О Трикутник Паскаля це досить старий математичний інструмент. Протягом історії він отримав кілька назв, але найбільш поширеними є сьогодні арифметичний трикутник і трикутник Паскаля. Друга назва — данина поваги математику, який зробив кілька внесок у вивчення цього трикутника. означає, що трикутник був винайдений ним, але він був тим, хто глибше вивчив це інструмент.
З властивостей трикутника Паскаля його можна логічно побудувати. Також виділяється ваш відносини з комбінації вивчається в комбінаторному аналізі. Терміни трикутника Паскаля також відповідають біноміальним коефіцієнтам, і тому він дуже корисний для обчислення будь-якого бінома Ньютона.
Читайте також: Прилад Бріо-Руффіні - метод ділення поліномів
Побудова трикутника Паскаля
Трикутник Паскаля виробляється з результату комбінацій, однак є практичний метод, який полегшує спосіб його побудови. Перший рядок і перший стовпець враховуються як нульовий рядок і нульовий стовпець. Ми можемо використовувати стільки рядків, скільки потрібно
у цій конструкції, отже, трикутник може мати нескінченні прямі. Міркування для опрацювання рядків завжди одне і те ж. Подивіться:
Ми це знаємо Терміни трикутника є комбінаціями, навчався в комбінаторний аналіз. Щоб замінити трикутник Паскаля числовими значеннями, ми знаємо, що комбінації числа з нулем і числа з самим собою завжди дорівнюють 1. Тому перше і останнє значення завжди дорівнюють 1.
Щоб знайти інші, ми починаємо з рядка 2, оскільки рядок 0 і рядок 1 вже завершені. У рядку 2, щоб знайти комбінацію від 2 до 1, у рядку вище, тобто в рядку 1, давайте додамо термін над ним у той самий стовпець і термін над ним у попередній стовпець, як показано на зображенні :
Після побудови лінії 2 можна побудувати лінію 3, виконуючи ту ж процедуру.
Продовжуючи цю процедуру, ми знайдемо всі терміни – в даному випадку до рядка 5 – але можна побудувати стільки рядків, скільки необхідно.
Властивості трикутника Паскаля
Є деякі властивості трикутника Паскаля, через регулярність у його будівництві. Ці властивості корисні для роботи з комбінаціями, побудовою самих ліній трикутника, а також сумою ліній, стовпців і діагоналей.
1-а властивість
Першим властивістю був той, який ми використали для побудови трикутника. Так щоб Знайдіть доданок у трикутнику Паскаля, просто додайте термін, який знаходиться в рядку над ним, і той самий стовпець з терміном, який знаходиться в стовпці та рядку перед ним. Ця властивість може бути представлена наступним чином:
Ця властивість відома як Відносини Стіфела і важливо полегшити побудову трикутника і знайти значення кожної з прямих.
2-а властивість
Сума всіх доданків у рядку обчислюється за формулою:
снемає=2немає, На що немає є номером рядка.
Приклади:
З цією властивістю можна дізнатися сума всіх доданків на прямій без необхідності будувати трикутник Паскаля. Наприклад, суму рядка 10 можна обчислити як 210 = 1024. Хоча не всі терміни відомі, вже можна дізнатися значення суми всього рядка.
3-я властивість
Сума доданків у послідовності від початку даного стовпця для до певної лінії немає те саме, що й термін у рядку n+1 спинка і стовпчик p+1 пізніше, як показано нижче:
4-а властивість
Сума діагоналі, яка починається в стовпці 0 і йде до доданка в стовпці p і рядку n, дорівнює члену в тому самому стовпці (p), але в рядку нижче (n+1), як показано на зображенні :
5-а властивість
У лініях трикутника Паскаля є симетрія. Перший і другий доданок рівні, другий і передостанній доданок рівні тощо.
приклад:
Рядок 6: 1615 20 156 1.
Зверніть увагу, що доданки дорівнюють два до двох, за винятком центрального члена.
Дивіться також: Ділення на поліномі: як його розв’язати?
Біном Ньютона
Визначимо біном Ньютона a сила одного поліном який має два терміни. Обчислення бінома пов’язане з трикутником Паскаля, який стає механізмом для обчислення того, що ми називаємо біноміальними коефіцієнтами. Для обчислення бінома ми використовуємо таку формулу:
Зверніть увагу, що значення експоненти The воно зменшується до тих пір, поки в останньому доданку не зрівняється The0. Ми знаємо, що кожне число, зведене до 0, дорівнює 1, звідси й термін The не з'являється в останньому терміні. Також зверніть увагу, що показник ступеня Б починається з Б0, скоро Б не з'являється на першому терміні і збільшується до досягнення Бнемає, в останньому терміні.
Крім того, число, яке супроводжує кожний із термінів, є тим, що ми називаємо коефіцієнтом – у цьому випадку відомим як біноміальний коефіцієнт. Щоб краще зрозуміти, як розв’язувати цей тип бінома, перейдіть до нашого тексту: Біном Ньютона.
біноміальний коефіцієнт
Біноміальний коефіцієнт - це не що інше, як комбінація, яку можна обчислити за формулою:
Однак, щоб полегшити обчислення бінома Ньютона, важливо використовувати трикутник Паскаля, оскільки він швидше дає нам результат комбінації.
приклад:
Щоб знайти результат біноміального коефіцієнта, знайдемо значення 5-го рядка трикутника Паскаля, які дорівнюють {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+1 р5
Простіше кажучи:
(x+y)5= х5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+y5
розв’язані вправи
Питання 1 - Значення виразу нижче?
А) 8
Б) 16
в) 2
Г) 32
Д) 24
Резолюція
Альтернатива А.
Перегрупуючи позитивні та від’ємні значення, ми повинні:
Зауважте, що ми насправді обчислюємо віднімання між рядками 4 і 3 трикутника Паскаля. За властивостями ми знаємо, що:
с4 = 24 = 16
с3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Питання 2 - Яке значення наведеного нижче виразу?
А) 32
Б) 28
в) 256
Г) 24
Д) 54
Резолюція
Альтернатива В.
Зверніть увагу, що ми додаємо терміни з стовпця 1 трикутника Паскаля до рядка 7, а потім до третього властивості, значення цієї суми дорівнює доданку, який займає рядок 7+1 і стовпець 1+1, тобто рядок 8, колонка 2. Оскільки нам потрібно лише одне значення, побудувати весь трикутник Паскаля не зручно.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm