О апофема багатокутника — це відрізок, кінці якого знаходяться в центрі багатокутника і в середині однієї зі сторін. Цей відрізок утворює з відповідною стороною многокутника кут 90°.
Щоб обчислити розмір апофеми, необхідно врахувати характеристики багатокутника, про який йде мова. Залежно від геометричної форми можна побудувати формулу для отримання цього вимірювання. Важливим зауваженням є те, що міра апофеми правильного многокутника дорівнює мірі радіуса кола, вписаного в многокутник.
Читайте також: Що таке бісектриса?
Короткий зміст про апофему
Апофема - це відрізок багатокутника, який сполучає центр (точку перетину бісектрис перпендикулярів) із серединою однієї зі сторін.
Кут між апофемою та відповідною стороною многокутника дорівнює 90°.
Міра апофеми правильного многокутника дорівнює мірі радіуса кола, вписаного в многокутник.
Апофема ОМ рівностороннього трикутника сторони л задається формулою
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Апофема ОМ квадрата сторони л задається формулою
\(OM = \frac{l}2\)
Апофема ОМ правильного шестикутника з одного боку л задається формулою
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Апофема піраміди - це відрізок, який з'єднує вершину з серединою одного з ребер основи, і його міру можна отримати за теоремою Піфагора.
Приклади апофеми
Щоб знайти апофему багатокутника, ми повинні побудувати відрізок, що сполучає центр багатокутника з серединою однієї зі сторін. Пам’ятайте, що центр багатокутника знаходиться в місці перетину бісектрис.
У цих прикладах апофема розглядалася в плоских многокутниках. Однак є космічний об’єкт, який має інший вид апофеми: піраміда.
У піраміді є два типи апофем: апофема основи, яка є апофемою багатокутника, який утворює основу піраміди, і апофема піраміди, яка є відрізок, що з’єднує вершину з серединою ребра основи (тобто це висота бічної грані основи). піраміда).
У наведеному нижче прикладі квадратної основи сегмент OM є апофемою основи, а сегмент VM є апофемою піраміди, де M є серединою BC.
Які є формули апофеми?
Знаючи характеристики багатокутника, особливо правильних, ми можемо розробити формули для обчислення міри апофеми. Давайте подивимося, що це за формули для основних правильних многокутників.
Формула апофеми рівностороннього трикутника
Біля випадок рівностороннього трикутника, висота і медіана відносно даної сторони однакові. Це означає, що центр багатокутника збігається з барицентр трикутника. Отже, точка O ділить висоту AM так:
\(AO = \frac{2}3 AM\) Це є \(OM=\frac{1}3 AM\)
Пам'ятайте, що міра висота рівностороннього трикутника л надається:
\(Висота\ трикутник\ рівносторонній=\frac{l\sqrt3}2\)
Отже, оскільки AM є висотою рівностороннього трикутника ABC, а відрізок OM є апофемою трикутника, ми можемо розробити наступний вираз для міри OM, вважаючи, що сторона трикутника дорівнює л:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Апофема формули квадрата
У випадку квадрата, міра апофеми відповідає половині довжини сторони. Таким чином, якщо О — центр квадрата, М — середина однієї зі сторін, і л це довжина сторони квадрата, тому формула для апофеми OM є
\(OM=\frac{l}2\)
Формула апофеми правильного шестикутника
У правильному шестикутнику апофема відповідає висоті рівностороннього трикутника з вершинами на двох кінцях однієї зі сторін і в центрі багатокутника. У наведеному нижче прикладі апофема OM правильного шестикутника є висотою рівностороннього трикутника OCD, де M є серединою CD.
Як ми згадували раніше, висота рівностороннього трикутника відома. Таким чином, якщо сторона правильного шестикутника вимірює л, то формула апофеми ОМ така
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Формула апофеми піраміди
Розмір апофеми піраміди можна отримати за допомогою Допомога по теоремі Піфагора. У наведеному нижче прикладі в квадратній піраміді трикутник VOM є прямокутником з катетами VO і OM і гіпотенузою VM. Зверніть увагу, що VO — це висота піраміди, OM — апофема основи, а VM — апофема піраміди.
Таким чином, щоб визначити міру апофеми піраміди, ми повинні застосувати теорему Піфагора:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Обережно! ВМ — висота рівнобедреного трикутника, а не рівностороннього. Отже, у цьому випадку ми не можемо використовувати формулу висоти рівностороннього трикутника.
Як обчислюється апофема?
Щоб обчислити апофему многокутника чи піраміди, можна скористатися побудованими формулами або поставити апофему радіусу вписаного кола.
приклад 1: Нехай у рівносторонній трикутник вписано коло радіуса 3 см. Яка міра апофеми цього трикутника?
Оскільки апофема багатокутника має таку саму міру, як і радіус вписаного кола, то апофема трикутника дорівнює 3 см.
приклад 2: Яка міра апофеми правильного шестикутника зі стороною 4 см?
Використовуючи формулу апофеми правильного шестикутника с \(l=4\) см, ми повинні
\(Вимір\апотеми\=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ см\)
Читайте також: Усе про визначні точки трикутника
Розв’язані вправи на апофему
питання 1
Якщо піраміда висотою 4 см має апофему основи 3 см, то розмір апофеми піраміди дорівнює
а) 5 см
б) 6 см
в) 7 см
г) 8 см
д) 9 см
роздільна здатність:
У піраміді можна побудувати прямокутний трикутник, у якому один катет є апофемою основи, інший катет є висотою піраміди, а гіпотенуза є апофемою піраміди. Таким чином, застосовуючи теорему Піфагора до гіпотенузи міри x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ см\)
Альтернатива А.
питання 2
Якщо апофема квадрата дорівнює у см, то сторона квадрата дорівнює
The) \(\frac{1}3y \) см
Б) \(\frac{1}2y \) см
в) у см
г) 2у см
д) 3у см
роздільна здатність
Апофема квадрата дорівнює половині довжини сторони квадрата. Отже, якщо апофема має розміри у см, квадрат має розмір 2у см.
Альтернатива Д.
Марія Луїза Алвес Ріццо
Вчитель математики