THE середнє геометричне поряд із середнім арифметичним та середнім гармонічним були розроблені школою Піфагора. В статистика це досить поширений пошук представлення набору даних одним значенням для прийняття рішень. Однією з можливостей центрального значення є середнє геометричне.
Це корисно для представлення набору, який має дані, що поводяться близько до a геометрична прогресія, також знайти сторону площа і куб, знаючи площу та об’єм відповідно. Середнє геометричне також застосовується в ситуації накопичення процентного збільшення чи зменшення. Для обчислення середнього геометричного набору з n значень ми обчислюємо n-й корінь добутку елементів, тобто якщо набір має три доданки, наприклад, ми множимо три і обчислюємо кубічний корінь добутку.
Середня геометрична формула
Середнє геометричне використовується для пошуку a середнє значення між набором даних. Для обчислення середнього геометричного потрібен набір з двома або більше елементами. Нехай A - набір даних A = (x
1, х2, х3,... хнемає), набору з n елементами, середнє геометричне цього набору обчислюється за формулою:
Читайте також: Міри дисперсії: амплітуда та відхилення
Розрахунок середнього геометричного
Нехай A = {3,12,16,36}, яким буде середнє геометричне для цього набору?
Дозвіл:
Щоб обчислити середнє геометричне, спочатку підраховуємо кількість доданків у множині, у випадку n = 4. Отже, ми маємо:
Спосіб 1: Виконання множень.
Оскільки у нас не завжди є калькулятор для виконання множення, можна зробити розрахунок на основі розкладання на a факторизації натуральне число.
Спосіб 2: Факторизація.
Використовуючи факторизації, ми маємо:
Застосування середнього геометричного
Середнє геометричне можна застосувати до будь-якого статистичного набору даних, але, як правило, це так зайнятий у геометрія, для порівняння сторін призм і кубів однакового об’єму, або квадратів і прямокутників однакової площі. Існує також застосування в проблеми фінансової математики які включають накопичений відсоток, тобто процент під відсотками. Крім того, що це найзручніше засіб для даних, які поводяться як геометрична прогресія.
Приклад 1: Застосування у відсотках.
Продукт протягом трьох місяців мав послідовне зростання: перший становив 20%, другий 10% і третій 25%. Яким був середній відсоток приросту на кінець цього періоду?
Дозвіл
Спочатку товар коштував 100%, у перший місяць він став коштувати 120%, що в десятковому вигляді записується як 1,2. Це міркування буде однаковим для трьох збільшення, тому ми хочемо, щоб середнє геометричне між: 1.2; 1,1; та 1,25.
Приріст становить у середньому 18,2% на місяць.
Дивіться також: Розрахунок відсотків за правилом трьох
Приклад 2: Застосування в геометрії.
Яким має бути значення x на зображенні, знаючи, що квадрат і прямокутник мають однакову площу?
Дозвіл:
Щоб знайти значення x сторони квадрата, ми обчислимо середнє геометричне між сторонами прямокутника.
Отже, сторона квадрата дорівнює 12 см.
Приклад 3: Геометрична прогресія.
Які терміни P.G., знаючи, що попередником центрального значення є x, центральним значенням є 10, а наступником центрального значення - 4x.
Дозвіл:
Ми знаємо умови P.G. (x, 10,4x), і ми знаємо, що середнє геометричне між наступником і попередником дорівнює центральному терміну P.G., тому ми повинні:
Різниця між середнім геометричним та середнім арифметичним
У статистиці спосіб поведінки даних дуже важливий для вибору одного значення, яке його представляє. Ось чому існують типи центральних заходів і існують типи засобів масової інформації.
Вибір того, яке середнє значення використовувати, слід робити з урахуванням набору даних, над яким ми працюємо. Як видно з прикладу, якщо це дані, які поводяться близько до геометричної прогресії і мають найбільш експоненціальне зростання, рекомендується середнє геометричне.
В інших ситуаціях переважно ми використовуємо середнє арифметичне, наприклад, середня вага особи протягом року. Порівнюючи обчислення двох типів середнього для одного і того ж набору даних, геометричний завжди буде меншим, ніж арифметичний.
Порівнюючи середню арифметичну формулу із середньою геометричною формулою, ми помічаємо різницю, оскільки перша обчислюється за сума термінів поділена за сумою строків, тоді як другий, як ми вже бачили, обчислюється n-м коренем добутку всіх доданків.
Приклад 4: Враховуючи набір (3, 9, 27, 81, 243), зрозумійте, що це P.G. відношення 3, оскільки з першого на другий доданок ми множимо на три, з другого на третій теж, і так далі. Шукаючи центральне значення для представлення цього набору, в ідеалі це повинен бути центральний термін прогресії, що відбувається, якщо ми обчислюємо середнє геометричне. Однак при обчисленні середнього арифметичного великі значення призводять до того, що значення цього середнього є занадто високим по відношенню до умови множини, і чим більше значення, тим далі від подання центрального терміна буде середнє арифметичне.
Дозвіл:
1-е середнє арифметичне
2-ге середнє геометричне
Також доступ: Мода, середня і медіанаа - заходи централізації
розв’язані вправи
Питання 1 - Ціна бензину в Бразилії за останні місяці зазнала значного зростання. Щомісячне збільшення за останні 4 місяці становило, відповідно, 9%, 15%, 25% та 16%. Яким був середній відсоток приросту за цей період?
а) 15%
б) 15,5%
в) 16%
г) 14%
д) 14,5%
Дозвіл
Альтернатива A
Питання 2 - Призма з прямокутною основою має такий же об’єм, як і куб. Знаючи, що розміри призми довжиною 6 см, висотою 20 см і шириною 25 см, яке значення має сторона куба в сантиметрах?
Дозвіл:
Альтернатива D
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm