Метод завершення квадрата

Серед способів знайти числове значення x процес, також відомий як знайти корені рівняння або знайти розв’язок рівняння, виділяються: Формула Баскари це процес заповнення квадратів. Останнє є акцентом сьогоднішнього тексту.

Кількість розв’язків рівняння задається його ступенем. Отже, рівняння першого ступеня мають лише одне рішення, рівняння третього ступеня мають три рішення і квадратні рівняння мають два рішення, які також називаються коренями..

Рівняння другого ступеня в їх скороченому вигляді можна записати наступним чином:

сокира² + bx + c = 0

метод завершення квадрата

У цьому випадку квадратне рівняння є ідеальним квадратним триномом

Рівняння другого ступеня, отримані в результаті чудового продукту, відомі як ідеальний трикутник квадрата. Щоб знайти його коріння, ми використаємо метод, наведений нижче.

Приклад: Обчисліть корені x рівняння² + 6x + 9 = 0.

Зверніть увагу, що коефіцієнт b дорівнює 6 = 2 · 3. Щоб написати його у вигляді чудового добутку, просто перевірте, чи c = 3², що відповідає дійсності, оскільки 3² = 9 = с. Таким чином, ми можемо написати:

х² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0

Зверніть увагу, що помітним добутком є ​​добуток між двома рівними многочленами. У випадку цього рівняння ми матимемо:

(x + 3)² = (x + 3) (x + 3) = 0

Продукт дорівнює нулю лише тоді, коли один із його факторів дорівнює нулю. Отже, для (x + 3) (x + 3) = 0 необхідно, щоб (x + 3) = 0 або (x + 3) = 0. Звідси два рівні результати для рівняння x² + 6x + 9 = 0, які є: x = - 3 або x = - 3.

Коротко: розв’язати рівняння x² + 6x + 9 = 0, напишіть:

х² + 6x + 9 = 0

(x + 3)² = 0

(x + 3) (x + 3) = 0

x = - 3 або x = - 3

У цьому випадку квадратне рівняння не є ідеальним квадратним триномом

Рівняння секунди, в якому коефіцієнт b і коефіцієнт c не відповідають встановленим вище співвідношенням, не є ідеальним квадратним триномом. У цьому випадку метод вирішення, виділений вище, може бути використаний з додаванням декількох кроків. Зверніть увагу на такий приклад:

Приклад: Обчисліть корені x рівняння² + 6x - 7 = 0.

Зверніть увагу, що це рівняння не є ідеальним квадратним триномом. Для цього ми можемо використовувати такі операції:

Зверніть увагу, що b = 2 · 3, тож у першому елементі вираз, який повинен з’явитися, є x² + 6x + 9, оскільки в цьому виразі b = 2 · 3 і c = 3².

Для цього "перетворення" додайте 3² над двома членами цього рівняння "передайте" - 7 другому члену, виконайте можливі операції та спостерігайте за результатами:

х² + 6x - 7 + 3² = 0 + 3²

х² + 6x + 3² = 3² + 7

х² + 6x + 9 = 9 + 7

х² + 6x + 9 = 16

(x + 3)² = 16

√ (x + 3)² = √16

x + 3 = 4 або x + 3 = - 4

Цей останній крок потрібно розділити на два рівняння, оскільки корінь 16 може бути 4 або - 4 (це відбувається лише в рівняннях. Якщо запитати, що таке корінь із 16, відповідь - лише 4). Отже, необхідно знайти всі можливі результати. Продовження:

x + 3 = 4 або x + 3 = - 4

x = 4 - 3 або x = - 4 - 3

x = 1 або x = - 7

У цьому випадку коефіцієнт "а" не дорівнює 1

Попередні випадки призначені для квадратних рівнянь, де коефіцієнт "а" дорівнює 1. Якщо коефіцієнт "a" відрізняється від 1, просто розділіть усе рівняння на значення "a" і продовжуйте обчислення так само, як і в попередньому випадку.

Приклад: Обчисліть 2x корені² + 16x - 18 = 0

Зверніть увагу, що a = 2. Тож розділіть все рівняння на 2 та спростіть результати:

2x² + 16x – 18 = 0
 2 2 2 2

х² + 8x - 9 = 0

Після цього повторіть процедури попереднього випадку.

х² + 8x - 9 = 0

х² + 8x - 9 + 16 = 0 + 16

х² + 8x + 16 = 9 + 16

(x + 4)² = 25

√ (x + 4)² = √25

x + 4 = 5 або x + 4 = –5

x = 5 - 4 або x = - 5 - 4

x = 1 або x = - 9

Визначні продукти та рівняння другого ступеня: походження методу завершення квадрата

Квадратні рівняння дуже схожі на чудові добутки сума квадрат і квадрат різниці.

Наприклад, сума в квадраті - це сума двох одночленів у квадраті. Дивитися:

(x + k)² = х² + 2kx + k²

Перший член вищевказаної рівності відомий як чудовий продукт а другий як ідеальний трикутник квадрата. Останнє дуже нагадує рівняння другого ступеня. Дивитися:

Ідеальний квадратний тричлен: х² + 2kx + k²

Рівняння другого ступеня: сокира² + bx + c = 0

Таким чином, якщо є якийсь спосіб записати квадратне рівняння як чудовий добуток, можливо, є також спосіб знайти ваші результати без необхідності використовувати формулу Баскара.

Для цього зауважте, що у зазначеному вище продукті a = 1, b = 2 · k та c = k². Таким чином, можна написати рівняння, які відповідають цим вимогам, у вигляді чудового добутку.

Тож подивіться на коефіцієнти в рівнянні. Якщо "a" відрізняється від 1, розділіть усе рівняння на значення "a". В іншому випадку дотримуйтесь коефіцієнта "b". Числове значення половини цього коефіцієнта має дорівнювати числовому значенню квадратного кореня коефіцієнта "с". Математично, враховуючи рівняння ax² + bx + c = 0, якщо a = 1 і додатково:

B = c
2

Отже, ви можете написати це рівняння так:

сокира² + bx + c = (x + B) = 0
2

І його коріння буде - Б і + b.
2 2

Звідси вся теорія, що використовується для обчислення коренів квадратних рівнянь методом заповнення квадратів.

Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику

Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm