ми хочемо 8-й доданок, представлений y, що буде 6-м доданком мінус 2, отже, y = 9 - 2 = 7.
Отже, маємо x = 18 та y = 7. Аналізуючи альтернативи, маємо, що x + y = 25, тобто сума x і y дає 25.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm
