Поліноміальний факторинг: випадки та приклади

Факторизація поліноми складається з методів, розроблених для перепису полінома як добуток між поліномами. Запишіть поліном у вигляді множення між двома чи більше факторами допомагає спростити алгебраїчні вирази та зрозуміти поліном.

Існують різні випадки факторингу, і для кожного з них існують специфічні методики.. Існуючі випадки: розкладання за загальним множником у доказах, розкладання за групуванням, різниця між двома квадратами, трином досконалих квадратів, сума двох кубів і різниця двох кубів.

Детальніше:Що таке поліном?

Резюме з розкладання поліномів на множники

  • Факторизація поліномів — це методи, які використовуються для представлення полінома як добутку між поліномами.

  • Ми використовуємо цю факторізацію для спрощення алгебраїчні вирази.

  • Випадками факторингу є:

    • Факторування за загальним фактором у доказах;

    • Факторування за групуванням;

    • тричлен ідеального квадрата;

    • різниця двох квадратів;

    • сума двох кубів;

    • Різниця двох кубів.

Випадки поліноміального факторингу

Щоб розкласти поліном, необхідно проаналізувати, в якому з випадків факторингу підходить ситуація

, будучи: розкладання за загальним множником у доказах, розкладання за групуванням, різниця між двома квадратами, трином досконалих квадратів, сума двох кубів і різниця двох кубів. Давайте подивимося, як виконати розкладання на множники в кожному з них.

Не зупиняйся зараз... Після оголошення буде більше ;)

  • Загальний фактор доказів

Ми використовуємо цей метод розкладання, коли є множник, загальний для всіх доданків полінома. Цей загальний фактор буде виділено як один фактор, а інший фактор, як результат поділ доданків за цим загальним множником, буде поміщено в дужки.

Приклад 1:

20xy + 12x² + 8xy²

Аналізуючи кожен член цього полінома, можна побачити, що х повторюється в усіх доданках. Крім того, всі коефіцієнти (20, 12 і 8) кратні 4, тому загальний для всіх доданків множник дорівнює 4x.

Розділивши кожен член на спільний множник, отримаємо:

20xy: 4x = 5y

12x²: 4x = 3x

8xy²: 4x = 2y²

Тепер ми напишемо факторизацію, додаючи загальний множник як доказ і сума з результатів, що знаходяться в дужках:

4x (5y + 3x + 2y²)

Приклад 2:

2a²b² + 3a³b – 4a5

Аналізуючи буквальну частину кожного доданка, можна побачити, що a²b повторюється у всіх з них. Зверніть увагу, що немає числа, яке ділило б 2, 3 і – 4 одночасно. Отже, загальний множник буде просто a²b.

2a²b²: a²b = 2b

3a³b: a²b = 3a

4-й5b³: a²b = 4a³

Таким чином, розкладання цього полінома буде мати вигляд:

a²b (2b + 3a + 4a³)

Дивіться також: Додавання, віднімання та множення поліномів — зрозуміти, як вони виконуються

  • групування

Цей метод є використовується, коли немає спільного множника для всіх членів полінома. У цьому випадку ми визначаємо терміни, які можна згрупувати, маючи спільний фактор, і виділяємо їх.

приклад:

Розкладіть на множники наступний поліном:

ax + 4b + bx + 4a

Ми згрупуємо терміни, у яких a і b є загальним множником:

ax + 4a + bx + 4b

Поставляючи a і b в докази в термінах два на два, ми маємо:

a(x+4)+b(x+4)

Зверніть увагу, що в дужках множники однакові, тому ми можемо переписати цей поліном у вигляді:

(a + b) (x + 4)

  • тричлен ідеального квадрата

Тричлени — це поліноми з 3 доданками. Поліном відомий як трином досконалих квадратів, коли він є результат у квадраті суми або квадрату різниці, тобто:

a² + 2ab + b² = (a + b) ²

a² – 2ab + b² = (a – b) ²

Важливо: Не кожен раз, коли є три доданки, цей поліном буде тричленом ідеального квадрата. Тому перед проведенням розкладання на множники необхідно перевірити, чи підходить тричлен у цьому випадку.

приклад:

Розкладіть, якщо можливо, поліном

x² + 10x + 25

Після аналізу цього тричлена ми витягнемо квадратний корінь перший і останній терміни:

\(\sqrt{x^2}=x\)

\(\sqrt{25}=5\)

Важливо переконатися, що центральний член, тобто 10x, дорівнює \(2\cdot\ x\cdot5\). Зауважте, що це дійсно те саме. Отже, це ідеальний квадрат тринома, який можна розкласти на множники:

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

  • різниця двох квадратів

Коли у нас є різниця двох квадратів, ми можемо розкласти цей поліном, переписавши його як добуток суми та різниці.

приклад:

Розкладіть поліном на множники:

4x² – 36y²

Спочатку обчислимо квадратний корінь кожного з його членів:

\(\sqrt{4x^2}=2x\)

\(\sqrt{36y^2}=6y\)

Тепер ми перепишемо цей поліном як добуток суми та різниці знайдених коренів:

4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)

Читайте також: Алгебраїчне обчислення з одночленами — дізнайтеся, як відбуваються чотири операції

  • сума двох кубів

Сума двох кубів, тобто a³ + b³, можна розкласти як:

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

приклад:

Розкладіть поліном на множники:

х³ + 8

Ми знаємо, що 8 = 2³, отже:

x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)

x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)

  • Різниця двох кубів

Різниця двох кубів, тобто a³ – b³, не на відміну від суми двох кубів, можна розкласти як:

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

приклад:

Розкладіть поліном на множники

8x³ - 27

Ми знаємо, що:

8x³ = (2x) ³

27 = 3³

Отже, ми повинні:

\(8x^3-27=\ліворуч (2x-3\праворуч)\)

\(8x^3-27=\ліворуч (2x-3\праворуч)\ліворуч (4x^2+6x+9\праворуч)\)

Розв’язані вправи на розкладання поліномів на множники

питання 1

Використання поліноміальної факторізації для спрощення алгебраїчного виразу \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), ми знайдемо:

а) х + 2

Б) х - 2

Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)

D) \(\frac{x+2}{x-2}\)

E) (x - 2) (x + 2)

Роздільна здатність:

Альтернатива Д

Дивлячись на чисельник, ми бачимо, що x² + 4x + 4 є випадком ідеального квадратного тринома і його можна переписати як:

x² + 4x + 4 = (x + 2)²

Чисельник x² – 4 є різницею двох квадратів і може бути переписаний у вигляді:

x² - 4 = (x + 2) (x - 2)

Тому:

\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)

Зауважте, що термін х + 2 міститься як у чисельнику, так і в знаменнику, тому його спрощення визначається так:

\(\frac{x+2}{x-2}\)

питання 2

(Інститут Unifil) Враховуючи, що два числа, x і y, такі, що x + y = 9 і x² – y² = 27, значення x дорівнює:

а) 4

Б) 5

в) 6

Г) 7

Роздільна здатність:

Альтернатива C

Зауважте, що x² – y² – це різниця між двома квадратами, яку можна розкласти як добуток суми та різниці:

x² – y² = (x + y) (x – y)

Ми знаємо, що x + y = 9:

(x + y) (x - y) = 27

9 (х - у) = 27

х - у = 27:9

х - у = 3

Тоді ми можемо встановити a система рівнянь:

Додаємо два рядки:

2x + 0 y = 12

2x = 12

х = \(\frac{12}{2}\)

х = 6

Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики

Посейдон: походження, міфи, символіка

Посейдон: походження, міфи, символіка

Посейдон був важливим богом, який був присутнім у релігійності с Стародавня Греція. Греки вірили,...

read more
Теорема внутрішньої бісектриси: що це таке, доказ

Теорема внутрішньої бісектриси: що це таке, доказ

THE Теорема внутрішньої бісектриси була розроблена спеціально для трикутники і показує, що коли м...

read more
Чому Росія напала на Україну?

Чому Росія напала на Україну?

Чому Росія вторглася в Україну в 2022 році? Це багатофакторна річ. Росія вторглася в Україну 24 л...

read more