бісектриса і перпендикулярна лінія до відрізка, який перетинає його середину. За допомогою лінійки та циркуля можна побудувати перпендикулярну бісектрису відрізка. На трикутник, бісектриси — це прямі, перпендикулярні до сторін, які містять їх середини. Отже, трикутник має три перпендикулярні бісектриси. Точка, де перетинаються ці бісектриси, називається центром описаного кола і є центром кола, описаного навколо трикутника.
Читайте також: Відстань між двома точками — найкоротший шлях між двома точками в декартовій площині
Короткий зміст про бісектрису перпендикуляра
Бісектриса - це прямо перпендикуляр до відрізка, що проходить через середину.
Точки бісектриси перпендикуляра рівновіддалені від кінців відрізка.
Бісектрису перпендикуляра можна побудувати за допомогою лінійки та циркуля.
Рівняння бісектриси перпендикуляра можна визначити, виходячи з координат кінцевих точок відрізка.
Трикутник має три перпендикулярні бісектриси, по одній відносно кожної сторони.
Точка перетину бісектрис трикутника називається центром описаного кола. Ця точка є центром описаного кола трикутника.
Бісектриса трикутника відрізняється від медіани, бісектриси і висоти трикутника.
Що таке медіатрікс?
Дано сегмент, перпендикулярна бісектриса є прямою, перпендикулярною до сегмент що перехоплює ваші середня точка.
Важливим наслідком цього визначення є те, що усі точки бісектриси перпендикуляра однаково віддалені від кінців відрізка. У математичній символіці, якщо AB — відрізок і точка P належить бісектрисі, то PA = PB.
Як побудувати бісектрису?
Щоб побудувати бісектрису перпендикуляра відрізка, нам потрібні лише лінійка та циркуль. Етапи будівництва такі:
Крок 1: Дано відрізок AB, відкрити циркуль довжиною більше половини відрізка. Підказка: одним із варіантів є використання довжини самого відрізка.
Крок 2: намалюй один окружність з центром на одному кінці сегмента та радіусом із мірою, вибраною на кроці 1.
крок 3: Повторіть крок 2 для іншого кінця сегмента.
крок 4: З’єднайте точки перетину кіл лінійкою.
Як знайти бісектрису рівняння?
Оскільки перпендикулярна бісектриса є прямою, ми можемо визначити a рівняння що описує ваші точки, бути r лінія, яка містить відрізок АВ відданий, с бісектриса цього відрізка і П (x, y) будь-яка точка бісектриси перпендикуляра.
Вважаючи, що координати точок А Це є Б відомі, можна отримати кутовий коефіцієнт п прямого r. як r Це є с перпендикулярні, нахил м прямого с (перпендикулярна бісектриса) також може бути знайдена, оскільки вона протилежна мультиплікативній оберненій п. Використовуючи вираз для основного рівняння лінії, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), На що \(M(x\_0,y\_0)\) є серединою АВ, ми завершили рівняння бісектриси.
приклад:
Визначити рівняння бісектриси відрізка, визначеного точками A(1,2) і B(3,6).
роздільна здатність:
Спочатку візьмемо нахил п прямого r який містить сегмент АВ:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Тепер шукаємо середину M відрізка АВ:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Запам'ятайте, що бісектриса перпендикуляра с шукана перпендикулярна до прямої r (який містить сегмент АВ). Потім кутовий коефіцієнт м прямого с і кутовий коефіцієнт п прямого r пов'язані таким чином:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
тому \( m_s=\frac{-1}2\).
Нарешті, ми використовуємо фундаментальне рівняння прямої, щоб визначити бісектрису s, лінію, нахил якої дорівнює \(-\frac{1}2\) і проходить через точку (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
бісектриса трикутника
Три сторони трикутника є відрізками. Таким чином, термін «бісектриса трикутника» відноситься до бісектриси однієї зі сторін цієї геометричної фігури. тому трикутникмає три бісектриси. Дивись нижче:
Точка, де перетинаються бісектриси трикутника, називається центром описаного кола., оскільки воно є центром кола, описаного навколо трикутника (тобто кола, яке проходить через три вершини трикутника).
Важливо:Оскільки центр описаного кола є точкою, спільною для трьох перпендикулярних бісектрис, то його відстань від кожної з вершин однакова. У математичній символіці якщо Д є центром описаного кола трикутника ABC, потім \(AD=BD=CD\).
Відмінності між бісектрисою, медіаною, бісектрисою і висотою трикутника
Бісектриса, медіана, бісектриса і висота трикутника — різні поняття. Давайте розглянемо кожного окремо, а потім разом.
Бісектриса трикутника: пряма, перпендикулярна до однієї зі сторін, яка перетинає його середину.
Медіана трикутника: — відрізок із кінцями у вершині трикутника та середині сторони, протилежної вершині.
Бісектриса трикутника: це сегмент, який ділить навпіл одну з кути сторони трикутника з кінцями в одній із вершин і на протилежній стороні.
Висота трикутника: - це відрізок, перпендикулярний до однієї зі сторін із кінцем під кутом, протилежним стороні.
На наступному зображенні по відношенню до відрізка BC трикутника виділяємо висоту (пунктирна лінія оранжевого кольору), бісектриса (штрихова лінія фіолетового кольору), медіана (пунктирна лінія зеленого кольору) і бісектриса перпендикуляра (суцільна лінія червоний).
Важливо: На рівносторонній трикутник, тобто у якого три сторони і три кути рівні, бісектриси, медіани, бісектриси і висоти збігаються. Отже, помітні точки трикутника (центр окружності, барицентр, центр вписування та ортоцентр) також збігаються. На зображенні нижче ми виділяємо відносно відрізка BC бісектрису, медіану, бісектрису та висоту суцільною чорною лінією. Отже, виділена точка E є центром описаного кола, барицентром, центром вписання та ортоцентром трикутника ABC.
Дивіться також: Метричні співвідношення у вписаному рівносторонньому трикутнику — що це?
Розв'язані вправи на бісектрису
питання 1
Розгляньте наведені нижче твердження.
i. Бісектриса трикутника - це відрізок, який починається в вершині і перетинає середину протилежної сторони.
II. Точка, де перетинаються бісектриси трикутника, називається центром описаного кола. Ця точка є центром кола, описаного навколо трикутника і рівновіддаленого від вершин.
III. Бісектриса відрізка — це перпендикуляр, який перетинає відрізок у середині.
Який варіант містить правильний(і)?
А) Тільки я.
Б) тільки II.
В) тільки III.
Г) І і ІІ.
E) II і III.
роздільна здатність:
Альтернатива Е
Твердження І єдине невірне, оскільки воно описує медіану трикутника.
питання 2
(Enem — адаптовано) За останні роки телебачення пережило справжню революцію щодо якості зображення, звуку та взаємодії з глядачем. Це перетворення відбувається за рахунок перетворення аналогового сигналу в цифровий. Однак багато міст досі не мають цієї нової технології. Прагнучи принести ці переваги трьом містам, телевізійна станція має намір побудувати нову передавальну вежу, яка посилає сигнал на антени A, B і C, які вже є в цих містах. Розташування антен представлено в декартовій площині:
Вежа повинна бути розташована на однаковій відстані від трьох антен. Відповідне місце для будівництва цієї вежі відповідає точці координат
А) (65, 35).
Б) (53, 30).
В) (45, 35).
Г) (50, 20).
Д) (50, 30).
роздільна здатність:
Альтернатива Е
Зауважте, що розташування вежі має бути центром описаної описаної лінії трикутника, утвореного точками A, B і C, оскільки це рівновіддалене розташування трьох антен.
Координати вежі Т:\( (x_t, y_t)\). Оскільки T належить бісектрисі AB (заданої лінією x = 50), горизонтальне розташування вежі має бути \(x_t=50\).
Для визначення горизонтальної координати \(y_t\) вежі, ми можемо використати вираз для відстані між двома точками двічі. Оскільки вежа рівновіддалена, наприклад, від вершин A і C (AT = CT), ми маємо:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Спрощуючи, отримуємо \(y_t=30\).
Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики
