Ми встановили окупація коли ми співвідносимо одну або кілька величин. Частина природних явищ може бути вивчена завдяки розвитку в цій галузі математики. Вивчення функцій ділиться на дві частини, ми маємо загальну частину, в якій ми вивчаємо концепціїзагалом, і конкретна частина, де ми вивчаємо приватні випадки, такі як поліноміальні функції та експоненційні функції.
Дивіться також: Як побудувати графік функції?
Що таке функції?
Функція - це програма, яка пов'язує елементи двох набори не порожній. Розглянемо два непорожніх множини A і B, де функція f співвідносяться кожен елемент від А до тільки один елемент Б.
Щоб краще зрозуміти це визначення, уявіть їзду на таксі. На кожну поїздку, тобто на кожну подолану відстань, існує інша і унікальна ціна, тобто немає сенсу для поїздки мати дві різні ціни.
Ми можемо представити цю функцію, яка приймає елементи з множини A до множини B наступними способами.
Зверніть увагу, що для кожного елемента набору A існує a єдиний пов'язаний елемент з ним у наборі Б. Тепер ми можемо думати, зрештою, коли зв'язок між двома множинами не буде функцією? Ну, коли елемент множини A пов'язаний з двома різними елементами B, або коли є елементи множини A, які не пов'язані з елементами B. Подивіться:
Взагалі кажучи, ми можемо написати функцію алгебраїчно так:
f: A → B
x → y
Зверніть увагу, що функція бере елементи з множини A (представлені х) і переводить їх до елементів B (представлені y). Ми також можемо сказати, що елементи множини B задані через елементи множини A, тому ми можемо представити y за допомогою:
y = f(х)
Він читає: (y дорівнює f від x)
Домен, спільний домен та образ ролі
Коли у нас є роль f, споріднені набори отримують спеціальні імена. Тож розглянемо функцію f який приймає елементи з множини A до елементів із множини B:
f: A → B
Називається множина A, від якої відходять відносини домен функції, і викликається множина, яка отримує "стрілки" цього відношення контрдомен. Позначимо ці множини так:
Df = A → Домен f
CDf = B → Контрдомен f
Викликається підмножина контрдомену функції, утвореної елементами, що відносяться до елементів множини Зображення функції і позначається:
імf → Зображення f
- Приклад
Розглянемо функцію f: A → B, представлену на діаграмі нижче, і визначимо домен, контрдомен та зображення.
Як вже було сказано, множина A = {1, 2, 3, 4} є областю функції f, тоді як множина B = {0, 2, 3, –1} є контрдоменом тієї самої функції. Тепер зауважте, що набір, сформований елементами, які отримують стрілку (оранжевим кольором), сформований елементами {0, 2, –1}, є підмножиною контрдомену B, цей набір є зображенням функції f, таким чином:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
імf = {0, 2, –1}
Ми говоримо, що 0 є зображенням елемента 1 домену, а також 2 це зображення елементів 2 і 3 домену та –1 є зображенням елемента 4 домену. Щоб дізнатися більше про ці три поняття, прочитайте: Dдомен, спільний домен та зображення.
Сур’єктивна функція
Функція f: A → B буде сюр’єктивним або сюр’єктивним, якщо і лише тоді, коли набір зображень збігається з контрдоменом, тобто якщо всі елементи суперечності - це зображення.
Тоді ми говоримо, що функція є сюр’єктивною, коли всі елементи контрдомену отримують стрілки. Якщо ви хочете глибше розглянути цей тип функцій, відвідайте наш текст: Функція надмірного струменя.
Ін’єкційна функція
Функція f: A → B буде ін’єкційним або ін’єкційним, якщо і лише тоді, коли окремі елементи домену мають чіткі зображення в контрдомені, тобто подібні зображення генеруються подібними елементами домену.
Зверніть увагу, що умовою є те, що різні елементи домену відносяться до різних елементів контрдомену, не виникаючи проблем з рештою елементами в контрдомені. Щоб краще зрозуміти це поняття, ви можете прочитати текст: Функція інжектора.
Функція Бієктора
Функція f: A → B буде бієктивним тоді, і лише тоді, коли це так інжектор і сюр'єктор одночасно, тобто різні елементи домену мають різні зображення, і зображення збігається із зустрічним доменом.
- Приклад
У кожному випадку обґрунтуйте, чи функція f (x) = x2 це інжектор, сюжектор або бієктор.
The) f: ℝ+ → ℝ
Зверніть увагу, що домен функції - це всі позитивні дійсності, а контрдомен - усі дійсні числа. Ми знаємо, що функція f задана f (x) = x2, тепер уявіть собі всі позитивні дійсні числа високий у квадраті всі зображення також будуть позитивними. Отже, можна зробити висновок, що функція ін’єкційна, а не сюр’єктивна, оскільки від’ємні дійсні числа не отримуватимуть стрілок.
Це ін’єкція, оскільки кожен елемент домену (ℝ+) стосується лише одного елемента контрдомену (ℝ).
Б) f: ℝ → ℝ+
У даному випадку функція має домен як усі реальні дані, а контрдомен - як позитивні. Ми знаємо, що будь-яке дійсне число у квадраті додатне, тому всі елементи контрдомену отримали стрілки, тому функція сюр’єктивна. Це не буде ін’єкцією, оскільки елементи домену відносяться до двох елементів зустрічного домену, наприклад:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
У цьому прикладі функція має домен і контрдомен як додатні дійсні числа, тому функція є бієктор, оскільки кожне додатне дійсне число відноситься до одного дійсне число позитив контрдомену, в даному випадку квадрат числа. Крім того, всі номери контрдомену отримали стрілки.
складова функція
THE складова функція асоціюється з ярлик ідея. Розглянемо три непорожніх множини A, B і C. Також розглянемо дві функції f і g, де функція f приймає елементи x із множини A до елементів y = f (x) із множини B, а функція g бере елементи y = f (x) до елементів z із множини C.
Складена функція отримує цю назву, оскільки це програма, яка приймає елементи з множини A безпосередньо до елементів із множини C, не проходячи через множину B, через склад функцій f та g. Подивіться:
Функція, позначена (f o g), приймає елементи з множини A безпосередньо до множини C. Це називається складеною функцією.
- Приклад
Розглянемо функцію f (x) = x2 а функція g (x) = x + 1. Знайдіть складені функції (f o g) (x) та (g o f) (x).
Функція f o g задається функцією g, застосованою до f, тобто:
(f o g) (x) = f (g (x))
Щоб визначити цю складену функцію, ми повинні розглянути функцію f, а замість змінної x ми повинні записати функцію g. Подивіться:
х2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2х + 1
Так само, щоб визначити складену функцію (g o f) (x), ми повинні застосувати функцію f у ролі g, тобто розглянемо функцію g і напишемо функцію f замість змінної. Подивіться:
(x + 1)
х2 + 1
Отже, складова функція (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Рівна функція
Розглянемо функцію f: A → ℝ, де A - підмножина непорожніх дійсностей. Функція f буде парною лише для всіх дійсних x.
Приклад
Розглянемо функцію f: ℝ → ℝ, заданий f (x) = x2.
Зверніть увагу, що для будь-якого дійсного значення х, якщо воно має квадрат, результат завжди є позитивним, тобто:
f (x) = x2
і
f (–x) = (–x)2 = х2
Отже, f (x) = f (–x) для будь-якого дійсного значення x, тому функція f це пара.
Читайте також:Енергетичні властивостіs - які вони і як в використанняповітря?
унікальна функція
Розглянемо функцію f: A → ℝ, де A - підмножина непорожніх дійсностей. Функція f буде непарною лише для всіх дійсних x.
- Приклад
Розглянемо функцію f: ℝ → ℝ, заданий f (x) = x3.
Дивіться, що для будь-якого значення x ми можемо записати, що (–x)3 = -x3. Ознайомтеся з деякими прикладами:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Тож ми можемо сказати, що:
f (–x) = (–x)3 = –х3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Отже, для будь-якого дійсного x f (–x) = –f (x), а отже, функція f (x) = x3 унікальний.
зростаюча функція
Функція f é зростаючий з інтервалом тоді і тільки тоді, коли в міру зростання елементів домену їх зображення також зростають. Подивіться:
Зверніть увагу, що x1 > х2 і те саме відбувається із зображенням, тому ми можемо встановити алгебраїчну умову для функції f бути зростаючий.
Функція спадання
Функція f é зменшується з інтервалом тоді і тільки тоді, коли з ростом елементів домену їх зображення зменшуються. Подивіться:
Дивіться, що в області функції ми маємо х1 > х2, однак це не відбувається у зображенні функції, де f (x1)
постійна функція
Як випливає з назви, a функція є постійний коли, для будь-якого значення домену, значення зображення завжди однакове.
відповідна функція
THE афінна функція або поліном першого ступеня пишеться у формі:
f (x) = ax + b
Де a і b - дійсні числа, a ненульове, а ваш графік - пряма. Функція має реальний домен, а також реальний контрдомен.
квадратична функція
THE квадратична функція або поліноміальна функція другого ступеня задається а багаточлен другого класу, таким чином:
f (x) = осі2 + bx + c
Де a, b і c - дійсні числа з ненульовим значенням, а ваш графік - a притча. Роль також має реальний домен та лічильник доменів.
модульна функція
THE модульна функція з змінна x знаходить-якщо всередині модуля і алгебраїчно це виражається:
f (x) = | x |
Функція також має дійсний домен і домен лічильника, тобто ми можемо обчислити абсолютне значення будь-якого дійсного числа.
експоненціальна функція
THE експоненціальна функціявідображає змінну x в показнику. Він також має реальний домен і реальний контрдомен і описується алгебраїчно:
f (x) = aх
Де a - дійсне число більше нуля.
логарифмічна функція
THE логарифмічна функція має змінна в логарифмі і область, утворена дійсними числами, більшими нуля.
Тригонометричні функції
В тригонометричні функції є змінна x із залученням тригонометричних співвідношень, основними з них є:
f (x) = sin (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
коренева функція
Коренева функція характеризується наявністю змінна всередині кореня, при цьому, якщо індекс кореня парний, область функцій стає лише додатними дійсними числами.
Робсон Луїс
Вчитель математики
