Подібність трикутників: коментовані та розв’язані вправи

THE подібність трикутника використовується для знаходження невідомої міри одного трикутника, знаючи міри іншого трикутника.

Коли два трикутники подібні, вимірювання відповідних сторін пропорційні. Цей взаємозв’язок використовується для вирішення багатьох геометричних задач.

Отже, скористайтеся вправами, прокоментованими та вирішеними, щоб вирішити всі ваші сумніви.

Питання вирішені

1) Матроський підмайстер - 2017

Дивіться малюнок нижче

Будівля кидає на землю тінь довжиною 30 м у той самий момент, коли людина висотою 6 м кидає тінь 2,0 м. Можна сказати, що висота будівлі варта

а) 27 м
б) 30 м
в) 33 м
г) 36 м
д) 40 м

Див. Відповідь

Ми можемо вважати, що будівля, прогнозована тінь і сонячний промінь утворюють трикутник. Так само ми маємо трикутник, утворений людиною, її тінню та сонячним промінням.

Враховуючи, що сонячні промені паралельні, а кут між будівлею та землею та людиною рівний земля дорівнює 90º, трикутники, зазначені на малюнку нижче, подібні (два кути дорівнює).

Оскільки трикутники подібні, ми можемо записати таку пропорцію:

Альтернатива: а) 27 м

2) Фувест - 2017 рік

На малюнку прямокутник ABCD має сторони довжиною AB = 4 і BC = 2. Нехай М - середина сторони і N середня точка бічної сторони . Сегменти перехопити відрізок в точках E та F відповідно.

Площа трикутника AEF дорівнює

Див. Відповідь

Площу трикутника AEF можна знайти, зменшивши площу трикутника ABE від площі трикутника AFB, як показано нижче:

Почнемо з пошуку площі трикутника AFB. Для цього нам потрібно з’ясувати значення висоти цього трикутника, оскільки базове значення відомо (AB = 4).

Зверніть увагу, що трикутники AFB та CFN подібні тим, що мають два рівні кути (випадок AA), як показано на малюнку нижче:

Побудуємо графік висоти H₁, відносно сторони AB, у трикутнику AFB. Оскільки міра сторони CB дорівнює 2, можна вважати, що відносна висота сторони NC у трикутнику FNC дорівнює 2 - H₁.

Потім ми можемо записати таку пропорцію:

Знаючи висоту трикутника, ми можемо обчислити його площу:

Щоб знайти площу трикутника ABE, вам також потрібно буде обчислити його значення висоти. Для цього ми використаємо той факт, що трикутники ABM та AOE, зазначені на малюнку нижче, подібні.

Крім того, трикутник OEB - це прямокутний трикутник, а інші два кути рівні (45º), отже, це рівнобедрений трикутник. Таким чином, два катети цього трикутника варті H₂, як на зображенні нижче:

Отже, сторона AO трикутника AOE дорівнює 4 - H_2. На основі цієї інформації ми можемо вказати таку пропорцію:

Знаючи значення висоти, тепер ми можемо обчислити площу трикутника ABE:

Таким чином, площа трикутника AFE буде дорівнювати:

Альтернатива: d)

3) Cefet / MG - 2015

Наступна ілюстрація являє собою прямокутний більярдний стіл, ширина та довжина якого дорівнює 1,5 та 2,0 м відповідно. Гравець повинен кинути білу кулю з точки В і вдарити чорну кулю в точці Р, не вдарившись жодної іншої. Оскільки жовтий знаходиться в точці А, цей гравець кине білу кулю в точку L, щоб вона могла відскочити і зіткнутися з чорною.

Якщо кут шляху падіння кулі збоку від столу і кут відскоку рівні, як показано на малюнку, то відстань від P до Q, в см, приблизно

а) 67
б) 70
в) 74
г) 81

Див. Відповідь

Трикутники, позначені червоним кольором на зображенні нижче, подібні, оскільки мають два рівні кути (кут, що дорівнює α та кут, рівний 90º).

Тому ми можемо записати таку пропорцію:

Альтернатива: а) 67

4) Військовий коледж / РЖ - 2015

У трикутнику ABC точки D і E належать відповідно сторонам AB і AC і є такими, що DE / / BC. Якщо F є точкою AB такою, що EF / / CD та вимірювання AF та FD e становлять, відповідно, 4 і 6, то вимірювання сегмента DB становить:

а) 15.
б) 10.
в) 20.
г) 16.
д) 36.

