THE Теорема внутрішньої бісектриси була розроблена спеціально для трикутники і показує, що коли ми простежуємо внутрішню бісектрису кута трикутника, точка зустрічі бісектриси зі стороною, протилежною їй, ділить цю сторону на відрізки лінії пропорційна сусіднім сторонам цього кута. Із застосуванням теореми про внутрішню бісектрису можна визначити значення сторони або відрізків трикутника, використовуючи пропорцію між ними.
Дивіться також: Медіана, бісектриса кута і висота трикутника — яка різниця?
Підсумок про теорему внутрішньої бісектриси:
Бісектриса — це а промінь яка ділить кут на два рівні кути.
Теорема внутрішньої бісектриси характерна для трикутників.
Ця теорема доводить, що бісектриса ділить протилежну сторону на пропорційні відрізки на сторони, що прилягають до кут.
Відеоурок з теореми внутрішньої бісектриси
Що таке теорема бісектриси?
Перш ніж зрозуміти, що говорить теорема про внутрішню бісектрису, важливо знати, що таке бісектриса кута. Це промінь, який ділить кут на дві рівні частини., тобто дві частини, що мають однакову міру.
Розуміючи, що таке бісектриса, ми помічаємо, що вона існує під внутрішнім кутом трикутника. Коли ми окреслимо бісектрису кута трикутника, вона поділить протилежну сторону на два відрізки. Щодо внутрішньої бісектриси, його теорема говорить, що два відрізки, поділені нею, пропорційні сусіднім сторонам кута.
Зверніть увагу, що бісектриса ділить сторону AC на два відрізки AD і DC. Теорема бісектриси показує, що:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Дізнайтеся більше: Теорема Піфагора — ще одна теорема, розроблена для трикутників
Доведення теореми про внутрішню бісектрису
У трикутнику ABC нижче ми розмежуємо відрізок BD, який є бісектрисою цього трикутника. Крім того, ми простежимо продовження його сторони CB і відрізка AE, паралельної BD:
Кут AEB дорівнює куту DBC, оскільки CE є a прямий поперечні до паралельних відрізків AE і BD.
застосування Теорема Фалеса, ми дійшли висновку, що:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Тепер ми залишилося показати, що BE = AB.
Оскільки x є мірою кута ABD і DBC, аналізуючи кут ABE, отримуємо:
ABE = 180 - 2x
Якщо y є мірою кута EAB, ми маємо таку ситуацію:
Ми знаємо, що сума внутрішніх кутів трикутника ABE дорівнює 180°, тому ми можемо обчислити:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Якщо кут x і кут у мають однакову міру, трикутник ABE є рівнобедрений. Отже, сторона АВ = AE.
Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180°, то в трикутнику ACE маємо:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Оскільки y = x, трикутник ACE рівнобедрений. Отже, відрізки AE і AC рівні. Заміна AE на AC in причина, доведено, що:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
приклад:
Знайдіть значення х у наступному трикутнику:
Аналізуючи трикутник, отримуємо таке співвідношення:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Перехресне множення:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
х = 4
Читайте також: Примітні точки трикутника — що це таке?
Розв’язані вправи з теореми внутрішньої бісектриси
питання 1
Дивлячись на трикутник нижче, ми можемо сказати, що значення x таке:
а) 9
Б) 10
в) 11
Г) 12
Д) 13
Роздільна здатність:
Альтернатива Д
Застосовуючи теорему внутрішньої бісектриси, отримуємо наступне обчислення:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Перехресне множення:
\(27x=18\ \ліворуч (30-x\праворуч)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
питання 2
Проаналізуйте наступний трикутник, знаючи, що ваші виміри дано в сантиметрах.
Периметр трикутника ABC дорівнює:
А) 75 см
Б) 56 см
в) 48 см
Г) 24 см
E) 7,5 см
Роздільна здатність:
Альтернатива C
Застосовуючи теорему бісектриси, спочатку знайдемо значення x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \ліворуч (4x-9\праворуч)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Отже, невідомі сторони вимірюють:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Пам'ятаючи, що довжина калібру використовувався см, the периметр цього трикутника дорівнює:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 см
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm