Системи рівнянь 1 ступеня: коментовані та розв’язані вправи

Системи рівнянь 1-го ступеня складаються з набору рівнянь, які представляють більше одного невідомого.

Розв’язування системи полягає у знаходженні значень, які задовольняють всі ці рівняння одночасно.

Багато задач вирішуються за допомогою систем рівнянь. Тому важливо знати методи вирішення цього типу розрахунків.

Скористайтеся розв’язаними вправами, щоб вирішити всі ваші сумніви щодо цієї теми.

Коментовані та вирішені проблеми

1) Матроські підмайстри - 2017 рік

Сума числа x і подвійного числа y дорівнює - 7; а різниця між потрійною цього числа x та числом y дорівнює 7. Тому правильно стверджувати, що добуток xy дорівнює:

а) -15
б) -12
в) -10
г) -4
д) - 2

Див. Відповідь

Почнемо з побудови рівнянь, враховуючи ситуацію, запропоновану в задачі. Таким чином, ми маємо:

x + 2.y = - 7 і 3.x - y = 7

Значення x та y повинні задовольняти обидва рівняння одночасно. Тому вони утворюють таку систему рівнянь:

Ми можемо розв’язати цю систему методом додавання. Для цього помножимо друге рівняння на 2:

Додавши два рівняння:

Підставивши значення x, знайдене в першому рівнянні, маємо:

1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1

Таким чином, добуток xy дорівнюватиме:

x.y = 1. (- 4) = - 4

Альтернатива: г) - 4

2) Військовий коледж / РЖ - 2014

Поїзд їде з одного міста в інше завжди з постійною швидкістю. Коли поїздка здійснюється зі швидкістю на 16 км / год, витрачений час зменшується на дві з половиною години, а коли вона здійснюється із швидкістю на 5 км / год менше, витрачений час збільшується на одну годину. Яка відстань між цими містами?

а) 1200 км
б) 1000 км
в) 800 км
г) 1400 км
д) 600 км

Див. Відповідь

Оскільки швидкість постійна, ми можемо використати таку формулу:

Потім відстань знаходять, виконуючи:

d = v.t

Для першої ситуації маємо:

v₁ = v + 16 і t₁ = t - 2,5

Заміна цих значень у формулі відстані:

d = (v + 16). (т - 2,5)
d = v.t - 2.5v + 16t - 40

Ми можемо замінити v.t на d у рівнянні та спростити:

-2,5v + 16t = 40

Для ситуації, коли швидкість зменшується:

v₂ = v - 5 і t₂ = t + 1

Здійснюючи ту ж заміну:

d = (v -5). (t + 1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

За допомогою цих двох рівнянь ми можемо зібрати таку систему:

Вирішуючи систему методом підстановки, виділимо v у другому рівнянні:

v = 5 + 5т

Заміна цього значення в першому рівнянні:

-2,5 (5 + 5т) + 16т = 40
-12,5 - 12,5т + 16т = 40
3,5т = 40 + 12,5
3,5т = 52,5

Давайте підставимо це значення, щоб знайти швидкість:

v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 км / год

Щоб знайти відстань, просто помножте знайдені значення швидкості та часу. Отже:

d = 80. 15 = 1200 км

Альтернатива: а) 1200 км

3) Підмайстри моряків - 2016 рік

Студент заплатив перекус 8 реалів у 50 центів та 1 реал. Знаючи, що для цієї виплати студент використав 12 монет, визначте, відповідно, суми 50 центів та одна справжня монета, якими платили за закуску та ставили правильний варіант.

а) 5 і 7
б) 4 і 8
в) 6 і 6
г) 7 і 5
д) 8 і 4

Див. Відповідь

Враховуючи x кількість монет 50 центів, y кількість монет 1 долар і сплачену суму, рівну 8 реалів, ми можемо записати таке рівняння:

0,5x + 1y = 8

Ми також знаємо, що при оплаті було використано 12 монет, тому:

x + y = 12

Збірка та вирішення системи шляхом додавання:

Заміна знайденого значення x у першому рівнянні:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Альтернатива: д) 8 і 4

4) Коледжо Педро II - 2014

З коробки, що містить B білих кульок і P чорних кульок, було вилучено 15 білих кульок, що залишилися між рештою кульками співвідношенням 1 білий до 2 чорних. Потім видалили 10 чорних, залишивши в коробці кількість куль у співвідношенні 4 білих до 3 чорних. Систему рівнянь для визначення значень B і P можна представити:

Див. Відповідь

Розглядаючи першу ситуацію, зазначену в проблемі, ми маємо таку пропорцію:

Помноживши цю пропорцію "хрестом", маємо:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Зробимо те саме для наступної ситуації:

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45-40
3B - 4P = 5

Складаючи ці рівняння в систему, ми знаходимо відповідь на проблему.

Альтернатива: а)

5) Faetec - 2012

За одні вихідні Карлос вирішив на 36 математичних вправ більше, ніж Нілтон. Знаючи, що загальна кількість вправ, вирішених обома, дорівнювало 90, кількість вправ, які вирішив Карлос, дорівнює:

а) 63
б) 54
в) 36
г) 27
д) 18

Див. Відповідь

Розглядаючи x як кількість вправ, розв’язаних Карлосом, а y як кількість вправ, розв’язаних Нілтоном, ми можемо створити таку систему:

Підставивши x на y + 36 у другому рівнянні, маємо:

y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36

Заміна цього значення в першому рівнянні:

x = 27 + 36
x = 63

Альтернатива: а) 63

6) Enem / PPL - 2015 рік

Намет для стрільби по мішенях у парку розваг приносить учаснику приз у розмірі 20 доларів США кожного разу, коли він потрапляє в ціль. З іншого боку, кожного разу, коли він пропускає ціль, він повинен заплатити 10,00 доларів. Початкова плата за гру не стягується. Один учасник зробив 80 пострілів і, зрештою, отримав 100,00 рублів. Скільки разів цей учасник влучив у ціль?

а) 30
б) 36
в) 50
г) 60
д) 64

Див. Відповідь

Де x - кількість пострілів, які потрапили в ціль, а y - кількість неправильних пострілів, ми маємо таку систему:

Ми можемо розв’язати цю систему методом додавання, помножимо всі доданки другого рівняння на 10 і складемо два рівняння:

Тому учасник 30 разів влучив у ціль.

Альтернатива: а) 30

7) Енем - 2000

Страхова компанія зібрала дані про автомобілі в певному місті і виявила, що в середньому щороку викрадається 150 автомобілів. Кількість викрадених автомобілів марки X вдвічі перевищує кількість викрадених автомобілів марки Y, а марки X і Y разом складають близько 60% викрадених автомобілів. Очікувана кількість викрадених автомобілів марки Y:

а) 20
б) 30
в) 40
г) 50
д) 60

Див. Відповідь

Проблема вказує на те, що кількість викрадених автомобілів марок x і y разом дорівнює 60% від загальної кількості, отже:

150.0,6 = 90

Враховуючи це значення, ми можемо написати таку систему:

Підставивши значення x у друге рівняння, маємо:

2y + y = 90
3y = 90

Альтернатива: б) 30

Дивіться також: Вправи на рівняння 1 ступеня з невідомим