THE модульним рівнянням є a рівняння що в першому або другому члені має терміни в модулі. Модуль, також відомий як абсолютна величина, пов’язаний з відстанню, яку має число до нуля. Оскільки ми говоримо про відстань, модуль числа завжди позитивний. Розв’язування задач модульного рівняння вимагає застосування визначення модуля, ми зазвичай ділимо рівняння на два можливі випадки:
коли те, що знаходиться всередині модуля, є позитивним і
коли те, що знаходиться всередині модуля, від’ємне.
Читайте також: У чому різниця між функцією та рівнянням?
один модуль дійсних чисел
Для того, щоб мати змогу розв’язувати задачі модульного рівняння, необхідно пам’ятати визначення модуля. Модуль завжди такий самий, як відстань числа до нуля, і представляти модуль числа немає, ми використовуємо пряму смужку наступним чином: |немає|. Для розрахунку |немає|, ми розділили на два випадки:
Тому можна сказати, що |немає| це ж немає коли це додатне число або дорівнює нулю, а, у другому випадку, |немає| дорівнює протилежності
немає якщо вона негативна. Пам’ятайте, що протилежність від’ємному числу завжди позитивна, тому |немає| завжди має результат, рівний додатному числу.Приклади:
а) | 2 | = 2
б) | -1 | = - (- 1) = 1
Дивіться також: Як розв’язати логарифмічне рівняння?
Як вирішити модульне рівняння?
Щоб знайти рішення модульного рівняння, необхідно проаналізувати кожну з можливостей, тобто розділити, завжди в двох випадках, кожен з модулів. Окрім знання визначення модуля, для вирішення модульних рівнянь, важливо знати, як вирішити поліноміальні рівняння.
Приклад 1:
| х - 3 | = 5
Щоб знайти рішення цього рівняння, важливо пам’ятати, що є два можливі результати, які дають |немає| = 5, це вони, немає = -5, оскільки | -5 | = 5, а також немає = 5, оскільки | 5 | = 5. Отже, використовуючи цю саму ідею, ми маємо:
I → x - 3 = 5 або
II → x - 3 = -5
Вирішуючи одне з рівнянь окремо:
Дозвіл I:
х - 3 = 5
x = 5 + 3
х = 8
Резолюція II:
х - 3 = -5
x = -5 + 3
х = -2
Отже, є два рішення: S = {-2, 8}.
Зверніть увагу, що якщо x = 8, рівняння відповідає дійсності, оскільки:
| х - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Також зверніть увагу, що якщо x = -2, рівняння також відповідає дійсності:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Приклад 2:
| 2x + 3 | = 5
Як і в прикладі 1, для пошуку рішення необхідно розділити його на два випадки, відповідно до визначення модуля.
I → 2x + 3 = 5
II → 2х + 3 = -5
Дозвіл I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Резолюція II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
х = -8/2
х = -4
Тоді встановити рішень: S = {1, -4}.
Приклад 3:
| х + 3 | = | 2x - 1 |
Коли ми маємо рівність двох модулів, нам потрібно розділити її на два випадки:
1-й випадок, перший і другий член одного знака.
2-й випадок, перший і другий член протилежних знаків.
Дозвіл I:
Ми зробимо дві сторони більшими за нуль, тобто просто видалимо модуль. Ми також можемо поводитися з обома негативами, але результат буде однаковим.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2х - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
х = 4
Резолюція II:
Сторони протилежних знаків. Ми виберемо одну сторону позитивною, а іншу - негативною.
Вибір:
| х + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Отже, ми маємо:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
х = -2/3
Отже, набір рішень такий: S = {4, -2/3}.
Також доступ: Що таке ірраціональні рівняння?
Вправи вирішені
Питання 1 - (UFJF) Кількість негативних розв’язків модульного рівняння | 5x - 6 | = x² дорівнює:
А) 0
Б) 1
В) 2
Г) 3
Д) 4
Дозвіл
Альтернатива Е
Ми хочемо вирішити модульне рівняння:
| 5x - 6 | = x²
Отже, поділимо це на два випадки:
Дозвіл I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Отже, ми маємо:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Пам'ятайте, що значення дельти говорить нам, скільки рішень має квадратне рівняння:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Оскільки 1 додатне, то в цьому випадку є два реальних рішення.
Резолюція II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Оскільки Δ і в цьому випадку додатне, то існує два реальних рішення, тож загальна кількість реальних рішень становить 4.
Питання 2 - (PUC SP) Набір рішень S рівняння | 2x - 1 | = x - 1 дорівнює:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
В) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Дозвіл
Альтернатива A
Дозвіл I:
| 2x - 1 | = 2х - 1
Отже, ми маємо:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Резолюція II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1-1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
х = 2/3
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm
