Площа площі фігури представляє ступінь розширення фігури в площині. Як плоскі фігури, серед інших, можна згадати трикутник, прямокутник, ромб, трапецію, коло.
Використовуйте запитання нижче, щоб перевірити свої знання з цього важливого предмету геометрії.
Вирішені питання конкурсу
питання 1
(Cefet / MG - 2016) Квадратну площу ділянки потрібно розділити на чотири рівні частини, також квадратні, і, в одному з них слід підтримувати природний лісовий заповідник (вилуплений ділянку), як показано на малюнку а слідувати.
Знаючи, що B є середньою точкою відрізка AE, а C - середньою точкою відрізка EF, площею штрихування, в м2, дай мені
а) 625,0.
б) 925,5.
в) 1562,5.
г) 2500,0.
Правильна альтернатива: в) 1562,5.
Спостерігаючи за малюнком, ми помічаємо, що штрихована площа відповідає площі квадрата зі стороною 50 м мінус площа трикутників BEC і CFD.
Вимірювання сторони BE, трикутника BEC, дорівнює 25 м, оскільки точка B ділить сторону на два конгруентні відрізки (середина відрізка).
Те саме відбувається зі сторонами EC і CF, тобто їх вимірювання також дорівнюють 25 м, оскільки точка С є середньою точкою відрізка EF.
Таким чином, ми можемо обчислити площу трикутників BEC і CFD. Розглядаючи дві сторони, відомі як основа, інша сторона буде дорівнювати висоті, оскільки трикутники - це прямокутники.
Обчислюючи площу квадрата та трикутників BEC та CFD, маємо:
Тому площа штрихування, м2, міри 1562,5.
питання 2
(Cefet / RJ - 2017) Квадрат зі стороною х та рівносторонній трикутник зі стороною у мають площі однакової міри. Таким чином, можна сказати, що співвідношення x / y дорівнює:
Правильна альтернатива: .
Інформація, наведена в задачі, полягає в тому, що області однакові, тобто:
Площа трикутника визначається множенням базового вимірювання на вимірювання висоти і діленням результату на 2. Оскільки трикутник рівносторонній, а сторона дорівнює y, його значення висоти визначається так:
Отже, можна сказати, що відношення х / у дорівнює .
питання 3
(IFSP - 2016) Громадська площа у формі кола має радіус 18 метрів. У світлі вищесказаного, позначте альтернативу, яка представляє вашу місцевість.
а) 1017,36 м2
б) 1254,98 м2
в) 1589,77 м2
г) 1 698,44 м2
д) 1710,34 м2
Правильна альтернатива: а) 1 017, 36 м2.
Щоб знайти площу квадрата, ми повинні скористатися формулою площі кола:
A = π.R2
Підставляючи значення радіуса та враховуючи π = 3,14, знаходимо:
А = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 м2
Отже, площа квадрата становить 1 017, 36 м2.
питання 4
(МСФЗ - 2016) Прямокутник має розміри x та y, які виражаються рівняннями x2 = 12 і (у - 1)2 = 3.
Периметр і площа цього прямокутника відповідно
а) 6√3 + 2 та 2 + 6√3
б) 6√3 та 1 + 2√3
в) 6√3 + 2 і 12
г) 6 і 2√3
д) 6√3 + 2 та 2√3 + 6
Правильна альтернатива: д) 6√3 + 2 та 2√3 + 6.
Спочатку розв’яжемо рівняння, щоб знайти значення x і y:
х2= 12 ⇒ x = √12 = √4,3 = 2√3
(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Периметр прямокутника буде дорівнює сумі всіх сторін:
Р = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Щоб знайти площу, просто помножте x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Отже, периметр і площа прямокутника дорівнюють відповідно 6√3 + 2 та 2√3 + 6.
питання 5
(Apprentice Sailor - 2016) Проаналізуйте наступну цифру:
Знаючи, що ЕР - радіус центрального півкола в Е, як показано на малюнку вище, визначте значення найтемнішої площі та перевірте правильний варіант. Дані: число π = 3
а) 10 см2
б) 12 см2
в) 18 см2
г) 10 см2
д) 24 см2
Правильна альтернатива: б) 12 см2.
Найтемнішу область виявляють додаванням площі півкола до площі трикутника ABD. Почнемо з обчислення площі трикутника, для цього зверніть увагу, що трикутник - це прямокутник.
Давайте назвемо сторону AD від x і обчислимо її міру, використовуючи теорему Піфагора, як зазначено нижче:
52= х2 + 32
х2 = 25 - 9
x = √16
х = 4
Знаючи бічну міру AD, ми можемо обчислити площу трикутника:
Нам ще потрібно обчислити площу півкола. Зверніть увагу, що його радіус буде дорівнювати половині вимірювання на стороні AD, отже r = 2 см. Площа півкола буде дорівнювати:
Найтемнішу область можна знайти, виконавши: AТ = 6 + 6 = 12 см2
Тому значення найтемнішої ділянки становить 12 см2.
питання 6
(Енем - 2016) Чоловік, батько двох дітей, хоче придбати дві земельні ділянки з однаковою площею, по одній для кожної дитини. Одна з відвіданих земель вже демаркаційна, і хоча вона не має звичайного формату (як показано на малюнку Б), вона порадувала старшого сина і, отже, була придбана. Молодший син має архітектурний проект будинку, який хоче збудувати, але для цього йому потрібно місцевості прямокутної форми (як показано на малюнку А), довжина якої на 7 м довша за ширина.
Щоб задовольнити молодшого сина, цьому джентльмену потрібно знайти прямокутний шматок землі, розміри якого в метрах, довжині та ширині дорівнюють відповідно
а) 7,5 та 14,5
б) 9,0 та 16,0
в) 9.3 та 16.3
г) 10,0 та 17,0
д) 13,5 і 20,5
Правильна альтернатива: б) 9.0 та 16.0.
Оскільки площа фігури A дорівнює площі фігури B, давайте спочатку обчислимо цю площу. Для цього поділимо малюнок B, як показано нижче:
Зверніть увагу, що при діленні фігури ми маємо два прямокутних трикутника. Отже, площа фігури В буде дорівнює сумі площ цих трикутників. Розраховуючи ці площі, маємо:
Оскільки фігура A є прямокутником, її площа знаходить, виконуючи:
THETHE = х. (x + 7) = x2 + 7x
Рівняючи площу фігури А зі знайденим значенням площі фігури Б, знаходимо:
х2 + 7x = 144
х2 + 7x - 144 = 0
Розв’яжемо рівняння 2-го ступеня, використовуючи формулу Бхаскари:
Оскільки міра не може бути від’ємною, давайте просто розглянемо значення, рівне 9. Отже, ширина землі на малюнку А буде дорівнювати 9 м, а довжина - 16 м (9 + 7).
Отже, вимірювання довжини та ширини повинні дорівнювати 9,0 та 16,0 відповідно.
питання 7
(Enem - 2015) Компанія стільникових телефонів має дві антени, які будуть замінені новою, більш потужною. Зони покриття антен, які будуть замінені, є колами радіусом 2 км, окружність яких дотична до точки О, як показано на малюнку.
Точка O вказує на положення нової антени, а область її покриття буде колом, окружність якого буде зовні торкатися окружностей менших площ покриття. З встановленням нової антени, вимірювання площі покриття в квадратних кілометрах було розширено на
а) 8 π
б) 12 π
в) 16 π
г) 32 π
д) 64 π
Правильна альтернатива: а) 8 π.
Збільшення вимірювання площі покриття буде знайдено шляхом зменшення площ менших кіл більшого кола (мається на увазі нова антена).
Оскільки окружність нової області покриття зовні торкається менших кіл, її радіус буде дорівнює 4 км, як зазначено на малюнку нижче:
Обчислимо площі А1 та2 менших кіл та площі A3 від більшого кола:
THE1 = A2 = 22. π = 4 π
THE3 = 42.π = 16 π
Вимірювання збільшеної площі можна знайти, виконавши:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Отже, із встановленням нової антени міра зони покриття, в квадратних кілометрах, була збільшена на 8 π.
питання 8
(Enem - 2015) Діаграма I показує конфігурацію баскетбольного майданчика. Сірі трапеції, звані карбоями, відповідають зонам обмеженого доступу.
Прагнучи відповідати керівним принципам Центрального комітету Міжнародної федерації баскетболу (Фіба) у 2010 році, який уніфікував маркування з різних сплавів було передбачено модифікацію карбонів кортів, які стали б прямокутниками, як показано на схемі II.
Після проведення запланованих змін відбулася зміна площі, зайнятої кожним вуглецем, що відповідає (а)
а) збільшення на 5800 см2.
б) збільшення на 75 400 см2.
в) збільшення на 214 600 см2.
г) зменшення на 63 800 см2.
д) зменшення на 272 600 см2.
Правильна альтернатива: а) збільшення на 5800 см².
Щоб з’ясувати, якою була зміна окупованої площі, давайте обчислимо площу до і після зміни.
При розрахунку за схемою I ми будемо використовувати формулу площі трапеції. На діаграмі II ми будемо використовувати формулу площі прямокутника.
Тоді зміна площі складе:
A = AII - АЯ
A = 284200 - 278 400 = 5800 см2
Отже, після проведення запланованих модифікацій відбулася зміна площі, зайнятої кожним вуглецем, що відповідає збільшенню на 5800 см².
Запропоновані вправи (з роздільною здатністю)
питання 9
Ана вирішила побудувати прямокутний басейн у своєму будинку розміром 8 метрів на висоті 5 метрів. Навколо, у формі трапеції, вона була заповнена травою.
Знаючи, що висота трапеції становить 11 м, а її основи 20 м і 14 м, яка площа тієї частини, яка була заповнена травою?
а) 294 м2
б) 153 м2
в) 147 м2
г) 216 м2
Правильна альтернатива: в) 147 м2.
Оскільки прямокутник, який представляє басейн, вставляється всередину більшої фігури, трапеції, почнемо з обчислення площі зовнішньої фігури.
Площа трапеції обчислюється за формулою:
Де,
B - міра найбільшої бази;
b - міра найменшої основи;
h - висота.
Підставляючи дані твердження у формулу, маємо:
Тепер обчислимо площу прямокутника. Для цього нам просто потрібно помножити основу на висоту.
Щоб знайти територію, вкриту травою, нам потрібно відняти простір, який займає басейн, із зони трапеції.
Тому площа, заповнена травою, становила 147 м2.
Дивіться теж: Зона трапеції
питання 10
Щоб відремонтувати дах свого складу, Карлос вирішив придбати колоніальну черепицю. Використовуючи цей тип даху, потрібно 20 штук на кожен квадратний метр даху.
Якщо дах місця утворений двома прямокутними плитами, як на малюнку вище, скільки черепиці потрібно купити Карлосу?
а) 12000 плиток
б) 16000 плиток
в) 18000 плиток
г) 9600 плиток
Правильна альтернатива: б) 16000 плиток.
Кришка складу виконана з двох прямокутних пластин. Тому ми повинні обчислити площу прямокутника і помножити на 2.
Отже, загальна площа даху становить 800 м.2. Якщо на кожен квадратний метр потрібно 20 черепиць, використовуючи просте правило трьох, ми обчислюємо, скільки черепиць заповнює дах кожного складу.
Тому потрібно буде придбати 16 тисяч плитки.
Дивіться теж: Площа прямокутника
питання 11
Марсія хотіла б, щоб дві однакові дерев'яні вази прикрашали вхід до її будинку. Оскільки вона могла придбати лише одну зі своїх улюблених, вона вирішила найняти майстра кабінету для виготовлення іншої вази з тими ж розмірами. Ваза повинна мати чотири сторони у рівнобедреній формі трапеції, а основа - квадрат.
Без урахування товщини деревини, скільки квадратних метрів деревини буде потрібно для відтворення шматка?
а) 0,2131 м2
б) 0,1311 м2
в) 0,2113 м2
г) 0,3121 м2
Правильна альтернатива: г) 0,3121 м2.
Рівнобедрена трапеція - це тип, що має рівні сторони та різні за розміром основи. Із зображення ми маємо такі виміри трапеції з кожного боку посудини:
Менша основа (b): 19 см;
Більша основа (B): 27 см;
Висота (год): 30 см.
Маючи на увазі значення, ми обчислюємо площу трапеції:
Оскільки посудина утворена чотирма трапеціями, нам потрібно помножити знайдену площу на чотири.
Тепер нам потрібно розрахувати основу вази, яку утворює 19 см квадрат.
Додаючи розраховані площі, ми отримуємо загальну площу деревини, яку потрібно використати для будівництва.
Однак площа повинна бути представлена в квадратних метрах.
Тому, без урахування товщини деревини, потрібно було 0,3121 м2 матеріалу для виготовлення вази.
Дивіться теж: Квадратна площа
питання 12
Для полегшення підрахунку кількості людей, які беруть участь у публічних заходах, прийнято вважати, що один квадратний метр займають чотири людини.
На святкування річниці міста міська влада найняла гру для гри на площі в центрі, яка має площу 4000 м2. Знаючи, що площа є переповненою, приблизно скільки людей відвідало захід?
а) 16 тис. чол.
б) 32 тис. осіб.
в) 12 тис. осіб.
г) 40 тис. чол.
Правильна альтернатива: а) 16 тис. Осіб.
Квадрат має чотири рівні сторони і його площа обчислюється за формулою: A = L x L.
якщо через 1 м2 його займають чотири людини, тому в 4 рази більше загальної площі площі дає нам оцінку людей, які відвідали захід.
Таким чином, 16 тисяч людей взяли участь у заході, який пропагувала мерія.
Щоб дізнатись більше, див. Також:
- Плоскі фігури райони
- Геометричні фігури
- Теорема Піфагора - вправи
