Біном Ньютона - будь-який двочлен, піднесений до числа немає про те, що немає це натуральне число. Завдяки дослідженням фізика Ісаак Ньютон про степені двочленів це було можливо перевірити закономірності, що полегшують представлення многочлена генерується з потужності двочлена.
Дотримуючись цих закономірностей, це також стало можливим знайти лише один із термінів багаточлен, без необхідності все це обчислювати, використовуючи формулу загального члена двочлена. Крім того, Ньютон помітив відносини між комбінаторний аналіза і двочлени Ньютона, що зробило Трикутник Паскаля чудовий інструмент для більш практичного розвитку двочлена Ньютона.
Читайте також: Пристрій Бріо-Руффіні - метод ділення многочленів
Визначення двочлена Ньютона
Визначимо як двочленполіном, який має два доданки. У деяких додатках з математики та фізики необхідно обчислити потужності двочлена. Щоб полегшити процес, Ісаак Ньютон помітив важливі закономірності які дозволяють нам знайти поліном, що є результатом степеня бінома.
У деяких випадках розрахунок досить простий: просто виконайте множення двочлена на себе, використовуючи розподільну властивість. До потенції порядку 3 ми розвиваємось без особливих зусиль, оскільки вони добре відомі помітні товари, але для вищих ступенів обчислюйте з множення доданка на себе немає іноді це багато роботи.
Приклади
Пам'ятайте, що кожне число, підняте до нуля, дорівнює 1, і що кожне число, підняте до 1, є самим собою, що також справедливо для двочленів.
Ньютон помітив а залежність між коефіцієнтами кожного з доданків і комбінацією, що дозволило обчислити потужність двочлена безпосередньо з наступної формули:
Розуміння формули:
Спочатку давайте розглянемо буквальну частину кожного терміна, яка є літерою з показником ступеня. Зверніть увагу, що для кожного доданка показник степеня “a ”зменшувався, починаючи з n, потім переходячи до n - 1, і так далі, поки не стало 1 в передостанньому терміні і 0 в останньому (що робить букву„ a “навіть не з’являється в останній термін).
ідентифікація та його показники:
Тепер давайте проаналізуємо показники ступеня "b", які завжди збільшуються, починаючи з 0 у першому доданку ( що призводить до того, що буква b не відображається у першому доданку), 1 у другому доданку і так далі, доки вона не буде рівною немаєв останній термін.
ідентифікація B та його показники:
Розуміючи буквальну частину, давайте проаналізувати коефіцієнти, які є всіми комбінаціями немає елементи, взяті від 0 до 0, 1 до 1, 2 до 2, і так до останнього терміну, який є комбінацією немає елементи взяті з немає в немає.
Примітно, що важливо освоїти розрахунок комбінації щоб мати можливість знаходити коефіцієнти. Пам’ятайте, що для обчислення комбінацій ми повинні:
Комбінована відповідь завжди a натуральне число.
Дивіться також: Поліноміальне ділення: як його вирішити?
Приклад: Обчисліть двочлен Ньютона (a + b) до четвертої степені.
1-й крок: запишіть поліном за формулою.
2-й крок: обчислити комбінації.
Замінивши комбінації, знайденим поліномом буде:
Ви можете бачити, що вирішення подібних випадків все одно копітке, залежно від показника ступеня, але навіть це швидше, ніж обчислення за допомогою властивості розподілу. Інструментом, який може допомогти в цьому обчисленні, є трикутник Паскаля.
Трикутник Паскаля
Трикутник Паскаля був розроблений Блезом Паскалем під час вивчення комбінацій. Він є спосіб, який полегшує обчислення комбінацій. Використання трикутника Паскаля дозволяє швидше та легше знаходити коефіцієнти буквальних частин двочлена Ньютона без необхідності обчислювати всі комбінації.
Щоб безпосередньо побудувати трикутник Паскаля, згадаймо дві ситуації, коли обчислення комбінації дорівнює 1.
Таким чином, перший і останній доданок усіх рядків завжди дорівнюють 1. Центральні члени будуються із суми терміна над ним плюс його сусіда з попереднього стовпця, як у поданні нижче:
Щоб побудувати наступні рядки, просто пам’ятайте, що перший доданок дорівнює 1, а останній теж. Тоді досить скласти суми, щоб виявити центральні умови.
Також доступ: Теорема поліноміального розкладання
Приклад: Обчислити (a + b) до шостого степеня.
1-й крок: застосувати формулу двочлена.
2-й крок: побудуйте трикутник Паскаля до 6-го рядка.
3-й крок: замініть комбінації значеннями в рядку 6, які є коефіцієнтами кожного з доданків двочлена.
Що визначає кількість ліній, які ми збираємося побудувати з бінома, це значення n. Важливо пам’ятати, що перший рядок дорівнює нулю.
Біноміальний загальний термін Ньютона
Загальний член Ньютона - двочлен - це формула, яка дозволяє нам обчислити член двочлена без необхідності розробляти весь поліном, тобто ми можемо визначте будь-який з термінів від першого до останнього. За допомогою формули ми безпосередньо обчислюємо термін, який шукаємо.
The: перший термін
B: другий термін
n: показник степеня
p + 1: пошуковий термін
Приклад: Знайдіть 11-й доданок двочлена (a + b)12.
Дозвіл:
Дивіться також: Демонстрації через алгебраїчного числення
розв’язані вправи
Питання 1 - (Чесгранріо) Коефіцієнт х4 в поліномі P (x) = (x + 2)6:
а) 64
б) 60
в) 12
г) 4
д) 24
Дозвіл
Ми хочемо знайти конкретний термін у розв’язанні біномі; для цього нам потрібно знайти значення p.
Ми знаємо, що перший доданок у цьому випадку дорівнює x, тому n - p = 4, оскільки n = 6, маємо:
Отже, коефіцієнт дорівнює 60 (альтернатива В).
Питання 2 - (Unifor) Якщо центральний термін біноміального розвитку (4x + ky)10 для 8064x5р5, тоді альтернативою, яка відповідає значенню k, буде:
а) 1/4
б) 1/2
в) 1
г) 2
д) 4
Дозвіл: Ми знаємо, що центральний член має рівні коефіцієнти (p = 5). Знайдемо 6-й доданок, оскільки p + 1 = 6. Крім того, маємо, що a = 4x; b = ky та n = 10, отже:
Альтернатива D.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