Див. Відповідь

Ми можемо представити трикутник ABC, як показано нижче:

Оскільки відрізок DE паралельний BC, то трикутники ADE і ABC подібні тим, що їх кути збіжні.

Потім ми можемо записати таку пропорцію:

Трикутники FED і DBC також подібні, оскільки сегменти FE і DC паралельні. Отже, справедлива також така пропорція:

Виділивши y у цій пропорції, маємо:

Заміна значення y у першій рівності:

Альтернатива: а) 15

5) Epcar - 2016 рік

Земля у формі прямокутного трикутника буде розділена на два лоти парканом, зробленим на бісектрисі гіпотенузи, як показано на малюнку.

Відомо, що сторони AB і BC цього рельєфу вимірюють відповідно 80 м і 100 м. Таким чином, співвідношення між периметром партії I та периметром партії II у такому порядку становить

Див. Відповідь

Щоб з’ясувати співвідношення між периметрами, нам потрібно знати значення всіх сторін рисунків I та II.

Зауважимо, що бісектриса гіпотенузи ділить сторону ВС на два конгруентних сегменти, тож сегменти CM та MB вимірюють 50 м.

Оскільки трикутник ABC є прямокутником, ми можемо обчислити сторону AC, використовуючи теорему Піфагора. Однак зверніть увагу, що цей трикутник є піфагорійським трикутником.

Таким чином, гіпотенуза дорівнює 100 (5. 20) і одна дві ноги дорівнюють 80 (4,20), тоді друга нога може дорівнювати лише 60 (3,20).

Ми також виявили, що трикутники ABC та MBP подібні (випадок AA), оскільки вони мають спільний кут, а інший дорівнює 90º.

Отже, щоб знайти значення x, ми можемо записати таку пропорцію:

Значення z можна знайти, враховуючи пропорцію:

Ми також можемо знайти значення y, виконавши:

Тепер, коли ми знаємо всі сторони, ми можемо обчислити периметри.

Периметр рисунка I:

Периметр малюнка II:

Отже, співвідношення між периметрами буде дорівнює:

Альтернатива: d)

6) Енем - 2013 рік

Власник ферми хоче поставити опорний стрижень, щоб краще закріпити два стовпи довжиною 6 м і 4 м. На рисунку представлена ​​реальна ситуація, в якій стовпи описуються сегментами AC і BD і стрижнем представлений сегментом EF, перпендикулярним до землі, який позначений прямолінійним сегментом AB. Сегменти AD і BC представляють собою сталеві троси, які будуть встановлені.

Яким має бути значення довжини стрижня EF?

а) 1 м
б) 2 м
в) 2,4 м
г) 3 м
д) 2 м

Див. Відповідь

Щоб вирішити проблему, назвемо висоту стебла як z і вимірювання AF та FB сегментів х і рвідповідно, як показано нижче:

Трикутник ADB подібний до трикутника AEF тим, що обидва мають кут, що дорівнює 90 °, і спільний кут, тому вони подібні у випадку AA.

Тому ми можемо записати таку пропорцію:

Помноживши "хрестом", отримаємо рівність:

6x = h (x + y) (I)

З іншого боку, трикутники ACB і FEB також будуть схожими з тих самих причин, представлених вище. Отже, маємо пропорцію:

Вирішення тим же способом:

4y = h (x + y) (II)

Зверніть увагу, що рівняння (I) та (II) мають однаковий вираз після знака рівності, тому можна сказати, що:

6x = 4y

Підставивши значення x у друге рівняння:

Альтернатива: в) 2,4 м

7) Фувест - 2010 рік

На малюнку трикутник ABC прямокутний зі сторонами BC = 3 і AB = 4. Крім того, точка D належить до ключиці. , точка Е, що належить ключиці а точка F належить гіпотенузі , такий що DECF - паралелограм. якщо , тож площа паралелограма DECF варта

Див. Відповідь

Площа паралелограма знаходить множенням базового значення на висоту. Назвемо h висотою та x базовою мірою, як показано нижче:

Оскільки DECF - паралелограм, його сторони паралельні двічі на дві. Таким чином, сторони AC і DE паралельні. Отже кути вони однакові.

Тоді ми можемо визначити, що трикутники ABC і DBE подібні (випадок AA). Маємо також, що гіпотенуза трикутника ABC дорівнює 5 (трикутник 3,4 і 5).

Таким чином, напишемо таку пропорцію:

Щоб знайти міру x основи, ми розглянемо таку пропорцію:

Обчислюючи площу паралелограма, маємо:

Альтернатива: а)