Практикуйте свої знання про лінійні системи, важливу тему математики, яка включає вивчення одночасних рівнянь. Маючи багато практичних застосувань, вони використовуються для вирішення проблем, пов’язаних із різними змінними.
Усі питання вирішуються крок за кроком, де ми будемо використовувати різні методи, такі як: заміна, додавання, виключення, масштабування та правило Крамера.
Питання 1 (спосіб підстановки)
Визначте впорядковану пару, яка розв’язує наступну систему лінійних рівнянь.
Відповідь:
Виділення x у першому рівнянні:
Підставляючи x у друге рівняння:
Підставляємо значення у в перше рівняння.
Отже, впорядкована пара, яка розв’язує систему:
Питання 2 (метод шкалування)
Розв’язком такої системи лінійних рівнянь є:
Відповідь: x = 5, y = 1, z = 2
Система вже є ешелонованою. Третє рівняння має два нульові коефіцієнти (y = 0 і x = 0), друге рівняння має нульовий коефіцієнт (x = 0), а третє рівняння не має нульових коефіцієнтів.
У ешелонній системі ми розв’язуємо «знизу вверх», тобто починаємо з третього рівняння.
Переходячи до верхнього рівняння, ми підставляємо z = 2.
Нарешті, ми підставляємо z = 2 і y = 1 у перше рівняння, щоб отримати x.
Рішення
x = 5, y = 1, z = 2
Запитання 3 (Правило або метод Крамера)
Розв’яжіть таку систему лінійних рівнянь:
Відповідь: x = 4, y = 0.
Використання правила Крамера.
Крок 1: визначити визначники D, Dx і Dy.
Матриця коефіцієнтів має вигляд:
Його визначальний фактор:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Для обчислення Dx ми замінюємо стовпець доданків x на стовпець незалежних доданків.
Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
Для обчислення Dy ми замінюємо члени y незалежними членами.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0
крок 2: визначити x і y.
Щоб визначити x, ми робимо:
Щоб визначити y, ми робимо:
питання 4
Продавець футболок і кепок на спортивному заході продав 3 футболки та 2 кепки, зібравши загалом 220,00 реалів. Наступного дня він продав 2 футболки та 3 кепки, зібравши 190,00 реалів. Якою буде ціна футболки і шапки?
a) Футболка: 60,00 бразильських реалів | Шапка: 40,00 бразильських реалів
b) футболка: 40,00 бразильських реалів | Максимальна вартість: 60,00 бразильських реалів
c) футболка: 56,00 бразильських реалів | Кепка: 26,00 бразильських реалів
d) футболка: 50,00 бразильських реалів | Максимальна вартість: 70,00 бразильських реалів
e) футболка: 80,00 бразильських реалів | Максимальна вартість: 30,00 бразильських реалів
Позначимо ціну футболок c і ціну головних уборів b.
За перший день маємо:
3c + 2b = 220
На другий день маємо:
2c + 3b = 190
Складемо два рівняння з двома невідомими c і b. Отже, ми маємо систему лінійних рівнянь 2x2.
роздільна здатність
Використання правила Крамера:
1-й крок: визначник матриці коефіцієнтів.
2-й крок: визначник Dc.
Замінюємо стовпець c на матрицю незалежних членів.
3-й крок: визначник Db.
4-й крок: визначити значення c і b.
Відповідь:
Ціна футболки становить 56,00 реалів, а кепки — 26,00 реалів.
питання 5
Кінотеатр стягує 10,00 R$ за квиток для дорослих і 6,00 R$ за квиток для дітей. За один день було продано 80 квитків, а загальна сума збору склала 700 реалів. Скільки квитків кожного типу було продано?
a) Дорослі: 75 | Діти: 25
б) Дорослі: 40 | Діти: 40
c) Дорослі: 65 | Діти: 25
d) Дорослі: 30 | Діти: 50
д) Дорослі: 25 | Діти: 75
Назвемо це так The ціна квитка для дорослих і w для дітей.
По відношенню до загальної кількості квитків маємо:
a + c = 80
Щодо отриманого значення маємо:
10a + 6c = 700
Складемо систему лінійних рівнянь з двома рівняннями і двома невідомими, тобто систему 2х2.
роздільна здатність
Скористаємося методом підстановки.
Виділення a в першому рівнянні:
а = 80 - с
Підставляючи a у друге рівняння:
10.(80 - c) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
Підставляючи c у друге рівняння:
6a + 10c = 700
6а+10. 25 = 700
6y + 250 = 700
6а = 700 - 250
6а = 450
а = 450/6
а = 75
питання 6
Магазин продає футболки, шорти та взуття. У перший день було продано 2 футболки, 3 шорти та 4 пари взуття на загальну суму 350,00 реалів. На другий день було продано 3 футболки, 2 шорти та 1 пара взуття на загальну суму 200,00 реалів. На третій день було продано 1 футболку, 4 шорти та 2 пари взуття на загальну суму 320,00 реалів. Скільки коштували б футболка, шорти і пара взуття?
a) Футболка: 56,00 бразильських реалів | Бермудські острови: 24,00 R$ | Взуття: 74,00 BRL
b) футболка: 40,00 бразильських реалів | Бермудські острови: 50,00 бразильських реалів | Взуття: 70,00 бразильських реалів
c) футболка: 16,00 бразильських реалів | Бермудські острови: 58,00 R$ | Взуття: 36,00 бразильських реалів
d) футболка: 80,00 бразильських реалів | Бермудські острови: 50,00 бразильських реалів | Взуття: 40 бразильських реалів
e) футболка: 12,00 бразильських реалів | Бермудські острови: 26,00 R$ | Взуття: 56,00 бразильських реалів
- c – ціна сорочок;
- b – ціна шортів;
- s — ціна взуття.
За перший день:
2c + 3b + 4s = 350
На другий день:
3c + 2b + s = 200
На третій день:
c + 4b + 2s = 320
Ми маємо три рівняння та три невідомих, що утворюють систему лінійних рівнянь 3x3.
Використання правила Крамера.
Матриця коефіцієнтів є
Його визначник D = 25.
Стовпець матриці відповідей:
Щоб обчислити Dc, ми замінюємо стовпець матриці відповідей на перший стовпець у матриці коефіцієнтів.
dc = 400
Для розрахунку Db:
Db = 1450
Для розрахунку Ds:
Ds = 900
Щоб визначити c, b і s, ми ділимо визначники Dc, Db і Ds на головний визначник D.
питання 7
Ресторан пропонує три варіанти страв: м'ясо, салат і піцу. У перший день було продано 40 м’ясних страв, 30 салатів і 10 піц на загальну суму 700,00 реалів. На другий день було продано 20 м’ясних страв, 40 салатів і 30 піц на загальну суму 600,00 реалів. На третій день було продано 10 м’ясних страв, 20 салатів і 40 піц на загальну суму 500,00 реалів. Скільки буде коштувати кожна страва?
a) м'ясо: 200,00 бразильських реалів | салат: 15,00 R$ | піца: 10,00 бразильських реалів
б) м'ясо: 150,00 бразильських реалів | салат: 10,00 бразильських реалів | піца: 60,00 бразильських реалів
c) м'ясо: 100,00 BRL | салат: 15,00 R$ | піца: BRL 70.00
d) м'ясо: 200,00 BRL | салат: 10,00 R$ | піца: 15,00 бразильських реалів
e) м'ясо: 140,00 BRL | салат: 20,00 R$ | піца: 80,00 бразильських реалів
Використовуючи:
- в для м'яса;
- s для салату;
- p для піци.
Першого дня:
У другий день:
На третій день:
Ціну кожної страви можна отримати, розв’язавши систему:
роздільна здатність
Використання методу елімінації.
Помножте 20c + 40s + 30p = 6000 на 2.
Відніміть друге отримане матричне рівняння з першого.
У наведеній вище матриці ми замінюємо це рівняння другим.
Ми помножимо третє рівняння вище на 4.
Віднімаючи третє з першого рівняння, отримуємо:
Підставивши отримане рівняння на третє.
Віднімаючи рівняння два і три, ми маємо:
З третього рівняння ми отримуємо p = 80.
Підставляючи p у друге рівняння:
50 с + 50,80 = 5000
50 + 4000 = 5000
50 = 1000
s = 1000/50 = 20
Підставляючи значення s і p в перше рівняння:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000 - 600 - 800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Рішення
p=80, s=20 і c=140
питання 8
(УЕМГ) У плані лад являє собою пару ліній
а) збігається.
б) різні і паралельні.
в) паралельні прямі в точці ( 1, -4/3 )
г) паралельні лінії в точці ( 5/3, -16/9 )
Множення першого рівняння на два та додавання двох рівнянь:
Підставляючи x у рівняння A:
питання 9
(PUC-MINAS) Певна лабораторія надіслала 108 замовлень до аптек A, B та C. Відомо, що кількість замовлень, надісланих до аптеки B, у два рази перевищує загальну кількість замовлень, надісланих до двох інших аптек. Крім того, три замовлення, більше ніж половина суми, надісланої в аптеку A, були відправлені в аптеку C.
Виходячи з цієї інформації, ПРАВИЛЬНО стверджувати, що загальна кількість замовлень, надісланих до аптек B і C, становила
а) 36
б) 54
в) 86
г) 94
Відповідно до заяви маємо:
A + B + C = 108.
Крім того, кількість B була вдвічі більшою, ніж A + C.
B = 2 (A + C)
В аптеку С відправлено три замовлення, більше половини кількості відправлено в аптеку А.
C = A/2 + 3
Маємо рівняння і три невідомих.
Використання методу підстановки.
Крок 1: замініть третій на другий.
Крок 2: Підставте отриманий результат і третє рівняння в перше.
Крок 3: Підставте значення A, щоб визначити значення B і C.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
Для C:
Крок 4: додайте значення B і C.
72 + 14 = 86
питання 10
(UFRGS 2019) Таким чином, система лінійних рівнянь можливо і визначено, необхідно і достатньо, щоб
а) a ∈ R.
б) а = 2.
в) а = 1.
г) а ≠ 1.
в) а ≠ 2.
Одним із способів класифікувати систему як можливу та визначити є метод Крамера.
Умовою цього є відмінність визначників від нуля.
Дорівнюючи нулю визначник D головної матриці:
Щоб дізнатися більше про лінійні системи:
- Лінійні системи: що це таке, типи та способи вирішення
- Системи рівнянь
- Масштабування лінійних систем
- Правило Крамера
Для додаткових вправ:
- Системи рівнянь 1-го ступеня
ASTH, Рафаель. Вправи на розв’язані лінійні системи.Все має значення, [n.d.]. Доступний у: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Доступ за адресою:
Дивіться теж
- Лінійні системи
- Масштабування лінійних систем
- Системи рівнянь
- 11 вправ на множення матриць
- Рівняння другого степеня
- Вправи на нерівність
- 27 Базові вправи з математики
- Правило Крамера
