Рівняння середньої школи: коментовані вправи та конкурсні питання

Один рівняння другого ступеня - це ціле рівняння у вигляді сокира² + bx + c = 0, з дійсними числами a, b та c та a ≠ 0. Для розв’язання рівняння цього типу можна використовувати різні методи.

Використовуйте коментовані резолюції вправ нижче, щоб очистити всі сумніви. Також не забудьте перевірити свої знання з вирішеними питаннями конкурсу.

Коментовані вправи

Вправа 1

Вік моєї мами, помножений на мій вік, дорівнює 525. Якщо, коли я народився, моїй матері було 20 років, скільки мені років?

Рішення

Враховуючи мій вік, рівний х, тоді ми можемо вважати, що вік моєї матері дорівнює х + 20. Звідки ми знаємо цінність продукту нашого віку, тоді:

х. (x + 20) = 525

Застосування до розподільних властивостей множення:

х² + 20 х - 525 = 0

Потім ми отримуємо повне рівняння 2-го ступеня з a = 1, b = 20 і c = - 525.

Для обчислення коренів рівняння, тобто значень х, де рівняння дорівнює нулю, скористаємось формулою Баскари.

Спочатку ми повинні розрахувати значення the:

Для обчислення коренів ми використовуємо:

Підставивши значення у формулу вище, ми знайдемо коріння рівняння, наприклад:

Оскільки мій вік не може бути негативним, ми зневажаємо значення -35. Тож результат є 15 років.

Вправа 2

Квадрат, зображений на малюнку нижче, має прямокутну форму і його площа дорівнює 1350 м². Знаючи, що його ширина відповідає 3/2 висоти, визначте розміри квадрата.

Рішення

Враховуючи, що його висота дорівнює х, тоді ширина буде дорівнює 3 / 2x. Площа прямокутника обчислюється множенням його основи на значення висоти. У цьому випадку ми маємо:

Ми прийшли до неповного рівняння 2-го ступеня, з a = 3/2, b = 0 і c = - 1350, ми можемо обчислити цей тип рівняння, виділивши x і обчисливши значення квадратного кореня.

Оскільки значення x представляє міру висоти, ми не враховуватимемо - 30. Таким чином, висота прямокутника дорівнює 30 м. Щоб обчислити ширину, помножимо це значення на 3/2:

Отже, квадратна ширина дорівнює 45 м а його висота дорівнює 30 м.

Вправа 3

Отже, x = 1 є коренем рівняння 2ax² + (2-е² - a - 4) x - (2 + a²) = 0, значення a повинні бути:

а) 3 і 2
б) - 1 і 1
в) 2 і - 3
г) 0 і 2
д) - 3 і - 2

Рішення

Щоб знайти значення a, давайте спочатку замінимо x на 1. Таким чином, рівняння буде виглядати так:

2.а.1² + (2-е² - до - 4). 1 - 2 - а² = 0
2-й + 2-й² - до - 4 - 2 - до² = 0
² + до - 6 = 0

Тепер ми повинні обчислити корінь повного рівняння 2-го ступеня, для цього будемо використовувати формулу Баскари.

Тому правильною альтернативою є літера С.

Конкурсні запитання

1) Epcar - 2017 рік

Розглянемо в ℝ рівняння (м+2) х² - 2мx + (м - 1) = 0 у змінній x, де м є дійсним числом, відмінним від - 2.

Перегляньте наведені нижче твердження та оцініть їх як V (TRUE) або F (FALSE).

() Для всіх m> 2 рівняння має порожній набір розв’язків.
() Існує два реальних значення m для рівняння, що допускає рівні корені.
() У рівнянні, якщо ∆> 0, то m може приймати лише позитивні значення.

Правильна послідовність

а) V - V - V
б) F - V - F
в) F - F - V
г) V - F - F

Див. Відповідь

Давайте розглянемо кожне із тверджень:

Для всіх m> 2 рівняння має порожній набір розв’язків

Оскільки рівняння має другий ступінь у ℝ, воно не матиме рішення, коли дельта менше нуля. Обчислюючи це значення, маємо:

Отже, перше твердження відповідає дійсності.

Існує два реальних значення m для рівняння, що допускає рівні корені.

Рівняння матиме рівні дійсні корені при Δ = 0, тобто:

- 4м + 8 = 0
m = 2

Отже, твердження хибне, оскільки існує лише одне значення m, де корені справжні та рівні.

У рівнянні, якщо ∆> 0, то m може приймати лише додатні значення.

Для Δ> 0 маємо:

Оскільки в безлічі нескінченних дійсних чисел є від’ємні числа менше 2, твердження також є помилковим.

Альтернатива d: V-F-F

2) Coltec - UFMG - 2017

Лора повинна розв’язати рівняння 2-го ступеня в “домі”, але усвідомлює, що, копіюючи з дошки в зошит, вона забула скопіювати коефіцієнт х. Для розв’язання рівняння він записав його так: 4х² + сокира + 9 = 0. Оскільки вона знала, що рівняння має лише одне рішення, і це позитивне, вона змогла визначити значення а, яке є

а) - 13
б) - 12
в) 12
г) 13

Див. Відповідь

Коли рівняння 2-го ступеня має єдиний розв'язок, дельта з формули Баскари дорівнює нулю. Отже, щоб знайти значення , просто обчисліть дельту, дорівнюючи її значення нулю.

Отже, якщо a = 12 або a = - 12, рівняння матиме лише один корінь. Однак нам все одно потрібно перевірити, яке зі значень результат буде позитивним коренем.

Для цього давайте знайдемо корінь для значень .

Отже, при a = -12 рівняння матиме лише один корінь і додатне.

Альтернатива b: -12

3) Енем - 2016 рік

Тунель повинен бути ущільнений бетонним покриттям. Поперечний переріз тунелю та бетонного покриву мають контури арки параболи і однакові розміри. Для визначення вартості робіт інженер повинен розрахувати площу під даною параболічною дугою. Використовуючи горизонтальну вісь на рівні землі та вісь симетрії параболи як вертикальну вісь, він отримав таке рівняння для параболи:
y = 9 - x², де x та y вимірюються в метрах.
Відомо, що площа під такою параболою дорівнює 2/3 площі прямокутника, розміри якого відповідно дорівнюють підставі та висоті входу в тунель.
Яка площа передньої частини бетонного покриття, в квадратних метрах?

а) 18
б) 20
в) 36
г) 45
д) 54

Див. Відповідь

Щоб вирішити цю проблему, нам потрібно знайти виміри основи та висоти входу в тунель, як проблема говорить нам, що площа фронту дорівнює 2/3 площі прямокутника з цими розмірами.

Ці значення будуть знайдені з наведеного рівняння 2-го ступеня. Парабола цього рівняння має увігнутість відхиленою вниз, оскільки коефіцієнт є негативним. Нижче наведено схему цієї притчі.

З графіка ми бачимо, що міру основи тунелю буде знайдено шляхом обчислення коренів рівняння. Вже його висота буде дорівнювати мірі вершини.

Для обчислення коренів ми спостерігаємо, що рівняння 9 - x² є неповним, тому ми можемо знайти його корені, прирівнявши рівняння до нуля та виділивши x:

Отже, вимірювання основи тунелю буде дорівнює 6 м, тобто відстані між двома коренями (-3 та 3).

Дивлячись на графік, ми бачимо, що точка вершини відповідає значенню на осі y, яке x дорівнює нулю, тому маємо:

Тепер, коли ми знаємо виміри основи та висоти тунелю, ми можемо розрахувати його площу:

Альтернатива c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

Для якого значення "а" рівняння (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 має два корені і дорівнює?

до 1
б) 0
в) 1
г) 2

Див. Відповідь

Щоб рівняння 2-го ступеня мало два рівні корені, необхідно, щоб Δ = 0, тобто b²-4ac = 0. Перед обчисленням дельти нам потрібно записати рівняння у вигляді ax² + bx + c = 0.

Ми можемо почати із застосування розподільчого майна. Однак ми зауважимо, що (x - 2) повторюється в обох термінах, тому давайте докажемо це:

(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(х - 2) (осі -2) = 0

Тепер, поширюючи товар, ми маємо:

сокира² - 2x - 2ax + 4 = 0

Обчислюючи Δ і дорівнюючи нулю, знаходимо:

Отже, коли a = 1, рівняння матиме два рівні корені.

Альтернатива c: 1

Щоб дізнатись більше, див. Також:

• Рівняння другого ступеня
• Рівняння першого ступеня
• Квадратична функція
• Квадратична функція - вправи
• Лінійна функція
• Пов’язані вправи на функції