симетрична матриця є штаб в якому кожен елемент \(a_{ij}\) дорівнює елементу \(a_{ji}\) для всіх значень i і j. Отже, кожна симетрична матриця дорівнює її транспонуванню. Варто також згадати, що кожна симетрична матриця є квадратною і що головна діагональ діє як вісь симетрії.
Читайте також:Матричне додавання і віднімання — як обчислити?
Реферат про симетричну матрицю
У симетричній матриці \(a_{ij}=a_{ji}\) для всіх i і j.
Кожна симетрична матриця є квадратною.
Кожна симетрична матриця дорівнює її транспонуванню.
Елементи симетричної матриці симетричні відносно головної діагоналі.
Поки в симетричній матриці \(a_{ij}=a_{ji}\) для всіх i і j; в антисиметричній матриці, \(a_{ij}=-a_{ji}\) для всіх i і j.
Що таке симетрична матриця?
Симетричною матрицею є квадратна матриця, де \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) для кожного i і кожного j. Це означає що \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)і так далі для всіх можливих значень i і j. Пам'ятайте, що можливі значення i відповідають рядкам матриці, а можливі значення j відповідають стовпцям матриці.
Приклади симетричних матриць
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Приклади несиметричних матриць (розглянемо \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Важливо: Сказати, що матриця не є симетричною, означає це показати \(a_{ij}≠a_{ji}\) принаймні для деяких i та j (у чому ми можемо переконатися, порівнюючи попередні приклади). Це відрізняється від концепції антисиметричної матриці, яку ми побачимо пізніше.
Які властивості має симетрична матриця?
Кожна симетрична матриця є квадратною
Зверніть увагу, що визначення симетричної матриці базується на квадратних матрицях. Таким чином, кожна симетрична матриця має таку ж кількість рядків, як і кількість стовпців.
Кожна симетрична матриця дорівнює її транспонуванню
Якщо A є матрицею, її транспонований (\(A^T\)) визначається як матриця, рядки якої є стовпцями A, а стовпці – рядками A. Отже, якщо A є симетричною матрицею, ми маємо \(A=A^T\).
У симетричній матриці елементи «відбиваються» відносно головної діагоналі
як \(a_{ij}=a_{ji}\) у симетричній матриці елементи вище головної діагоналі є «відображеннями» елементів нижче діагоналі (або навпаки) по відношенню до діагоналі, так що головна діагональ діє як вісь симетрія.
Які відмінності між симетричною матрицею та антисиметричною матрицею?
Якщо A — симетрична матриця, то \(a_{ij}=a_{ji}\) для всіх i і всіх j, як ми вивчали. У випадку антисиметричної матриці ситуація інша. Якщо B — антисиметрична матриця, то \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) для кожного i і кожного j.
Зверніть увагу, що це призводить до \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), тобто, головні діагональні елементи дорівнюють нулю. Наслідком цього є те, що транспонування антисиметричної матриці дорівнює її протилежності, тобто якщо B є антисиметричною матрицею, то \(B^T=-B\).
Приклади антисиметричних матриць
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Дивіться також: Одинична матриця — матриця, в якій основні діагональні елементи дорівнюють 1, а решта елементів дорівнюють 0
Розв'язати вправи на симетричну матрицю
питання 1
(Unicentro)
якщо матриця \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) є симетричним, тому значення xy дорівнює:
А) 6
B) 4
В) 2
Г) 1
Д) -6
роздільна здатність:
Альтернатива А
Якщо дана матриця симетрична, то елементи в симетричних положеннях рівні (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Тому ми повинні:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Заміна першого рівняння у другому робимо висновок, що \(y=3\), скоро:
\(x=2\) Це є \(xy=6\)
питання 2
(УФСМ) Знаючи, що матриця \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) дорівнює його транспонуванню, значенню \(2x+y\) é:
А) -23
Б) -11
В) -1
Г) 11
E) 23
роздільна здатність:
Альтернатива C
Оскільки задана матриця дорівнює її транспонуванню, то вона є симетричною матрицею. Таким чином, елементи в симетричних положеннях рівні (\(a_{ij}=a_{ji}\)), тобто:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
За першим рівнянням х=-6 або х=6. За третім рівнянням отримуємо правильну відповідь: х= -6. За другим рівнянням y=11.
незабаром:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm